线性代数单元辅导四.doc

5401931ded0b6d42a6250c0c531980a6.pdf 第 8 页 共 8 页线性代数单元辅导四第三章 线性方程组 一、基本要求1. 掌握线性方程组有解的充分必要条件2. 了解线性方程组解的结构，会求解线性方程组3. 会利用线性方程组的性质证明有关问题二、内容提要1. 线性方程组的概念线性方程组的一般形式为 （1）若记， 则线性方程组（1）记为 ， （2）并称其为非齐次线性方程组；若的元素全为零，即，则 （3）并称其为齐次线性方程组，也称作（1）的导出方程组，称 为线性方程组（1）的增广矩阵，记作2. 齐次线性方程组解的性质与解的结构（1）n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（2）n元齐次线性方程组的基础解系 设是的一组解，如果满足 1）线性无关 2）的任一解都能表示成的线性组合则称为齐次线性方程组的一个基础解系（3）齐次线性方程组有非零解时，它一定有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于nr，其中r表示系数矩阵的秩（4）齐次线性方程组的解的线性组合仍是该方程组的解（5）齐次线性方程组有非零解是，求出其基础解系，该方程组的通解可表示为其中为任意常数3、非齐次线性方程组解的性质与解的结构（1）非齐次线性方程组有解充分必要条件是（2）如果是非齐次线性方程组的一个特解，是其对应当齐次线性方程组的一个解（即导出方程组的一个解），则也为的解（3）如果是导出方程组的一个基础解系，是此方程组的一个特解，则的通解为 其中为任意常数（4）对于 1）若，则有唯一解 2）若，则有无穷解 3）若，则无解三.例题分析1. 设X为n维列向量，则齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是（ ）解：当时，齐次线性方程组仅有零解2.齐次线性方程组 只有零解，则满足条件（ ）解：因为方程组只有零解充分必要系数矩阵的行列式 所以有3. 若线性方程组 有解，则常数满足条件（ ）解：由方程组有解及 由此可知，应有4. 设任意一个n维向量都是下列齐次线性方程组的解 则（ ）解：原齐次线性方程组可以改写为 因为任何一个n维向量都是上述方程组的解，依次取 代入上式解得 故5. 若方程组 有无穷多解，则（ ）解：对增广矩阵作初等变换得 由方程组有无穷多解的条件，显然时 此时方程组有无穷多解6. 设A为mn矩阵，则齐次线性方程组仅有零解的充要条件是（ ） A系数矩阵的行向量线性相关 B系数矩阵的列向量线性相关 C系数矩阵的行向量线性无关 D系数矩阵的列向量线性无关解：仅有零解 （未知量个数），A有n个m维列向量，因为向量组的向量个数向量组的秩时，向量组线性无关，故应选D7. 设A是mn矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）A 若仅有零解，则有无穷多解B 若有非零解，则有无穷多解C 若有无穷多解，则有无穷多解D 若有无穷多解，则仅有零解解：非齐次线性方程组有无穷多解（或唯一解）可推出有非零解（仅有零解） 而有无穷多解（或零解）推不出有解（或唯一解） 故应选D8. 设A为mn矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ） A系数矩阵A的任意两个列向量线性相关 B系数矩阵A的任意两个列向量线性无关 C必有一个列向量是其余列向量的线性组合 D任一列向量是其余向量的线性组合解：有非零解 矩阵A的n个m维列向量线性相关 而，一个向量线性相关 必有一个向量是其余向量的线性组合，故选C9. 设A为mn矩阵，且mn，若A的行向量组线性无关，则有结论（ ） A方程组有无穷多解 B方程组仅有唯一解 C方程组无解 D方程组仅有零解解：由结论：若向量组线性无关，则增加向量组各向量的分量后，所得的向量组仍然线性无关 可得，故应选A10. 设A为mn矩阵，则有结论（ ） A当时，方程组有无穷多解 B当时，方程组有非零解，且基础解系含有nm个解向量 C若有n阶子式不为零，则方程组有唯一解 D若有n阶子式不为零，则方程组仅有零解解：不能说明，故A不对 有非零解，但基础解系含向量个数为，而不一定等于m，故B不对 由C，D条件知道，但不一定相等，故C不对，则只有D正确11. 求解齐次线性方程组 解：对系数矩阵作初等变换 因为，故方程组有无穷多解，其同解方程组为 分别取和得和 从而得得出基础解系 故方程组的通解为 ，为任意常数12. 求下列非齐次线性方程组的通解 解：对增广矩阵作初等行变换化为行最简式 因为，所以方程组有无穷多解，同解方程组为 令，得其一特解 其所对应的齐次线性方程组为 分别令和得基础解系 故原方程组的通解为 为任意实数13. 已知线性方程组 讨论参数p,t取何值时，方程组有解，无解？当有解时，求