函数凹凸性的应用.doc

函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数所表示的曲线是向上凸的,而所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若yf(x)的图形在区间I上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若yf(x)的图形在区间I上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数在区间上是凸的（向下凸）,任意,（）.曲线上任意两点,之间的图象位于弦的下方,即任意,的值小于或等于弦在点的函数值,弦的方程.对任意有,整理得.令,则有,且,易得,上式可写成1.1凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。设，（1）则称为上的凸函数。若 （2）则称为上的严格凸函数。若（1）与（2）式中的不等式符号反向，则分别称为上的凹函数与严格凹函数。显然，为上的（严格）凸函数是（严格）凸的。因此，只要研究凸函数的性质与判别法，就不难得到凹函数的相应的判别法。直接用定义来判别函数的凸性是比较困难的，下面的等价命题可以提供给我们判别函数凸凹性的一些依据：若在内二次可微，则下面关于凹函数的四个命题等价：1. 。其几何意义是“现在曲线的上方”;2.其几何意义是“切线在曲线的下方”；3. ；4. 定义2 设曲线yf(x)在点()处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称()为曲线yf(x)的拐点.必须指出；若()是曲线y=f（x)的一个拐点,yf(x)在点的导数不一定存在,如在x0的情形.1.2 凸函数的特征引理 f为I上的凸函数对于I上任意三点总有： (3)严格凸函数上式严格不等式成立.证 记,则及, 由的凸性知 (4) 从而有即 整理即得式.,记,则,由必要性的推导步骤可逆,从式便得式.故为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即,有 严格凸函数上式严格不等式成立.定理 设为开区间上的凸函数若则在上满足利普希茨条件,且在上连续 证明 (证明开区间上的凸函数必为连续函数)当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：如图所示,再在中任取两点.应用引理得到令 ,则, 显然,上述 L与中的点无关,故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续如果f是I上的可导函数,则进一步有：1.3、凸函数与导数的关系定理1（可导函数为凸函数的等价命题） 设f为区间I上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f为I上的凸函数；（2）为I上的增函数；（3）对I上的任意两点总有 证 (i)(ii),并取,使据定理3.12,有由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到所以是上的递增函数(ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得当时,也有相同结论(iii)(i),并记,则有, 由(iii)可得.注 定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义 如果f在I上二阶可导,则进一步有：定理2（凸函数与二阶导数的关系） 设f为I上的二阶可导函数,则在I上f为凸（凹）函数（）,.为严格凸1）；2）不在上的任一子区间上恒为零.此定理说明：为严格凸,则曲线中不含有直线段（）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为凸,则凹）.可导函数有如下相互等价的论断：1）为上凹函数.2）,有.即割线斜率递减.3）为上递减函数.4）,有,.当在上二阶可导时,下述论断与1）,2）,3）,4）相等价.5）在上.对严格凹的情形可类似得出等价论断.二、拐点定义2 设曲线yf(x)在点()处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称()为曲线yf(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）必须指出；若()是曲线y=f（x)的一个拐点,yf(x)在点的导数不一定存在,如在x0的情形.定理3（拐点必要条件） 若f在二阶可导,则()为曲线yf(x)的拐点的必要条件是.综上知：()的拐点,则要么（1）；要么（2）f在点不可导.定理4 设f在点可导,在某邻域内二阶可导,若在和上的符号相反,则()为曲线yf(x)的拐点.例1 讨论函数的凸性与拐点.解 ,因而当时,；当时,从而函数为上的凸函数,在上为凹函数.而在原点连续,故原点为曲线的拐点例2 若在内可导、凸（凹）函数,则为的极小（大）值点.即为的稳定点.证 ）费马定理. ）因凸,故有.因,故总有.即为的极小值点.例3 设在开区间上为凸（凹）函数,证明在开区间内任一点都存在左、右导数.证 只证凸函数在存在右导数,其它情形同理可证.令,记,则（取充分小使）,由式得： 记 则有即为单调递增函数.取且,则,从而递增有下界,从而存在,即存在.注 对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为.由第五章1习题10知（若在的左、右导数都存在,则在连续）,若在为开区间内的凸（凹）函数,则为内的连续函数.（但不一定可导,如）三凸凹性的应用了解函数凸凹性的判别依据后，我们更在乎在应用领域，它所发挥的重要而广泛的价值。3.1 凸凹性质的应用例题4 设也是上的凹函数。证：设有由此推出由凹函数的定义，即知是上的凹函数。命题 设为区间上得二阶可导函数，如果有，那么 其中是正数，证明 记，那么有泰勒公式得其中由题设，于是证毕。特别地，我们可以有如下推论。推论 设为区间上连续，内二阶可导函数，且，设是区间上的可积函数，那么有。对于函数凸凹性的应用另一个方面是在不等式中，而实际中凸函数在不等式中的证明是最常见的。例题5 设，证明证明 由知，是一个凸函数，而是一个正值函数且满足，于是由上面的结果知化简得 证毕。例6 证明: 对 有不等式 . 例7 设,则当且仅当所有全相等时等号成立.证 所有全相等时,等号显然成立.只须证不全等时,有严格不等号成立即可.取,则在上严格凸,由例4知即 因严格增,故有又不全等不全等,故所以 例8 在中, 求证 .解 考虑函数在区间内凹, 由Jensen不等式, 有. 4.1多元函数凹凸性的几个定义定义4.1.16 设D是n维空间的一个区域，若 则（1）设 总能分解成则在D上是凹（凸）的；（2）设（1）的条件成立并且关于的两个不等式中，则称D是凸函数，否则称D为凹函数。定义4.1.26设是定义在凸函数D上的函数，是D上的任意两点，记（1）若恒有且等号不恒成立，则称在D上是凹（或凸）的（2）若则称在D上是严格上的凹（或凸）的。（3）若，则称在D上是线性的，则称在D上是线性的。这两种定义是等价的在二元函数中，设D是维空间的一个区域，若 则由定义一知（1）设总能分解成 则在D上是凹（凸）的；（）设（1）的条件成立并且关于的两个不等式中，则称D是凸函数，否则称D为凹函数。由定义二知设是定义在凸函数D上的函数是D上的任意两点，记（1）若恒有且等号不恒成立，则称在D上是凹（或凸）的（2）若则称在D上是严格上的凹（或凸）的。（3若则称在D上是线性的。例如三元函数就是一个凹函数4.2多元函数凹凸性的几个判定定理定理4.2.18 设是凸区域D上具有二阶连续偏导数的二元函数，记若且不恒为0，那么，当或，函数在D上上凹，当A0或C0，函数在D上上凸，若当或，函数在D上是凹的，当或C0，函数在D上上凸。证明:任取记由泰勒公式则当时则当时，定理得证利用泰勒公式，我们不难证明定理4.2.29设是凸函数D上的具连续偏导数的二元函数不同时取，则有在D上是严格凹（凸）的。若，则在D上线性的。定理一和定理显然不难推广到一般的多元函数中去，这里不再叙述。定理4.2.39 设是凸区域D上