控制系统各种传递函数离散化后的递推公式推导及结果.doc

一、凹口网络传递函数：F(S)E(S)=HS=S2+210S+02S2+220S+02上式中参数：0 ：凹口网络中心频率，0=2f0；1 ：二阶微分环节阻尼系数；2 ：二阶振荡环节阻尼系数；采用双线性变换公式对上式离散化：S=2T1-Z-11+Z-1代入H(S)表达式得到：YZXZ=(2T1-Z-11+Z-1)2+210(2T1-Z-11+Z-1)+022T1-Z-11+Z-12+2202T1-Z-11+Z-1+02令A=210 ; B=02 ; C=220YZXZ=(2T1-Z-11+Z-1)2+A(2T1-Z-11+Z-1)+B2T1-Z-11+Z-12+C2T1-Z-11+Z-1+B=4T2(1-Z-1)2+2AT(1-Z-2)+B(1+Z-1)24T2(1-Z-1)2+2CT(1-Z-2)+B(1+Z-1)2=4(1-Z-1)2+2AT(1-Z-2)+BT2(1+Z-1)24(1-Z-1)2+2CT(1-Z-2)+BT2(1+Z-1)2=4-8Z-1+4Z-2+2AT-2ATZ-2+BT2+2BT2Z-1+BT2Z-24-8Z-1+4Z-2+2CT-2CTZ-2+BT2+2BT2Z-1+BT2Z-2=(4+2AT+BT2)+2BT2-8Z-1+(4-2AT+BT2)Z-2(4+2CT+BT2)+2BT2-8Z-1+(4-2CT+BT2)Z-2 (4+2CT+BT2)+2BT2-8Z-1+(4-2CT+BT2)Z-2Y(Z)=(4+2AT+BT2)+2BT2-8Z-1+(4-2AT+BT2)Z-2X(Z) (4+2CT+BT2)Yn+2BT2-8Yn-1+(4-2CT+BT2)Yn-2=(4+2AT+BT2)Xn+2BT2-8Xn-1+(4-2AT+BT2)Xn-2 转变成“Yn=”的形式Yn14+2CT+BT24+2AT+BT2Xn+2BT2-8Xn-1+4-2AT+BT2Xn-2-2BT2-8Yn-1-4-2CT+BT2Yn-2迭代公式：Xn-2Xn-1 ；Xn-1Xn Yn-2Yn-1 ；Yn-1Yn*二、PI调节器F(S)E(S)=HS=K(T1S+1)S采用双线性变换公式对上式离散化：S=2T1-Z-11+Z-1代入H(S)表达式得到：Y(Z)X(Z)=K(T12T1-Z-11+Z-1+1)2T1-Z-11+Z-1=K(T11-Z-11+Z-1+T2)1-Z-11+Z-1=KT1(1-Z-1)+KT2(1+Z-1)1-Z-1 YZ-YZZ-1=KT11-Z-1+KT21+Z-1X(Z)=KT1+KT2XZ+(KT2-KT1)X(Z)Z-1=K(T+2T1)2XZ+K(T-2T1)2X(Z)Z-1令A=K(T+2T1)2 ; B=K(T-2T1)2YZ=YZZ-1+AXZ+BX(Z)Z-1转变成“Yn=”的形式 Yn=Yn-1+AXn+BXn-1迭代公式：Xn-1Xn Yn-1Yn*三、滞后超前 调节器F(S)E(S)=HS=K(T2S+1)(T1S+1)采用双线性变换公式对上式离散化：S=2T1-Z-11+Z-1代入H(S)表达式得到：Y(Z)X(Z)=K(T22T1-Z-11+Z-1+1)T12T1-Z-11+Z-1+1=KT21-Z-1+T21+Z-1T11-Z-1+T21+Z-1=K(T2+T2)+(T2-T2)Z-1(T1+T2)+(T2-T1)Z-1 YZ(T1+T2)+YZ(T2-T1)Z-1=K(T2+T2)X(Z)+K(T2-T2)X(Z)Z-1 YZ=YZ(T1-T2)Z-1+K(T2+T2)X(Z)+K(T2-T2)X(Z)Z-1T1+T2=T1-T2T1+T2YZZ-1+K(T2+T2)T1+T2X(Z)+K(T2-T2)T1+T2X(Z)Z-1=2T1-T2T1+TYZZ-1+K(2T2+T)2T1+TX(Z)+K(T-2T2)2T1+TX(Z)Z-1令A=2T1-T2T1+T;B=K(2T2+T)2T1+T;C=KT-2T22T1+TYZ=AYZZ-1+BX(Z)+CX(Z)Z-1转变成“Yn=”的形式Yn=AYn-1+BXn+CXn-1迭代公式：Xn-1Xn Yn-1Yn*四、PID 调节器（形式1）F(S)E(S)=HS=K(1S+1)(2S+1)S(T1S+1)参数：1：一阶微分环节时间常数（第二转折频率）； 2：一阶微分环节时间常数； T1：一阶惯性环节时间常数； K：PID调节器放大系数。采用双线性变换公式对上式离散化：S=2T1-Z-11+Z-1代入H(S)表达式得到：Y(Z)X(Z)=K(12T1-Z-11+Z-1+1)(22T1-Z-11+Z-1+1)2T1-Z-11+Z-1(T12T1-Z-11+Z-1+1)=K12+T21+2+T24+T22-212Z-1+12-T21+2+T24Z-2T1+T2-2T1Z-1+T1-T2Z-2转变成“Yn=”的形式Yn=4T12T1+TYn-1+T-2T12T1+TYn-2+K412+2T1+2+T24T1+2TXn+KT2-4122T1+TXn-1+K412-2T1+2+T24T1+2TXn-2令 : A1=4T12T1+T A2=T-2T12T1+T B0=K412+2T1+2+T24T1+2T=21+T22+TK2(2T1+T) B1=KT2-4122T1+T B2=K412-2T1+2+T24T1+2T=21-T22-TK2(2T1+T) Yn=A1Yn-1+A2Yn-2+B0Xn+B1Xn-1+B2Xn-2迭代公式：Xn-2Xn-1 ；Xn-1Xn Yn-2Yn-1 ；Yn-1Yn*五、PID 调节器（形式2）F(S)E(S)=HS=K(S+a)(S+b)(S+c)(S+d)采用双线性变换公式对上式离散化：S=2T1-Z-11+Z-1代入H(S)表达式得到：Y(Z)X(Z)=K2T1-Z-11+Z-1+a2T1-Z-11+Z-1+b2T1-Z-11+Z-1+c2T1-Z-11+Z-1+d=K1-Z-1+Ta21+Z-11-Z-1+Tb21+Z-11-Z-1+Tc21+Z-11-Z-1+Td21+Z-1=K1+Ta2+Ta2-1Z-11+Tb2+Tb2-1Z-11+Tc2+Tc2-1Z-11+Td2+Td2-1Z-1=K2+Ta2+Tb+2T2ab-8Z-1+Ta-2Tb-2Z-22+Tc2+Td+2T2cd-8Z-1+Tc-2Td-2Z-2 c+2Td+2TY(Z)+2cd-4T2Y(Z)Z-1+c-2Td-2TY(Z)Z-2=Ka+2Tb+2TX(Z)+2ab-4T2X(Z)Z-1+a-2Tb-2TX(Z)Z-2令 : Deno=c+2Td+2T Kr=a+2Tb+2TDeno Kr-1=2ab-4T2Deno Kr-2=a-2Tb-2TDeno Kc-1=2cd-4T2Deno Kc-2=c-2Td-2TDeno转变成“Yn=”的形式Yn=KKr-2Xn-2+Kr-1Xn-1+KrXn-Kc-2Yn-2+Kc-1Yn-1迭代公式：Xn-2Xn-1 ；Xn-1Xn Yn-2Yn-1 ；Yn-1Yn*六、I型系统期望特性 假设一系统的原始开环传递函数为：LS=KS1+T3S=cS1+13S它的波特图如下图：现对其增加串联迟后校正（近似PI控制器）环节：KS=1+aT1S1+T1S=1+12S1+11S 它的波特图如下：校正后的系统开环传递函数为：LS=L(S)K(S)=c1+aT1SS1+T1S1+T3S1I型系统期望特性 I型系统特点：系统的正向通道（即主通道）包含1个纯积分环节。它的典型开环传递函数KvW(S)的形式为：KvWS=L(S)(S)=Kv1+T2SS1+T1S1+T3S式中Kv速度常数，即系统开环增益（s-1）；T1 ，T3 两个惯性环节的时间常数（s）；T2一阶微分环节的时间常数（s）。 I型系统的期望特性如下图：根据直线斜率定义，由上图在1v范围内得到如下方程：-20=0-20logKvlogv-log1 Kv=v同理，在1v得到如下方程：-20=0-20logK1logv-log1 logK1=logv1同理，在12得到如下方程：-40=20logK2-20logK1log2-log1 logK2-logK1=-2log21同理，在2c得到如下方程：-20=0-20logK2logc-log2 logK2=logc2联立上述四个方程得到如下关系式：logc2-logv1=-2log21 v=c21=Kv根据Barton公式：Ka=Kv2KvT1+T3-T2-1T1T2T334倍,在对数特性上可视为远大于并且Kv1KaKvT1=Kv1=c211=c2=a22I型系统对各种输入信号的稳态误差假设I型系统的动态结构图如下图：系统闭环传递函数为：S=C(S)R(S)=G1G21+G1G2系统误差传递函数为：E(S)R(S)=11+G1G2(1) 输入单位阶跃信号rt=1,RS=1Sessr=limS0SE(S)=limS0S11+Kp2S+1T1S+1KnST3S+11S=limS0T1S+1ST3S+1T1S+1ST3S+1+KpKn2S+1=limS0T1T3S3+T1+T3S2+ST1T3S3+T1+T3S2+1+KpKn2S+KpKn=0(2) 输入等速信号rt=t,RS=1S2essr=limS0SE(S)=limS0S11+Kp2S+1T1S+1KnST3S+11S2=limS0T1T3S2+T1+T3S+1T1T3S3+T1+T3S2+1+KpKn2S+KpKn=1KpKn(3) 输入等加速信号rt=12t2,RS=1S3essr=limS0SE(S)=limS0S11+Kp2S+1T1S+1KnST3S+11S3=limS0T1T3S+T1+T3+1ST1T3S3+T1+T3S2+1+KpKn2S+KpKn=*七、II型系统期望特性1II型系统期望特性II型系统的结构特点：系统的正向通道包含2个积分环节。典型开环传递函数KaW(S)的形式为：KaWS=L(S)(S)=Ka1+T2SS21+T3S式中Ka加速度常数，即系统开环增益（s-2）；T3 惯性环节的时间常数（s）；T2一阶微分环节的时间常数（s）。 II型系统的期望特性如下图：根据直线斜率定义，由上图在1a范围内得到如下方程：-40=0-20logKaloga-log1 Ka=a2同理，在2a得到如下方程：-40=0-20logK2loga-log2 logK2=2loga2同理，在2c得到如下方程：-20=0-20logK2logc-log2 logK2=logc2联立上述三个方程得到如下关系式：Ka=a2=c22II型系统对各种输入信号的稳态误差假设II型系统的动态结构图如下图：系统闭环传递函数为：S=C(S)R(S)=G1G21+G1G2系统误差传递函数为：E(S)R(S)=11+G1G2(4) 输入单位阶跃信号rt=1,RS=1Sessr=limS0SE(S)=limS0S11+Kp2S+1SKnST3S+11S=limS0SST3S+1SST3S+1+KpKn2S+1=limS0T3S3+S2T3S3+S2+KpKn2S+KpKn=0(5) 输入等速信号rt=t,RS=1S2essr=limS0SE(S)=limS0S11+Kp2S+1SKnST3S+11S2=limS0ST3S+1SST3S+1+KpKn2S+1=limS0T3S2+ST3S3+S2+KpKn2S+KpKn=0(6) 输入等加速信号rt=12t2,RS=1S3essr=limS0SE(S)=limS0S11+Kp2S+1SKnST3S+11S3=limS0T3S+1T3S3+S2+KpKn2S+KpKn=1KpKn*八、期望特性参数的选择和确定期望特性设计，就是选择各频段的斜率；Kv和Ka常数的确定及截至频率c和转折频率1、2、3的选择。期望特性反映了系统的各项性能指标。低频段的斜率与系统的无静差阶次一致。对于I型系统，它反映了速度常数Kv，决定了系统的静态误差CT和速度误差v；对于II型系统，它反映了加速度常数Ka，决定了系统的加速度误差a。中频段与性能指标的关系有：1) 截至频率c的大小反映了伺服带宽的宽窄；2) 相角裕量由中频段的长度和对称度确定；3) 当c一定时，转折频率的大小反映了常数的大小。 高频段反映了系统限制高频干扰及防止机械结构谐振的能力。然而，实际系统最后确定的高频段转折频率3，以及斜率应由闭环速度回路和反谐振回路的传递函数确定。这样，期望特性就将系统的位置回路和速度回路联系起来。 当系统的无静差阶次确定后，低频段的斜率是固定的，可变部分在中频段和高频段。这样，就形成了两类不同型式的期望特性。1、 c的选择c的选择受伺服带宽的限制。一般取：c=11.5122n (rad/s)2、 的选择2=1214c (rad/s)保证必须对加速度常数提出要求。一般取：2=Kac (rad/s)a 当c=122n；2=14cc，有Ka=2.5n2；这是保守的取法。b 当c=11.752n；2=13cc，有Ka=4.29n2；这是一般能达到的水平。c 当c=11.52n；2=12cc，有Ka=8.76n2；这是经过努力可能达到的高水平。3、 的选择的选择在I型系统进行。一般小则大，反之亦然。但不是愈小则愈大。建议的最小值取在对应在5001000处。4、 的选择A、 根据选择：33c3。这种选择能保证至少为45。B、 根据如下关系式：c=tan-1c2-tan-1c3*九、正割函数校正正割函数校正用于单脉冲雷达跟踪下的方位伺服系统（俯仰机构叠加于方位机构式的天线座）。跟踪目标时的几何关系如下图：由上图看出，在存在俯仰角时，目标由B点移动到C点，雷达天线轴线从AB线转动到AC线。这时，ABC平面转过的角度为x。要使天线转过x，伺服方位支路必须带动天线在AOD平面内转过角度。由于方位角和横扫角x是在两个不同的平面内，因而存在坐标转换问题。可以证明，坐标转换的结果使得方位支路伺服系统的开环增益Kv，随着俯仰角的余弦而变化。为保证在不同俯仰角跟踪时，方位伺服系统的开环增益Kv保持不变，确保不断精确地跟踪目标就必须进行补偿。为此，要在方位伺服系统的位置回路的前向通路上，串接一个正割律的校正电位器。而正割律校正就称为正割函数校正。由上图几何关系得到：sinx=BCAC BC=ACsinxBC=ODOD=ACsinxcos=ADAC AD=ACcossin=ODAD 带入OD sin=ACADsinx 带入AD ACsinxACcos=sinxsec在天线正常跟踪目标的情况下，很小，x也很小，则有sin，sinxx，于是得到：=xsec*十、前馈校正(一) II型系统前馈校正1前馈环节G3S的表达式推导系统闭环传递函数为：S=C(S)R(S)=G1G2+G3G21+G1G2系统误差传递函数为：E(S)R(S)=1-G3G21+G1G2假设：G1(S)=Kp1S+1SG2(S)=KnST1S+1G3S=aS2+bS+c由于二型系统对单位阶跃信号和等速信号的稳态误差为零，故这里仅讨论输入信号为等加速信号时的情况。等加速信号即：rt=12t2拉式变换RS=1S3那么系统的稳态误差为：essr=limS0SE(S)=limS0S1-G3G21+G1G21S3=limS01-G3KnST1S+11+Kp1S+1SKnST1S+11S2=limS0S2T1S+1-(aS2+bS+c)KnSS2T1S+1+KpKn1S+11S2=limS0T1-aKnS3+1-bKnS2-cKnSS2T1S+1+KpKn1S+11S2如果使essr=0，即系统对等加速信号跟踪误差为0，则需要的条件是：1-bKn=0cKn=0 b=1Knc=0所以前馈环节传递函数形式为：G3S=1KnS2前馈环节G3S的表达式中的微分环节离散化形式讨论(1) 向后差商变换S=1-Z-1T那么离散化后的迭代方程为：CkT=1KnRkT-R(kT-T)1TRkT-T=R