浅析函数极限求法的毕业论文

浅析函数极限的求法 摘要 极限是数学分析的一个重要组成部分 它以各种形式出现且贯穿在全部内 容之中 因此 掌握好极限的求解方法是学习数学分析的关键 而函数极限的 求法可谓是多种多样 首先本文先给出了函数极限的定义及其性质 其次归纳和 总结了函数极限的若干求法 并举例分析 最后给出了求函数极限的流程图 也就是求函数极限的思路 步骤 使初学者能较快地掌握求函数极限方法 关键词 极限 导数 洛必达法则 泰勒公式 1 第 1 页 共 20 页 RAMBLE ABOUT THE METHODS OF MATH LIMIT ABSTRACT Mathematical analysis of the limit has been a focus of content and runs through the entire contents in a variety of forms therefore how to grasp the solution to limit is the key to learning the mathematical analysis The series of limit can be described as diverse by concluded and induction At first this paper gives the definition of limit by defining the to understand what is the limit of sequence and function secondly by induction and summarization this paper lists some common calculation methods and analysis all kinds of method of limit At last given the procedure of the solution to function limit finally i e the idea of solve function limit and the step of solve function limit to make the beginning student can grasp the method of solve function limit fast 9 Key words limit derivative Variable substitution L hospital s rule McLaughLin formula Taylar exhibition type 2 第 2 页 共 20 页 目 录 1 前言 3 2 函数极限的概念及性质 4 2 1 函数极限的概念 4 2 2 函数极限的性质 5 3 函数极限的求解方法 6 3 1 利用两个准则求极限 6 3 2 利用极限的四则运算求极限 7 3 3 利用两个重要极限公式求极限 8 3 4 利用洛必达法则求极限 9 3 5 利用函数连续性求极限 10 3 6 通过等式变形化为已知极限 10 3 7 利用换元法求极限 11 3 23 利用自然对数法求极限 11 3 8 利用因式分解法求极限 12 3 14 利用压缩定理 16 4 求极限的一般流程 18 结论 21 参考文献 22 致谢 23 3 第 3 页 共 20 页 1 前言 极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题 数学分析中所讨论的极限大体 上分为两类 一类是数列的极限 一类是函数的极限 两类极限的本质上是相同 的 在形式上数列界限是函数极限的特例 因此 本文只就函数极限进行讨论 函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算 一部分函数的极限可以通过 直接或间接的运用 极限四则运算法则 来求解 而另一部分函数极限需要通 过特殊方法解决 求函数极限的方法较多 但是每种方法都有其局限性 都不是 万能的 对某个具体的求极限的问题 我们应该追求最简便的方法 在求极限的 过程中 必然以相关的概念 定理以及公式为依据 并借助一些重要的方法和 技巧 极限是数学分析中最基本的概念之一 用以描述变量在一定的变化过程中 的终极状态 早在中国古代 极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载 例 1 如 魏晋时期中国数学家刘徽的 割圆术 的数学思想 即用无限逼近的方式 来研究数量的变化趋势的思想 在数学分析中的许多基本概念 都可以用极限来 描述 如函数连续的定义 导数的定义 定积分 二重积分 三重积分的定义 级数收敛的定义 都是用极限来定义的 极限是研究数学分析的基本工具 极限 是贯穿数学分析的一条主线 本文是在极限存在的条件下 对极限的常用求法进 行综述 归纳出计算极限的一般流程 计算极限所用的方法 是致力于把所求极 限简化为已知极限 求极限的方法远远不止本文所归纳的 故本文并不够完善 求极限的方法 未能拓展 只限于数学分析 希望通过本文 大家在思想上能对求解极限的方法 有一个高度的总括 计算极限时游刃有余 4 第 4 页 共 20 页 2 函数极限的概念及性质 2 1 函数极限的概念 定义 1 设为定义在上的函数 A 为定数 若对任给的 存在f a 0 正数 使得当时有M 0a xM f xA 则称函数当趋于时以 A 为极限 记作fx 或 lim x f xA f xA x 定义 2 函数极限的定义 设函数在点的某个空心邻域 f 0 x 内有定义 A 为定数 若对任给的 存在正数 使得 0 0 Ux 0 时有 0 0 xx f xA 则称函数当趋于时以 A 为极限 记作fx 0 x 或 0 lim xx f xA 0 f xA xx 定义 3 设函数在 或 内有定义 A 为定数 若对f 0 0 Ux 0 0 Ux 任给的 存在正数 使得当 或 时有0 00 xxx 00 xxx f xA 则称数 A 为函数当趋于 或 时的右 左 极限 记作fx 0 x 0 x 0 lim xx f xA 0 lim xx f xA 或 5 第 5 页 共 20 页 0 f xA xx 0 f xA xx 右极限与左极限统称为单侧极限 在点的右极限与左极限又分别记为f 0 x 与 0 0 0lim xx f xf x 0 0 0lim xx f xf x 2 2 函数极限的性质 定理 1 唯一性 若极限存在 则在的某空心邻域内 0 lim xx f x f 0 x 0 0 Ux 有界 定理 2 局部保号性 若 或 则对任何正数 0 lim0 xx f xA 0 或 存在 使得对一切rA rA 0 0 Ux 有 或 0 0 xUx 0f xr 0f xr 定理 3 保不等式性 设 与 都存在 且在某邻域 0 lim xx f x 0 lim xx g x 内有 则 0 0 Ux f xg x 00 limlim xxxx f xg x 定理 4 迫敛性 设 且在某邻域内有 00 limlim xxxx f xg xA 0 0 Ux 则 f xh xg x 0 lim xx h xA 定理 5 四则运算法则 若极限与都存在 则函数 0 lim xx f x 0 lim xx g x fg 当时极限也存在 fg 0 xx 6 第 6 页 共 20 页 3 函数极限的求解方法 3 1 利用两个准则求极限 1 极限的迫敛性 夹逼原理 对数列和函数同样适用 1 设 且在某内有 Axgxf xxxx lim lim 00 0 0 xU xgxhxf 则 Axh xx lim 0 利用夹逼原理求极限 通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值 的数列或函数 xgxhxf 例 3 1 求 cos lim x xx x 解 因为 所以当 0 时1cos1x x 11cos11 11 xxxx xxxxx 而 11 lim 1lim 11 xx xx 由迫敛性定理得 1 cos lim x xx x 例 3 2 求 2 sin lim 4 x xx x 解 因为当 2 时 x 222 sin 444 xxxx xxx 而 由迫敛性定理知 2 2 1 limlim0 4 4 1 xx x x x x 2 lim0 4 x x x 0 2 sin lim 4 x xx x 7 第 7 页 共 20 页 2 单调有界定理 2 设为定义在 或 上的单调有界函数 则存在 f x 0 0 Ux 0 0 Ux 0 lim xx f x 或存在 0 lim xx f x 3 2 利用极限的四则运算求极限 极限的四则运算法则 4 若 Axf xx lim 0 Bxg xx lim 0 1 BAxgxfxgxf xxxxxx lim lim lim 000 2 BAxgxfxgxf xxxxxx lim lim lim 000 3 若 则 0 B B A xg xf xg xf xx xx xx lim lim lim 0 0 0 4 c 为常数 cAxfcxfc xxxx lim lim 00 上述性质对于时也同样成立 xxx 通常在这一类型的题中 一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算 首 先对函数实行各种恒等变形 例 3 3 求极限 2 2 lim2 sincos x xxx 解 2 2 lim2 sincos x xxx 22222 lim2 limsinlimcoslimlim xxxxx xxxx 2 2 2 sincos2 1 2224 例 3 4 求极限 12 1 lim 2 2 1 xx x x 8 第 8 页 共 20 页 解 0 12 1 lim 2 2 1 xx x x 12 lim 1 lim 2 1 2 1 xx x x x 2 0 例 3 5 求极限 2 2 1 1 lim 21 x x xx 解 2 2 1 1 lim 21 x x xx 1 11 lim 121 x xx xx 1 12 lim 213 x x x 例 3 6 求极限 4 123 lim 2 x x x 解 44 241232 limlim 42123 xx xxx xxx 4 22 lim 123 x x x 242 4 31 83 3 3 利用两个重要极限公式求极限 两个重要极限公式 A B 2 1 sin lim 0 x x x e x x x 1 1 lim 但我们经常使用的是它们的变形 1 sin lim 0 x x A x e x B x x 1 1 lim 例 3 7 求极限 2 0 cos1 lim x x x 解 2 0 cos1 lim x x x 2 1 2 2 sin 2 1 lim 2 0 x x x 例 3 8 求极限 x x x 1 0 21 lim 9 第 9 页 共 20 页 解 x x x 1 0 21 lim 2 2 2 1 0 21 limex x x 3 4 利用洛必达法则求极限 型不定式极限 0 0 定理 若函数和满足 fg 1 0 lim lim 00 xgxf xxxx 2 在点的某空心邻域内两者都可导 且 0 x 0 0 xU0 xg 3 可为实数 也可为或 则A xg xf xx lim 0 A A xg xf xg xf xxxx lim lim 00 型不定式极限 定理 若函数和满足 fg 1 lim lim 00 xgxf xxxx 2 在点的某右空心邻域内两者都可导 且 0 x 0 0 xU 0 xg 3 可为实数 也可为或 则A xg xf xx lim 0 A A xg xf xg xf xxxx lim lim 00 不定式极限还有等类型 经过简单变换 它们一般均可 0 1 0 00 化为型或型的极限 0 0 例 3 9 求极限 x x x 0 lim 解 由对数恒等式可得 xxx ex ln x x x 0 lim xx x e lnlim 0 10 第 10 页 共 20 页 0 1 ln limlnlim 00 x x xx xx 1lim 0 0 ex x x 例 3 10 求极限 0 2cos4sin2 lim 2sin x xx xx 解 0 2cos4sin2 lim 2sin x xx xx 0 2sin4cos lim 2cos x xx x 4 3 5 利用函数连续性求极限 1 若在处连续 则 xf 0 xx lim 0 0 xfxf xx 2 若是复合函数 又且在处连续 则 xf ax xx lim 0 ufau lim lim 00 afxfxf xxxx 这种方法适用于求复合函数的极限 如果在点连续 xgu 0 x 00 uxg 而在点连续 那么复合函数在点连续 即 ufy 0 u xgfy 0 x lim lim 0 00 xgfxgfxgf xxxx 例 3 10 求极限 x x x 1 1ln lim 解 令 uyln x x u 1 1 因为在点处连续ulne x u x x 1 1 lim 0 所以 x x x 1 1ln lim 1 1 limln x x x 1ln e 3 6 通过等式变形化为已知极限 要点 当极限不宜直接求出时 可考虑将求极限的变量作适当的等式变形 得到已知极限的新变量 11 第 11 页 共 20 页 例 3 11 求极限 1 lim x xxx x 解 0 1 lim x xxx x x xxx x1 1 111 lim 73 3 7 利用换元法求极限 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时 可采用换元的方法加以变 形 使之简化易求 例 3 12 求极限 xx x x x ln 1 lim 1 解 令 则1 x xt 1ln ln txx xx x x x ln 1 lim 1 1 1 1 lim 1ln lim 00 t t t t tt 3 8 利用自然对数法求极限 自然对数法 把形如通过恒等变形写成的形式 改为求 xg xf ln xfxg 或不定式的极限 0 0 例 3 13 求极限 x x x x cos1 1 0 sin lim 解 用自然对数法 令 y x x x cos1 1 sin 取自然对数得 x x x y sin ln cos1 1 ln 12 第 12 页 共 20 页 2 sin ln lim sin ln cos1 1 lim 2 00 x x x x x x xx x x xxx x x x 2 0 sincos sin lim 3 0 2 0 sincos lim sin sincos lim x xxx xx xxx xx 3 1 3 sin lim 2 0 x xx x 3 1 cos1 1 0 sin lim e x x x x 3 9 利用因式分解法求极限 要点 如果可以通过因式分解将变量化简或转化为已知的极限 即可利用 此方法求变量极限 例 3 14 就极限 2sin3sin 1sin3sin4 lim 2 2 2 xx xx x 解 2 2 2 2 2 4sin3sin1 lim sin3sin2 4sin1 sin1 lim sin2 sin1 4sin1 lim5 sin2 x x x xx xx xx xx x x 3 10 利用等价无穷小量求极限 当时 下列函数都是无穷小 极限为 0 且相互等价 0 x xxsin xxarcsin xxtan xxarctan 1 x ex 1ln xx axa x ln 1 xx 1 1 设函数在内有定义 且有hgf 0 0 xU 13 第 13 页 共 20 页 xgxf 0 xx 1 若 则Axhxf xx lim 0 Axhxg xx lim 0 2 若 则 B xf xh xx lim 0 B xg xh xx lim 0 注 在用等价无穷小求极限过程 不是乘除的情况 不一定能这样做 例 3 15 求极限 3 34 0 2 sin lim x xx x 解 3 34 0 2 sin lim x xx x 8 8 lim 2 lim 3 34 0 3 34 0 x xx x xx xx 例 3 16 试确定的值 使时为同阶无穷小量 0 lim 1tan1 sin x xx 0 x 解 因为 1tan1 sinxx tansin 1tan1 sin xx xx 1 cos1 sin cos1tan1 sin x x xxx x 0 x 所以 故当 1 时 0 1tan1 sin lim1 x xx x 与当时为同阶无穷小量1tan1 sinxx x 0 x 3 11 利用积分中值定理求极限 一般根据积分第一中值定理 若在上连续 则至少存在一点 4 f ba 使得 ba b a abfdxxf 将某些含有积分的变量化为一般形式再求极限 例 3 17 求极限 1 0 3 0 1 1 limdx x 3 14 第 14 页 共 20 页 解 由积分中值定理 1 0 3 1 1 dx x 1 1 3 10 1 1 1 lim 1 1 lim 3 0 1 0 3 0 dx x 3 12 利用定积分求和式的极限 利用定积分和式求极限时首先选好恰当的可积函数 把所求极限的和式 xf 表示成在某区间上的等分的积分和式的极限 xf ba 5 例 3 18 求极限 1 2 1 1 1 lim nnnn n 解 nnnn 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 n n nn n n k n n k 1 1 1 1 1 令 则由定积分定义知 xf1 0 1 1 x x 1 0 1 1 1 1 lim 1 1 n k n n n k dx x 2 又 1 0 2ln 1 1 dx x 3 由 得 1 2 3 1 2 1 1 1 lim nnnn n 2ln 3 13 利用级数收敛的必要条件求极限 利用级数收敛的必要条件 若级数收敛 则 运用这个 1n n u 0 nun 15 第 15 页 共 20 页 方法首先判定级数收敛 然后得出它的通项极限 1n n u 6 例 3 19 求极限 2 lim n nn n 解 设 2 n n a n n 则 n n n n n n n n n n a a 2 2 1 1 1 1 limlim n n nn 1 1 1 1 lim 0 1 由比值判别法知收敛 1n n a 由必要条件知 0 2 lim n nn n 3 14 利用泰勒公式求极限 泰勒公式是一大难点 在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件 清楚泰 勒 公式 麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式 实际上 泰勒 7 公式在证明 极限计算等方面有着广泛而独到的应用 泰勒定理 若在点有直到阶连续导数 那么 8 xf0 x1 n 0 2 0 0 0 2 xRx n f x f xffxf n n n 其中在 0 与 1 之间 1 1 1 n n n x n f xR 例 3 20 求极限 4 2 0 2 cos lim x ex x x 解 泰勒展开式 4 2 1cos 4 42 xO xx x 16 第 16 页 共 20 页 2 2 1 2 1 42 22 2 2 xO xx e x 于是 12 1 cos 44 2 2 xOxex x 所以 4 2 0 2 cos lim x ex x x 12 1 12 1 lim 4 44 0 x xOx x 3 15 利用压缩定理 定理 3 15 压缩定理 1 对于任意数列而言 若存在常数 使得 恒有 n xrnN 11nnnn xxr xx 01r 则数列收敛 n x 2 特别 若数列利用递推公式给出 n x 其中为某一可微函数 且 使得 1 1 2 3 nn xf xn frR 则收敛 1 fxrxR n x 证明 1 1 1101010 11 11 nnpnnpnp k npnkk k nk n rrr xxxxrxxxxxx rr 应用柯西准则 知收敛 或利用狄利克雷判别法 可知级数 n x 绝对收敛 从而序列 1 nn xx 10 1 1 2 3 n nkk k xxxx n 收敛 2 若成立 利用微分中值定理 1fxr 1111 nnnnnnnnn xxf xf xfxxxr xx 2 3n 17 第 17 页 共 20 页 即此时 也成立 故由 1 可知收敛 11nnnn xxr xx 01r n x 注 此定理可以与单调有界定理和起来证明递推数列的收敛 如例 3 2 也可 以这么来证明 例 3 2 证明下列数列的极限存在 并求极限 01 1 2 0 1 2 nn xxxn 解 对于 1 已有 对 有 12 n x 2f xx 22 1 22 fx x 则它满足压缩定理的条件 故收敛 n x 例 3 15 设 由下列递推公式定义 2 1 x f x x n x 0 1x 1 nn xf x 求 0 1 2 n lim n n x 解 因为 1 21 11 n n nn x x xx 又因为 1111221 2 111 242 nnnnnnnn n xxf xf xxxxxxx 222 1 2 11 1 1 1 xx fx xxx 所以收敛 2 11 1 2 f 1nn xx n x 因为 设 1 2 1 n nn n x xf x x lim n n xa 对两边取极限得 2 1 a a a 所以 不合题意 由极限的保号性可知 2a 2 所以lim n n x 2 18 第 18 页 共 20 页 4 求极限的一般流程 一般流程图如下所示 19 第 19 页 共 20 页 N Y N 通分 Y N Y Y N Y N N N Y N YY NY N Y 输入 xf 连续 输出 g f 0 0有零 因式 去零 因式 gf 0 洛必达 法则 有无穷 大因式 去无穷大 因式 0 0 c c M M00 g f 利用其他方 法求极限 图图 1 1 求函数极限流程图求函数极限流程图 求函数极限的方法较多 但是每种方法都有其局限性 都不是万能的 对某个 具体的求极限的问题 我们应该追求最简便的方法 在求极限的过程中 必然以相 关的概念 定理及公式为依据 并借助一些重要的方法和技巧 对求函数极限流程图的说明 20 第 20 页 共 20 页 1 判断函数是否连续 若连续直接用极限的四则运算解之 如例 3 3 3 4 3 5 3 6 2 判断函数的形式是不是 xg xf 2 1 如果是 接着判断是不是 或 xg xf 0 0 如果是 接着判断是否有零因式 或无穷大因式 如果有 则去零因式 或无穷大因式 再回到第一步进行是否 连续的判断 若有零因子 可用因式分解或泰勒展开式去零因子 若有无 穷因子 可通过衡等变化去无穷因子 如果没有 则应用洛必达法则 再回到第一步进行是否连续的判 断 如果不是 则是形如 的极限 显然可直接得出答案 0 cc c 2 2 如果不是 接着判断是不是 xg xf xgxf 如果是 接着判断是不是 xgxf 0 如果是 则转到 2 1 如果不是 则是形如 的极限 显然可直接得出答案 MM 0 如果不是 接着判断是不是的形式 xgxf xg xf 如果是 应用自然对数法求极限 则可转到 2 2 如果不是 则判断是不是 的形式 如果是 通分可后转到 2 如果不是 则归结为其他类型的极限 用两边夹定理积分中值定理 级数收 敛的必要条件等其他方法来求解 可转到 1 如例 4 2 4 3 4 4 不同的函数形式 可采用不同的极限求法 如上文归纳的求极限的方法 不 管用什么方法 目的都是要简化函数 化为已知极限 21 第 21 页 共 20 页 结论 在选择求极限方法时 首先要分析函数的特点 确定函数式的类型 然后 根据函数的类型和特点来决定用何种方法去求函数的极限 极限是描述数列和函 22 第 22 页 共 20 页 数的变化趋势 该趋势是以自变量的变化过程为前提 所以在判断极限所属的类 型时 一定要以自变量的变化过程为前提 而不能单纯只看函数式 否则必错无疑 把求数列极限化为求函数极限 就给求数列极限开辟了广阔的天地 这是因 为求函数极限可以有多种方法 针对不同函数的特点 可利用函数的连续性 洛 必达 L Hospital 法则 函数的泰勒 Taylor 展开式等 但也应该明白 并不是任 何数列极限问题都能转化为函数极限问题的 例如 当数列的通项本身呈现 n 项 之和或积的形式时就不能按海涅定理转化为函数的极限了 本文主要归纳了数学分析中求极限的一些常用方法 以上只是