CAPM的推导.doc

CAPM的推导均值方差分析n种风险资产求解：构造拉格朗日函数：解得：令：，于是：进一步:最小方差组合点：推出：均方效率资产组合的特征定义效率曲线上，任意两种资产组合（期望收益）的协方差：可以证明：除了最小方差资产组合点外，对于均方效率曲线上任意一资产组合点，总能够在最小方差曲线上找到另外唯一一点，使得他们的协方差等于0，称他们为一对正交资产。为了找到这一点：令：就可以得到该正交资产的期望收益率为：从上上式子我们还可以发现全局最小方差组合有这样一个特点：这一点与其它任意资产组合的协方差总是等于该最小方差组合的期望收益方差，即：正交资产的集合解释如图： 正交资产均值方差正交资产均值标准方差 在均值-方差空间中，通过与全局最小方差组合点做一条直线，它与期望收益轴焦点就是正交组合的收益。根据直线的两点式方程：在均值-标准差空间中，与组合相切的直线与期望收益轴的焦点，就是正交资产的期望收益，找到在最小标准方差曲线上与之对应的点，就可以获得正交资产的位置。 现在我们考虑单个风险资产与投资组合的协方差。两个正交组合的协方差：两个式子相减得到：因为i是任取的，所以上式对于任何其他资产和资产组合也能成立。因此又有：得到：所以：定义：，则有： 这就是说，任意风险资产i相对于的正交资产组合的超额收益，同均方效率资产组合相对于它的正交资产的超额收益之间，存在正比例关系。这个系数是风险资产i和之间协方差比上的方差。这个结论非常重要，它直接引导了后面的资本资产定价模型。互助基金定理：假定、是在给定收益、（）下，具有均方效率的资产组合，那么：（1）任何具有均方效率组合都可以由任何、的线性组合合成（2）反过来，由任何、的线性组合合成，即也都具有均方效率的资产组合加入一种风险资产解得：而且e0,如果定义一种风险资产相对于无风险资产的超额收益为：则所有风险资产的超额收益是一个n维列向量，用？来表示，因而有：这样可以解出资产组合组合总方差为：我们假定：，那么该射线与均方效率曲线有唯一切点，显然有.这样该切点资产组合完全由风险资产组合构成，因为：可以得到它的超额收益：带入正交资产均值标准方差效率边界存在无风险资产条件下的均方效率边界根据两基金分离定理，我们可以通过选择任意两个点，来构成真个均方效率曲线。我们仅仅选择无风险证券和仅仅包含风险证券的切点组合。切点资产组合也有与之相对应的正交资产组合，它的收益率就是无风险资产的收益率。依据前面所分析的，我们是容易得到：资本资产定价模型：基础模型：假定：（1）所有投资行为仅仅发生在一个时点上，即在0时刻决策，在1时刻收获；（2）投资者为风险厌恶，并总是根据均方效率曲线原则进行决策；（3）无摩擦的市场，即不存在交易费用和税收，所有证券无限可分;(4)无操纵的市场，任何单独的投资者行为，都不足以影响资产的市场价格，他们是价格的接收者；（5）无制度限制，允许卖空，并且可以自由支配卖空所得。（6）存在一种无风险证券，所有投资者可以按照同一的无风险利率，进行任意数额的借贷。（7）信息是完全的，所有投资者可以看到资本市场上所有资产完整的方差、协方差和期望收益数据；并且最重要的是：（8）投资者完全相同的信息结构，所有的投资者都假定运用我们上面所提到的均方分析方法作决策筛选，因而，他们会德奥完全一样的效率曲线。这就是所谓的同质预期。 识别咋均衡时刻，切点资产组合就是市场证券组合，正式夏普-林特纳的精华所在。因此当从整个市场的角度来看均方效率曲线边界，它被称作资本市场线。下图：均值标准方差资本市场线它的数学形式就是：既然已经知道了市场证券组合也是均方效率资产组合，就可以进一步确定单个风险资产的均衡收益率，单个资产与市场证券组合之间的关系，为：注意：实际上就是单一资产收益同市场收益之间的协方差在市场总体方差中的比重。它有一个重要的性质，一种证券组合的系数是由组成它的各种证券的系数的简单加权平均，即：分散风险从统计学的角度看，预测风险资产收益率的剂量模型可以采用下面这种形式：对上面的式子两边取方差整理得：根据相关系数的定义，有：即使单一风险资产收益和市场组合收益之间的相关系数当，。进一步，正确理解单个资产风险的关键，在于明确它同整个资产组合风险之间关系，单个资产风险正确的定义应当是它对于整个资产组合风险的贡献率，即：如果增加资产组合中风险资产的数目时，组合的方差将会发生变化。我们将看到：随着资产种类的增加，组合的方差会逐渐减少并向平均协方差靠拢。假定投资于n中风险资产，并且在每一资产上的投资份额都相等，即：则资产组合的整体方差变形为：为平均协方差，则当，可以看到：投资越分散则每一种资产的份额就越小，着导师了市场风险的平均化。它无非是说经济前景黯淡时，大多数证券的价格会一起上下波动不管如何分散都会这样。但是对于非市场风险就不一样，如果投资者分散则它们会相互抵消，从而导致较小的总风险，对于：，当资产数目增加时，这一项趋近于0。一般来讲，如果在一个资产组合中包括15-20以上的证券，那么，非系统风险久几乎降为0。套利定价模型倍数模型因此：用价格的对数而不是价格本身，倍数模型就演变成可加型的。令每个都是对数正态随机变量。对数正态价格的均值是v，方差是随机游走与维纳模型 这个过程被称为随机游走，是均值为0，方差为1的随机变量标准正态随机变量，且：以后一个特定的运动轨道根据随机变量的随机变化。差分随机变量对于当，对上面式子取极限，这就得到维纳过程这就是维纳过程，他满足：1）对任意的，数量是均值为0，方差为t-s的正态随机变量2）对任意的，与是不相关的3）以概率1成立 维纳过程不可微，当广义维纳过程和伊藤过程常微分方程加上白噪声就得到广义维纳过程是随机变量，是维纳过程，a，b是常数两边积分得：伊藤过程似乎更加一般股票价格过程：是互不相关的正态随机变量，这个方程的连续时间形式是：，是常数，z是标准维纳过程。求解：随着t的线性增长，正像一个连续复利的银行账户一样，所以这个过程被称为几何布朗运动。对数正态价格我们曾经断言本身具有对数正态分布性。我们将这个分布正规表示成标准伊藤形式应用方便了模型的推导，并且突出了该随机过程是对数正态分布倍数模型的直接推广。但是，直接用来表示随机过程是很有用的。在