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精品文档高等代数一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）1只于自身合同的矩阵是 矩阵。2二次型的矩阵为_。3设是实对称矩阵，则当实数_,是正定矩阵。4正交变换在标准正交基下的矩阵为_。5标准正交基下的度量矩阵为_。6线性变换可对角化的充要条件为_。7在中定义线性变换为： ，写出在基下的矩阵_。8设、都是线性空间的子空间，且，若，则_。9叙述维数公式_。10向量在基（1）与基（2）下的坐标分别为、，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为，则与的关系为_。二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）1线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ）2设为维线性空间上的线性变换，则。（ ）3平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（ ）4设与分别是齐次线性方程组与的解空间，则 （ ）5为正定二次型。（ ）6数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ）7把复数域看作复数域上的线性空间，令，则是线性变换。（ ）8若是正交变换，那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间。（ ）9欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ）10若为 ()中的微分变换，则不可对角化。（ ）三、计算题 （共3题，每题10分，共30分）1设线性变换在基下的矩阵为，求的特征值与特征向量，并判断是否可对角化？2取什么值时，下列二次型是正定的？3设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为：,求在基，下的矩阵。四、证明题 （共4题，每题10分，共40分）1证明：与相似，其中是的一个排列。2证明：和是直和的充要条件为：。3设是级实对称矩阵，且，证明：存在正交矩阵，使得： 4证明： 与 合同，其中是的一个排列。答案一1零 2 3.充分大 4.正交矩阵 5. 6.有个线性无关的特征向量7. 8. 9. 10. 二1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三1.解： （3分） 所以，的特征值为（二重）和。把代入方程组得： 基础解系为 因此，属于得两个线性无关得特征向量为： 因而属于的全部特征向量就是 ，、取遍中不全为零的全部数对 （6分），再用代入得：基础解系，因此，属于5的全部特征向量是， 是中任意不等于零的数。 （9分） 因为有三个线性无关的特征向量，所以可能对角化。 （10分）2.解：的矩阵为： ， ， 。得：当时，是正定的。3解： （2.5分） （2.5分） （2.5分）在基下的矩阵为 （2.5分）四1.证：任意维向量空间，的基，则唯一使 （3分）即 在基下的矩阵为（6分）与相似（1分）2证：是直和 （3分） （2分）令 （3分），同理是直和。 （2分）3证：设是的任一特征值 ，使 ， 或实对称矩阵正交矩阵，使4证：、对应的二次型分别为令 ， 所以，与合同。
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