高中数学空间中的夹角和距离考点分析.doc

普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座12）空间中的夹角和距离一课标要求：1掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。2掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；3掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；二命题走向高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。预测07年高考试题：（1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右；（2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。三要点精讲1距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。（2）点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P，则线段PP的长度就是点到平面的距离；求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：找出或作出表示有关距离的线段；证明它符合定义；归到解某个三角形若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为q ，它们的公垂线AA的长度为d ，在a 上有线段AE m ，b 上有线段AF n ，那么EF （“”符号由实际情况选定）2夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0，90、0，90和0，180。（1）两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（）定义法；（）利用三垂线定理或逆定理；（）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos q ，其中S 为斜面面积，S为射影面积，q 为斜面与射影面所成的二面角。3等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。四典例解析题型1：直线间的距离问题例1已知正方体的棱长为1，求直线DA与AC的距离。 解法1：如图1连结AC，则AC面ACD，连结DA、DC、DO，过O作OEDO于E因为AC面BBDD，所以ACOE。又ODOE，所以OE面ACD。 因此OE为直线DA与AC的距离。在RtOOD中，可求得点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。图2 解法2：如图2连接AC、DC、BC、ABA，得到分别包含DA和AC的两个平面ACD和平面ABC， 又因为ACAC，ADBC，所以面ACD面ABC。 故DA与AC的距离就是平面ACD和平面ABC的距离，连BD分别交两平面于两点，易证是两平行平面距离。 不难算出，所以，所以异面直线BD与之间的距离为。点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离。题型2：线线夹角例2如图1，在三棱锥SABC中，求异面直线SC与AB所成角的余弦值。图1 解法1：用公式 当直线平面，AB与所成的角为，l是内的一条直线，l与AB在内的射影所成的角为，则异面直线l与AB所成的角满足。以此为据求解。 由题意，知平面ABC，由三垂线定理，知，所以平面SAC。 因为，由勾股定理，得 。 在中，在中，。 设SC与AB所成角为，则， 解法2：平移过点C作CD/BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则是异面直线SC与AB所成的角，如图2。又四边形ABCD是平行四边形。由勾股定理，得：。图2在中，由余弦定理，得：。点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；（2）证明这个角（或其补角）就是异面直线所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出所构造角的度数。题型3：点线距离例3（2002京皖春，15）正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）.M为矩形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为 。解析：过M作MOEF，交EF于O，则MO平面BCFE.如图所示，作ONBC，设OM=x，图又tanMBO=，BO=2x又SMBE=BEMBsinMBE=BEMESMBC=BCMBsinMBC=BCMNME=MN，而ME=，MN=，解得x=。点评：该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题来处理。题型4：点面距离例4（2006福建理，18）如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2。（）求证：AO平面BCD；（）求异面直线AB与CD所成角的大小；（）求点E到平面的距离。(1)证明：连结OC。BO=DO,AB=AD, AOBD。BO=DO,BC=CD, COBD。在AOC中，由已知可得AO=1,CO=。而AC=2，AO2+CO2=AC2,AOC=90,即AOOC。AB平面BCD。（）解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知MEAB,OEDC。直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。在OME中，是直角AOC斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角的大小为（）解：设点E到平面ACD的距离为h.,SACD =AOSCDE.在ACD中，CA=CD=2,AD=,SACD=而AO=1, SCDE=h=点E到平面ACD的距离为。点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。题型5：线面距离例5斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为4cm的正三角形，侧棱AA1与底面两边AB、AC均成600的角，AA1=7。（1）求证：AA1BC；（2）求斜三棱柱ABCA1B1C1的全面积；（3）求斜三棱柱ABCA1B1C1的体积；（4）求AA1到侧面BB1C1C的距离。解析：设A1在平面ABC上的射影为0。 A1AB=A1AC， O在BAC的平行线AM上。 ABC为正三角形， AMBC。又AM为A1A在平面ABC上的射影， A1ABC （2） B1BA1A， B1BBC，即侧面BB1C1C为矩形。 又， S全= （3） cosA1AB=cosA1AOcosOAB， cosA1AO= sinA1AO=， A1O=A1AsinA1AO= （4）把线A1A到侧面BB1C1C的距离转化为点A或A1到平面BB1C1C的距离为了找到A1在侧面BB1C1C上的射影，首先要找到侧面BB1C1C的垂面设平面AA1M交侧面BB1C1C于MM1 BCAM，BCA1A BC平面AA1M1M 平面AA1M1M侧面BCC1B1在平行四边形AA1M1M中过A1作A1HM1M，H为垂足则A1H侧面BB1C1C 线段A1H长度就是A1A到侧面BB1C1C的距离 点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。题型6：线面夹角例6（2006浙江理，17）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，ADBC,BAD=90,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点。()求证：PBDM; ()求CD与平面ADMN所成的角的正弦值。解析：（I）因为是的中点，所以。因为平面，所以，从而平面.因为平面，所以.（II）取的中点，连结、，则，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等。因为平面，所以是与平面所成的角。在中，。点评：本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。题型7：面面距离例7在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：（1）求证：平面A1BC1平面ACD1；（2）求(1)中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离。（1）证明：由于BC1AD1，则BC1平面ACD1，同理，A1B平面ACD1，则平面A1BC1平面ACD1。（2）解：设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离。易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=，则sinA1BC1=，则S=。由于，则Sd=BB1，代入求得d=，即两平行平面间的距离为。（3）解：由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由（2）知点B1到平面A1BC1的距离等于。点评：立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来。在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了。题型8：面面角例8（2006四川理，19）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，。（）求证：面；（）求二面角的大小。（）求三棱锥的体积。解析：（）证明：取的中点，连结 分别为的中点，面，面 面面 面（）设为的中点为的中点 面作，交于，连结，则由三垂线定理得。从而为二面角的平面角。在中，从而。在中，故二面角的正切值为。（），作，交于，由面得，面，在中，。点评：求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。五思维总结空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决1空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角(0，)，直线与平面所成的角，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角(0，)。对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力（1）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角，构造一个含的三角形，解三角形即可。方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角。（2）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。（3）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：根据定义作二面角的平面角；垂面法作二面角的平面角；利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法：即在一个平面上的图形面积为S，它在另一个平面上的投影面积为S，这两个平面的夹角为，则S=Scos。如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角alb的平面角（记作q）通常有以下几种方法：(1) 根据定义；(2) 过棱l上任一点O作棱l的垂面g，设gaOA，gbOB，则AOBq(图1)；(3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面a内一点A，分别作另一个平面b的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则ACBq 或ACBpq(图2)；(4) 设A为平面a外任一点，ABa，垂足为B，ACb，垂足为C，则BACq或BACpq(图3)；(5) 利用面积射影定理，设平面a内的平面图形F的面积为S，F在平面b内的射影图形的面积为S，则cosq. 图 1 图 2 图 32空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离求距离的一般方法和步骤是：一作作出表示距离的线段；二证证明它就是所要求的距离；三算计算其值此外，我们还常用体积法求点到平面的距离求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置.作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理.求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线.解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。作二面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“cos”求二面角否则要适当扣分。求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离求距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下：（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座11）空间中的垂直关系一课标要求：以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。二命题走向近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。预测2007年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：（1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点。三要点精讲1线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。推理模式： 。注意：三垂线指PA，PO，AO都垂直内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。2线面垂直定义：如果一条直线l和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面垂直记作：l。直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。3面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。四典例解析题型1：线线垂直问题例1如图1所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EFGF。证明：如图2，作GQB1C1于Q，连接FQ，则GQ平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点。ABCDEA1B1C1OF在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EFFQ，由三垂线定理得EFGF。点评：以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了立体几何从考查、论证思想。例2（2006全国，19）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D、E分别为BB1、AC1的中点，证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线。证明：设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，EDOB。ABBC，BOAC，又平面ABC平面ACC1A1，BO面ABC，故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1，BDAC1，EDCC1，EDBB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。点评：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理增强。题型2：线面垂直问题例3（1）（2006北京文，17）如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD平面ACC1A1。（2）（2006天津文，19）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。（I）证明平面；（II）设证明平面。证明：（1）ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，CC1平面ADCD, BDCC1ABCD是正方形BDAC又AC，CC1平面ACC1A1,且ACCC1=C, BD平面ACC1A1。（2）证明：（I）取CD中点M，连结OM。在矩形ABCD中，又则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。（II）连结FM。由（I）和已知条件，在等边中，且因此平行四边形EFOM为菱形，从而。平面EOM，从而而所以平面点评：本题考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。例4如图，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90，AA1 ，D 是A1B1 中点（1）求证C1D 平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 平面C1DF ？并证明你的结论。分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D 平面A1B。（2）由（1）得C1D AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。（1）证明：如图， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90。又 D 是A1B1 的中点， C1D A1B1 。 AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B。（2）解：作DE AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 平面C1DF ，点F 即为所求。事实上， C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB1 又AB1 DF ，DF C1D D ， AB1 平面C1DF 。点评：本题（1）的证明中，证得C1D A1B1 后，由ABCA1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 平面AA1B1B ，立得C1D 平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。题型3：面面垂直问题例5如图，ABC 为正三角形，EC 平面ABC ，BD CE ，CE CA 2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE DA ；（2）平面BDM 平面ECA ；（3）平面DEA 平面ECA。分析：（1）证明DE DA ，可以通过图形分割，证明DEF DBA。（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM 平面ECA。证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。 EC 平面ABC ，BD CE ，得DB 平面ABC 。 DB AB ，EC BC。 BD CE ，BD CE FC ，则四边形FCBD 是矩形，DF EC。又BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以DE DA。（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ， M 是EA 的中点， MN EC。由BD EC ，且BD 平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM MN。 DE DA ，M 是EA 的中点， DM EA 又EA MN M ， DM 平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA 平面BDM。（3） DM 平面ECA ，DM 平面DEA ， 平面DEA 平面ECA。点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。例6（2003京春理，19）如图所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBD=G。（）求证：平面B1EF平面BDD1B1；（）求点D1到平面B1EF的距离d；（）求三棱锥B1EFD1的体积V。（）证法一：连接AC。正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形。ACBD，又ACD1D，故AC平面BDD1B1E，F分别为AB，BC的中点，故EFAC，EF平面BDD1B1平面B1EF平面BDD1B1。证法二：BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD.平面B1EF平面BDD1B1。（）解：在对角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足为H平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面B1EF，且垂足为H，点D1到平面B1EF的距离d=D1H。解法一：在RtD1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H，D1B1=A1B1=4，sinD1B1H=sinB1GB=，d=D1H=4图解法二：D1HBB1BG，d=D1H=。解法三：如图所示，连接D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半.即B1GD1H=BB12。d=。（）d.点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力。并进行一定的逻辑推理，在研究本题时，要注意摘出平面图形，便于计算。题型4：射影问题例7（1）如图，正方形所在平面，过作与垂直的平面分别交、于、K、，求证：、分别是点在直线和上的射影证明： 面， ， 为正方形， ， 与相交， 面，面， 由已知面，且面， ， ，面，面， ，即 为点在直线上的射影，同理可证得为点在直线上的射影。点评：直线与平面垂直的判定定理和性质定理是解决两条直线的主要途径之一，另外，三垂线定理及逆定理、两条直线所成的角等也是证明两条直线垂直的常用的方法。（2）（2006湖北理，18）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。解法1：（）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，连结OG，因为PC平面，平面平面APCOG，故OGPC，所以OGPC。又AOBD,AOBB1，所以AO平面，故AGO是AP与平面所成的角。在RtAOG中，tanAGO，即m。所以，当m时，直线AP与平面所成的角的正切值为。（）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为D1O1A1C1, 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP。那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。例8如图1所示，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC的中点。（1）证明AB1DBC1；（2）假设AB1BC1，BC=2。求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长。证明：（1）如图2所示，A1B1C1ABC是正三棱柱，四边形B1BCC1是矩形。连结B1C，交BC1于E，则BE=EC。连结DE，在AB1C中，AD=DC，DEAB1，又因为AB1平面DBC1，DE平面DBC1，AB1平面DBC1。（2）作AFBC，垂足为F。因为面ABC面B1BCC1，AF平面B1BCC1。连结B1F，则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影。BC1AB1，BC1B1F。四边形B1BCC1是矩形，B1BF=BCC1=90，又FB1B=C1BC，B1BFBCC1，则=。又F为正三角形ABC的BC边中点，因而B1B2=BFBC=12=2。于是B1F2=B1B2+BF2=3，B1F=，即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为。点评：建立直线和平面的位置关系与点、线在平面上的射影间的关系。题型5：垂直的应用FCABDEFCABDEFCABDE图图图例9已知是边长为的正三角形所在平面外一点，求异面直线与的距离。解析：分别取、中点、，连结（图）。连结、（图），为公共边， 点为中点 同理：（图）又，即为异面直线与的公垂线段如图，在中， 异面直线与的距离。点评：求异面直线的距离，必须先找到两条异面直线的公垂线段。ABCDEFGH例10如图，在空间四边形中，、分别是边、的中点，对角线且它们所成的角为。求证：，求四边形的面积。解析：在中，、分别是边、的中点，在中，、分别是边、的中点， 且，同理：且，四边形为菱形，。， （或的补角）即为异面直线与所成的角，由已知得：（或），四边形的面积为：。题型6：课标创新题例11（1）（2000全国，16）如图（1）所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图（2）的 （要求：把可能的图的序号都填上）图（1）图（2）答案：解