成都纺织高等专科学校教案.doc

成都纺织高等专科学校教案1授课对象： 授课日期 年 月 日 星期 第 节课 题函数授课方式讲授、练习教学目的理解一元函数的概念；会求一元函数的定义域；会建立简单的分段函数；了解反函数的概念；了解函数的奇偶性、周期性、单调性和有界性 理解复合函数、基本初等函数和初等函数的概念；掌握基本初等函数的定义域、性质及图形；掌握复合函数的分解法重点掌握基本初等函数的定义域、性质及图形难点掌握复合函数的分解法教具授课设计函数是经济数学研究的主要对象.本章将在中学已学函数知识的基础上,进一步理解初等函数的概念,复习函数的基本性质,介绍初等函数和常用的经济函数,为以后各章的学习打下基础.1.1 函数的概念及基本性质1.1.1 一元函数的概念在事物的变化过程中,往往会出现多个变量,这些变量不是彼此独立的,它们会相互影响和制约,一个量的变化会引起另一个量的变化.引例1 商家销售某种商品的价格为7万元吨.每销售一吨这种商品,政府要征税0.5万元.那么该商家的销售量和扣除税收后的收入之间有什么联系？商家的销售价格和政府的税率是取值不变的量,这样的量我们称为常量.而该商品的销售量及商家的收入在销售过程中是变化的,这样的量称为变量.当销售量在它可能的变化范围内取每一个值时,收入就会有一个被惟一确定的值与之相对应.销售量与收入之间的这种对应关系就是函数关系.定义1.1.1 设有两个变量和,当变量在非空数集内取每一值时，变量按照某种对应法则有惟一确定的数值与之对应，则称变量为变量的函数，记作,.其中称为自变量,称为因变量,数集称为函数的定义域,而数集称为函数的值域.函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.当我们说两个函数相同时，是指它们有相同的定义域和对应法则自测1 判断以下各对函数是否为同一函数.(1)和；(2).指明一个函数必须指明对应法则和定义域.当函数用表达式给出而未明确定义域时，规定使函数表达式有意义的自变量取值全体为其自然定义域而在实际问题中，除了要根据表达式本身来确定自变量的取值范围以外，还应考虑变量的实际意义比如,经济函数中自变量的取值往往是非负的例1 求下列函数的定义域:(1)； 2）.解 (1)由分式的分母不能为0知,解得，即函数的定义域为；(2)由对数的真数大于零，偶次根式被开方式大于或等于零知, 解得 即定义域为自测2 求函数的定义域1.1.2函数的表示法函数的表示方法一般有表格法、图形法和解析法表格法是将自变量与函数值的对应关系列成表格的方法；图形法是用坐标平面上的图形来表示函数关系的方法；解析法是用数学表达式来表示函数的方法，它是最常用的一种函数表示方法.已给函数,坐标平面上的点集就是其图形.例2 求引例1中的函数表达式.解 设销售量为,收入为.根据“收入营业额税收”知,即所求函数为.作为销售量的不能为负数，故函数的定义域为.例3 某销售商规定,某产品销量在件以内（包括件）时按每件元销售，超过件时，超过部分按每件优惠元销售.试建立销售收入与销售量之间的函数关系.解 设销售量为,销售收入为,则可建立以下函数表达式:即 在定义域的不同部分用不同的解析式来表示的函数称为分段函数下面再来看几个分段函数的例子.例4 绝对值函数是一个分段函数,定义为实数集,值域为(如图1-1).例5 符号函数是一个分段函数，它的定义域为,值域为(如图1-2). 图1-1 图1-2例6 函数是一个分段函数,定义域是注意 分段函数是其定义域上的一个函数，而不是多个函数1.1.3 反函数定义1.1.2 设函数,的值域为.如果对于中的每一个值，都可以从关系式确定惟一的值()与之对应，这样所确定的以为自变量的函数称为函数的反函数习惯上,用表示自变量,表示因变量,的反函数常记为或.这时叫做直接反函数,叫矫形反函数.在同一坐标系中,与其反函数的图形是相同的.而与反函数的图形关于直线对称.一个函数在定义域内不一定有反函数,但在其每一个单调区间上一定有反函数.例7 函数,的直接反函数为，它的矫形反函数为，其反函数的定义域为，值域为 例8 函数在定义域内没有反函数,但在单调区间和内分别有反函数和.1.1.4 函数的几种特性(1) 函数的奇偶性如果函数的定义域关于原点对称，且对于任何,有(或),则称为上的偶函数(或奇函数). 图13 图14偶函数的图形关于轴对称(如图1-3),奇函数的图形关于原点对称(如图14)(2) 函数的周期性设函数,若存在，使任意的,满足，图15则称为周期函数(如图15),叫函数的周期,满足的最小正数如果存在，则称其为函数的最小正周期通常说函数有周期,就是指的最小正周期. ，等一些三角函数都是常见的周期函数当函数以为周期时，函数有周期(习题1.1第7题).(3)函数的单调性设函数,区间.对于任意的,时，有(或)，则称为该区间上的单调递增函数(或单调递减函数)单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数. 图16 图17从几何上看，单调递增的函数曲线是沿轴的正向逐渐上升的(如图16)，而单调递减的函数曲线是沿轴的正向逐渐下降的(如图17)(4) 函数的有界性设函数的定义域为,区间.若存在一个正数，对于，恒有，那么称为上的有界函数,若不存在这样的正数,则称函数为上的无界函数.函数在区间上有界的几何意义是：曲线在区间上被界定在两条平行线和之间.函数的有界性与区间密切相关.自测3 讨论函数在区间和内的有界性.1.2 初等函数初等函数是经济数学研究的主要对象，它的基础是基本初等函数本节先介绍基本初等函数,然后再引入初等函数的概念.1.2.1 基本初等函数下列六类函数统称为基本初等函数,它们是我们在中学阶段已经熟知的，在此只作简要复习1.常值函数.常值函数的定义域是，图形是过点且平行于轴的一条直线2.幂函数(为任意实常数)幂函数的定义域要依的具体取值来确定.当时是最常用的幂函数(如图1-8,图1-9).时, 的图形必过原点和点，在内单调递增且无界 图18 图193.指数函数 指数函数的定义域是，值域是其图形在轴上方，并通过点当时，函数在定义域内单调递增且无界，曲线向左无限接近轴负半轴；当时，函数在定义域内单调递减且无界，曲线向右无限接近轴正半轴(如图1-10).函数与的图形关于轴对称.常用的是指数函数,其中底数是无理数.4.对数函数 对数函数的定义域是，值域是，图形在轴右方，且通过点当时，函数在定义域内单调增加且无界，曲线向下无限接近 图1-10 图1-11轴的负半轴；当时，函数在定义域内单调减少且无界，曲线向上无限接近轴正半轴(如图111)常用的是以为底的对数函数,称为自然对数函数，记为5.三角函数 (1)正弦函数,定义域为，值域为，是以为周期的奇函数(如图112)(2)余弦函数,定义域为，值域为，是以为周期的偶函数(如图113) 图112 图113(3)正切函数 ，定义域为，值域为，以为渐近线，在定义域内无界,是以为周期的奇函数(如图114)(4)余切函数 ，定义域为，值域为，以为渐近线，在定义域内无界，是以为周期的奇函数(如图115) 图114 图115 三角函数中还包括正割函数和余割函数 6.反三角函数(1)反正弦函数，定义域为，值域为，它是奇函数，在定义域内单调递增而且有界(如图116)(2)反余弦函数，定义域为，值域为，在定义域内单调递减，而且有界(如图117) 图116 图117(3)反正切函数，定义域为，值域为，它是奇函数，在定义域内单调递增而且有界，有两条渐近线(如图118)(4)反余切函数，定义域为，值域，它在定义域内单调递减而且有界，有两条渐近线和轴(如图119) 图118 图1191.2.2 复合函数引例1 生产成本可以看成产量的函数，而产量又是时间的函数，那么成本又可以作为时间的函数成本与时间的这种函数关系叫做通过构成的复合函数关系定义1.2.1 设是的函数，是的函数如果的值域与的定义域的交集非空，则称为由函数和构成的复合函数.例如，由函数，可构成复合函数而函数是由函数，复合而成的.注意 不是任意两个函数都能构成复合函数.例如和便不能构成复合函数.因为的定义域与的值域的交集.准确分解复合函数成一系列简单的函数是微积分计算的基础其基本方法是：从外往里顺序拆开，使拆开后的函数都是基本初等函数，或是由基本初等函数通过四则运算构成的简单函数例1 函数是由哪些简单函数复合而成?解 函数可以看作是由，复合而成.例2 函数是由哪些简单函数复合而成?.解 函数可以看作是由，复合而成1.2.3 初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成，并可用一个解析式表示的函数称为初等函数例如下列函数等都是初等函数:,.本书所讨论的函数基本上都是初等函数.但要注意,分段函数一般不是初等函数,因为分段函数往往不满足初等函数是由一个解析式所表示这一条件但偶尔会有例外，如分段函数，它与复合函数是同一函数，即函数可用一个解析式来表示，因此是初等函数作业: 习题 111已知，求,2，求的表达式及定义域3求下列函数的定义域：(1)； (2)；(3)； (4)4求的反函数.5我国自2008年3月1日起施行新的个人所得税纳税标准，新纳税标准以月收入额2000元为起征点，月收入额不超过7000元的税率见表1-1.试写出月收入额()与应缴税款之间的函数关系式,并计算某人月收入额为3800元时应缴税多少元？表11 个人所得纳税税率(部分)全月应纳税所得额（月收入额-2000元）税 率不超过500元的5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%6讨论函数的奇偶性，周期性，单调性和有界性7证明：当函数以为周期时，函数的周期为习题 121.下列函数是由哪些函数复合而成?(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) .2.设的定义域是，求复合函数的定义域.备注：成都纺织高等专科学校教案2授课对象： 授课日期 年 月 日 星期 第 节课 题常用经济函数授课方式讲授、练习教学目的 理解需求函数、供给函数、成本函数、利润函数和库存函数等经济函数的概念；会建立简单的经济函数重点会建立简单的经济函数难点会建立简单的经济函数教具授课设计1.3 常用经济函数在用数学方法解决经济领域中的问题时，往往需要找出经济变量之间的函数关系，建立起有关的数学模型本节将介绍常用的一些经济函数1.3.1需求函数与供给函数商品的需求量是愿意并且有能力购买该商品的消费者的消费数量需求量与商品的产量、实际销量并不相同决定需求量的因素较多，一般说来它与产品的价格关系最为密切通常降低商品价格使需求量增加，提高商品价格会使需求量减少在忽略其他因素的情况下需求量可以看成是价格的函数，称为需求函数，记作.一般来说，需求函数为价格的单调递减函数,其反函数称为价格函数.商品的供给量是指在一定的时期内，生产厂家在某个价格下愿意并可能出售该种商品的数量可见供给量主要和商品的价格相关价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，使供给量增加；反之，价格下跌将使供给量减少供给量也可看成价格的函数，称为供给函数,记为.商品需求量与供给量相等时的价格，称为均衡价格处于均衡价格时的需求量称为均衡需求量当市场价格高于均衡价格时，供给量将增加而需求量相应地减少，这时产生的“供大于求”的现象必然使价格下降；当市场价格低于均衡价格时，供给量将减少而需求量增加，这时会产生“物资短缺”现象，从而又使得价格上升，市场价格的调节就是这样来实现的例1 某种商品的市场需求函数为，供给函数为，试求均衡价格和均衡需求量解 由定义知当时有 ,解得.表明当价格为220时达到供需平衡，这时均衡需求量为80.3.2 总成本函数、总收益函数和总利润函数总成本是指生产一定数量的产品所需的费用，其中分为固定成本与可变成本所谓固定成本,是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本；所谓可变成本,是指随产量变化而变化的那部分成本.例如服装厂在生产中的厂房费，设备的购置费以及管理费等，它们与产量无关，是固定成本；而一旦开工，生产服装花费的原材料费，动力费以及工人的工资等是变化的,为可变成本.设固定成本为常数,可变成本是与产量相关的函数,那么总成本函数为.生产每件产品的成本叫平均成本(或单位成本),记为,显然.总收益是指生产者出售商品后的收入如果产品的单位售价一定，销售量为，则总收益函数与销量直接相关，有.总利润是收益与成本之差总利润函数与销售量有关系.例2 某工厂生产某种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品的费用为50元，预计售价80元，求总成本函数，平均成本函数，总收益函数和总利润函数解 设产量为，则总成本函数,平均成本函数,总收益函数分别为,.而总利润函数为1.3.3 库存函数下面我们来看一个典型的库存问题例3 某工厂每年生产零件6000件，分批生产，每批生产的准备费为500元设零件均匀投放市场（即平均库存量为批量的一半），每件零件每年库存费为40元，试求出一年中库存费与生产准备费之和与批量的函数关系分析 零件分若干批生产，每批次生产件，即批量为现在的问题是,如果批量太大则库存费高，反之若批量小，生产的次数增多，则生产准备费过高只有弄清库存费与生产准备费之和与批量的函数关系，才能合理安排生产计划解 设每年库存费与生产准备费之和为，批量为，依题意，平均库存量为，所以总库存费为元因为每批生产件，所以每年生产的批数为，故总的生产准备费为元，于是有.该题为产品均匀投放市场之类问题的特定数学模型.作业: 习题 1.31.已知某种商品的需求量与价格成反比，即，已知价格为20时，需求量为50，求这种商品的需求函数2.某种商品的需求函数为，为价格已知该商品的单位成本是2元，求总利润与价格的函数关系3.银行为企业发放了数额为的贷款，约定每年的利率为，若每年结算一次，则3年后，银行连本带利可以收回多少资金?如果每月都结算,3年后银行连本带利又会收回多少资金?备注：成都纺织高等专科学校教案3授课对象： 授课日期 年 月 日 星期 第 节课 题极限的概念授课方式讲授、练习教学目的了解数列和函数极限的描述性定义；理解极限的七种形式;重点函数极限的描述性定义难点函数极限的描述性定义教具授课设计极限概念是从研究变量在某一过程中的变化趋势引出的,它是微积分学的基本概念之一.函数连续、导数、定积分等概念都要用极限来定义.这一章我们在对极限概念进行复习和补充的基础上,进一步学习求极限的方法以及函数连续的概念和性质.2.1 极限的概念2.1.1 数列的极限1. 数列的定义引例1 一尺之棰,日取其半,万世不竭.古人这句话的意思是,一根一尺长的木棍,每天将其截去一半,此过程可以无限进行下去.将每天截取的量排列起来有:.这一列数就是一个数列.它有两个特点:按自然顺序排列；有无穷多个.定义2.1.1 按照自然顺序排列的一列数称为无穷数列,简称数列,记为.数列中每一个数称为数列的项,称为数列的通项.例如：(1) (2) (3) (4) 一个数列对应着数轴上的一个点列.2.数列的极限观察引例1中数列和上述数列可以发现,当无限增大时,它们的变化趋势是:引例1中数列和数列(1)无限接近于0,数列(3)无限接近于4,数列(2)无限变大,而数列(4)在-1和1间跳动.对于引例1中数列、数列(1)和数列(3),我们称它们有极限.定义2.1.2 对于数列,如果当无限增大时,无限趋近于一个常数,则称当时,数列以为极限,记为 或 .这时亦称为数列收敛于.如果数列没有极限,就称数列是发散的. 例如(1) ； (2) ；(3) ； (4) .自测1 当时,下列数列有无极限，若有极限，极限为多少？ (1)； (2) ； (3)； (4). 2.1.2 函数的极限1.时,函数的极限引例2 当无限增大时，函数无限接近于常数.这时,我们就称当时,函数以为极限.一般地,我们有定义2.1.3 如果当自变量的绝对值无限增大时，函数无限趋近于一个常数，则称当时,函数以为极限,记为 或 .例如:（1）； (2) ； (3).特别地,数列可看作自变量取正整数值的函数，因此数列极限可写成.这时就看作自变量取正整数值的函数当时的极限.有时,我们需要考虑只取正值或负值趋于无穷的情形,有下面定义.定义2.1.4 如果当自变量且无限增大时，函数无限趋近于一个常数，则称当时,函数以为极限,记为 或 .定义2.1.5 如果当自变量且无限增大时，函数无限趋近于一个常数，则称当时,函数以为极限,记为 或 .图2-1例1 观察函数和的图形(如图2-1，图1-18),可以得出如下结论:, ,.由定义2.1.3、定义2.1.4和定义2.1.5，我们可以得到定理2.1.1 .根据定理2.1.1可知，,而不存在.自测2 下列极限是否存在,并说出理由.(1) ； (2) ；(3) ； (4) .2.时,函数的极限定义2.1.6设.开区间称为点的邻域, 开区间称为点的左邻域,而开区间称为点的右邻域,引例3 考察函数的图形(如图2-2).当从点左右近旁无限接近于时,函数的函数值无限接近于.这时,我们称当时,函数的极限是.定义2.1.7 设函数在点的某邻域内（可除外）有定义，若当无限趋近于时，函数无限趋近于一个常数,则称当时,函数以为极限，记为 或 .由定义, ,或. 图2-2 图2-3例2 讨论函数当时有无极限. 解 如图2-3，当时，函数无意义,即不在的定义域内，但当时，即无限趋近于常数，故有.上面讨论的函数在点的极限,可以任何方式在点近旁趋近于.有时,我们只需或只能考虑仅从点的左侧趋近于(记作)时,或仅从点的右侧趋近于(记作)时的极限,于是便有单侧极限的概念.定义2.1.8 设函数在点的某左（或右）邻域内有定义(不要求在点有定义)，若当（或）时，函数无限趋近于一个常数，则称为函数当（或）时的左（或右）极限,记为 （或）,也可记为 （或）.函数在点的左极限和右极限统称为单侧极限. 由定义2.1.7和定义2.1.8,我们容易得到下面的定理.定理2.1.2 .由此可知，如果在点的左、右极限至少有一个不存在；或者虽然两个都存在，但不相等，则一定不存在.在求分段函数在分段点处的极限时就要用到这些结论.案例1【成本变化】某制药厂生产某药品的成本(元)与产量(单位:)可用函数来表示.求该函数在处的极限,并说明其经济意义. 解 因为 ,由定理2.1.2,函数在点处有极限.这说明生产该药品所需成本,是随着产量增加而连续不断增加的. 自测3 下列极限是否存在？请说明理由.(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) .作业: 习题 2.11. 根据数列极限的定义讨论下列极限.（1）； （2）；（3）； （4）. 2. 根据函数的图形求下列极限.（1）； （2）； （3）； （4）. 3设，画出的图形，求及，并讨论是否存在.备注：成都纺织高等专科学校教案4授课对象： 授课日期 年 月 日 星期 第 节课 题无穷小量与无穷大量授课方式讲授、练习教学目的了解无穷大和无穷小的概念，会利用无穷小的等价代换计算极限重点无穷小的等价代换计算极限难点无穷小的等价代换计算极限教具授课设计2.2 无穷小量与无穷大量2.2.1 无穷小量引例1 行驶中的汽车刹车后,其速度随时间的增加逐渐减小到零.对于这种以零为极限的变量，我们有以下定义.定义2.2.1 若当(或)时，函数的极限为零，则称函数为当(或)时的无穷小量.对于,或时有类似的定义.例如，因为，所以汽车刹车后的速度是当时的无穷小量.又如，因为，所以函数是当时的无穷小量. 注意 一个函数是否为无穷小量与自变量的变化趋势密切相关.比如是当时的无穷小量，但由于,它不是当时的无穷小量.另外，无穷小量并不是很小的量.任何非零常量，其绝对值无论有多小，都不会是无穷小量.引例2 观察表2-1,当时,对函数的变化进行对比.表2-1 函数的变化对比表10.50.10.010.00110.250.010.00010.000001210.20.020.002当时，函数比趋近于零的速度要快得多，而函数与趋近于零的速度相当.为了反映无穷小量趋近于零的快慢程度，我们引入无穷小量的阶的概念.定义2.2.2 设在某个极限过程中，和都是无穷小量.如果，则称是比高阶的无穷小量；如果，则称与是同阶的无穷小量；特别若,则称与等价，记作.注意 我们约定用表示自变量的各种变化趋势时,的极限.例如，在引例2中,当时，函数是比高阶的无穷小量，而函数与是同阶无穷小量. 又如，当时，函数与是同阶无穷小量，而当时,有.自测1 考察下列命题的正确性:(1) 当时，函数.(2) 当时，函数是比高阶的无穷小量.(3) 当时，函数与是同阶无穷小量.2.2.2 无穷大量引例3 设存入银行的本金为,存款年利率为,第年末的本息.当存款年限越久,所获本息越多.当存款时间无限延长呢?理论上讲,当存款时间无限延长时,本息将无限增大.对于函数的这种变化趋势,我们有无穷大量的概念.定义2.2.3 若当（或）时,函数的绝对值无限增大，则称为当（或）时的无穷大量,记为（或）.对于,或时有类似的定义.例如,，即当存款时间无限延长时,本息是一个无穷大量.又如，,. 注意 (1)无穷大量并不是绝对值很大的数.任何一个实数都不是无穷大量.(2) 并不表示函数的极限存在,恰恰相反,它表示的极限不存在.无穷小量与无穷大量有如下关系.定理2.2.1 若,则；反之，若,且，则.简言之，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量.2.2.3 无穷小量的运算性质无穷小量有下述运算性质.性质1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量.性质2 有界量与无穷小量之积仍是无穷小量.推论1 常数与无穷小量之积仍是无穷小量.推论2 有限个无穷小量之积仍是无穷小量注意 (1)无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量，例如:. (2)两个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量，但是其商却不一定是无穷小量，试比较:，.自测2 举例说明两个无穷大量的和不一定是无穷大量.例1 求证 . 证明 因为时，以零为极限，是无穷小量；而时，没有极限，但是有界函数，所以，根据性质2可得.作业: 习题 2.21.考察下列函数在所给极限过程中,哪些是无穷小量,哪些是无穷大量?(1)； (2) ；(3) ； (4) .2. 当时,比较下列每两个无穷小量的阶.(1)； (2)； (3).3. 求极限,并说明理由.4. 举例说明无穷大量必定是无界函数,但是无界函数却不一定是无穷大量.备注：成都纺织高等专科学校教案5授课对象： 授课日期 年 月 日 星期 第 节课 题极限的运算授课方式讲授、练习教学目的了解极限存在准则；掌握极限的四则运算法则和两个重要极限;会求有理分式函数的极限；会用两个重要极限求极限. 重点求有理分式函数的极限，用两个重要极限求极限难点用两个重要极限求极限教具授课设计2.3 极限的运算利用极限的定义只能计算一些简单函数的极限,而实际问题中的函数却往往很复杂.这就需要讨论如何求极限的问题.本节将介绍极限的四则运算法则,并运用这些法则求一些较复杂的函数的极限.定理2.3.1 设,则 (1) ； (2) ；(3) ,其中.证明从略.由定理2.3.1(2)容易得推论1 设,为常数,则有.读者不难把定理2.3.1(1), 定理2.3.1 (2)的结论推广到任意有限个函数的情形.特别地有推论2 设,为正整数,则有. 注意 在使用这些法则时,必须满足所需条件:(1)参与运算的每个函数的极限都存在；(2)分母的极限不能为零.自测1 指出下列运算的错误之处:.例1 计算.解 原式. 一般地,若,则. 例2 计算.解 原式.一般地,设有理分式函数, (1)若,则.例3 计算.解 因为,故不能使用定理2.3.1中的极限运算法则.但是,所以 . 例4 计算.解 由于分子和分母的极限都为零,故不能使用定理2.3.1中的极限运算法则.但分子和分母有公共的非零因子,可先消去再求极限.原式.例5 计算. 解 原式.例6 计算.解 因为,故.一般地,对于求有理分式函数(1),我们有以下结论:自测2 直接说出下列各极限:(1) ； (2) ； (1) .例7 计算.解 原式.注意 例4和例7的极限类型分别称作“”和“”的未定型.案例1【长期价格】设某产品的价格是时间的函数,(元)，试预测该产品的长期价格.解 可通过该产品价格当时的极限来预测长期价格.因为,所以,该产品的长期价格为12.7元.2.4 两个重要极限2.4.1 极限存在准则为了推导两个重要极限,我们先介绍两个判定极限存在的准则.准则 若在自变量的某个变化过程中,函数，和满足,并且,则. 此准则又称为夹逼准则. 准则 如果数列单调且有界,则极限一定存在.2.4.2 极限首先注意到,是无穷小量的商的极限,即为“”未定型.如图2-4所示，在单位圆中,延长交点处的切线于点,，为垂足.图2-4由,有,即,进而得到 , (1)因为用代替时,式(1)仍正确, 所以,当时,式(1)成立.当时, ,即.而,故由准则,得到，即.再由准则和式(1),得.例1 计算 解 .例2 计算.解 .例3 计算.解 .一般地,若是时的无穷小量,则.例4 计算 . 解 . 例5 求证: .证明 设,则,当时有,所以.由以上各例,我们得到,当时,有.自测1 求极限.2.4.3 极限首先注意到,这个极限是一个“”未定型.1748年,瑞士数学家欧拉()首先用字母表示这个极限,即第一章提到的自然对数函数的底.结论的正确性可以用准则来证明.我们只用表2-2（见教材）来直观地考察函数的变化趋势.令,我们还可以得到,即.例6 求.解 令,当时,于是.例7 求.解 令,有.一般地,对于任何常数,有, .例8 求.解 因为,令,则,当,有.于是.自测2 计算下列极限:(1)； (2)； (3).案例1【连续复利】 我们知道,以年为期的复利公式,其中为本金,是年利率,是第年末所得本息.若把一年平均分成期计息,这时每期利率可以认为是,而.若计算期无限缩短,则,于是我们可以得到连续复利公式为.作业: 习题 2.31.求下列极限:（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） （7）； （8）； （9）； （10）. 2.某电子产品的销售量是时间的函数,试对该产品的长期销售作出销量预测.习题 2.41求下列各极限:（1）； （2）；（3）； （4）；2求下列各极限:（1）； （2） .(3）； （4）.3.求下列极限:（1）； （2）.4已知，求常数，使存在.并求此极限备注：成都纺织高等专科学校教案6授课对象： 授课日期 年 月 日 星期 第 节课 题函数的连续性授课方式讲授、练习教学目的理解函数连续与间断的概念；了解函数间断点的分类;掌握初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质;会求函数的间断点和连续区间;会求连续函数和分段函数的极限.重点函数连续与间断的概念难点了解函数间断点的分类教具授课设计2.5 函数的连续性在日常经济生活中，我们遇到的许多量的变化都是连续不断的.如时间的变化,温度的变化,植物的生长变化,原材料的不断消耗,产量的不断增加等.这种现象反映到数学中来就是函数的连续性.2.5.1 函数的增量引例1 一产品的产量与某种原材料的使用量有一函数关系,在生产中,若给这种原材料一个增加量,必然会引起产量发生改变,即产量也必然会产生一个增加量.定义2.5.1 设变量从初值变化到终值,则终值与初值之差叫做变量的增量,记为,即=.注意 一般地,增量可以为正,也可以为负,还可以为零.定义2.5.2 对于函数,设自变量的增量为.称为函数的增量.案例1【产量增量】 设某产品的总产量与原材料的使用量有函数关系.日常情况下,每天使用原材料20个单位,这时,若再增加1个单位的用量,产量的增量是多少?解 原材料的增量,产量的增量. 自测1 求函数当,时的增量.2.5.2函数连续的概念引例2 一天中气温的变化是逐渐的,当时间改变很小时,气温的变化也很小；当时间改变量趋近于零时,气温的变化量也会趋近于零.这反映了气温连续变化的特征.定义 设函数在点的某一邻域内有定义,如果当自变量在点处的增量时,函数相应的增量也趋于0,即(或),则称函数在处连续. 在定义2.5.3中,令,则,并且,当时有,而有.于是我们得到定义 设函数在点的某一邻域内有定义,若当时,的极限存在并且等于它在点处的函数值,即, (1)则称函数在点处连续. 分析上述定义可知, 函数在点处连续必须满足三个条件: 在点的某邻域有定义； 在点处的极限存在； 在点处的极限值等于在点处的函数值.由于式(1)本身包含了这三个条件.于是,我们可得出结论:函数在点处连续的充要条件是.定义2.5.4 设函数在点及某左邻域(或右邻域)有定义,并且(或),则称函数在点左连续(或右连续).显然，函数在点处连续的充要条件是在点既左连续又右连续. 例1 讨论函数在点的连续性.解 因为,所以,函数在点处连续.定义2.5.5 若函数在开区间内每一点连续,则称在开区间内连续. 若函数在闭区间内部每一点连续,而且在左端点右连续,在右端点左连续,则称在闭区间上连续.几何上, 函数在区间上连续,则在此区间上,函数的图形是一条连续不断的曲线.例2 用定义证明函数在内连续. 证明 设是内任意一点,则在点处的增量,因为，所以，函数在点处连续,由的任意性可知，函数在内连续.案例2【冰的融化】设1g冰从-40上升到100所需热量(单位:J)为试问在处是否连续?并解释其实际意义. 解 ,所以不存在,在处不连续.这说明冰化