高等数学 6822高数答案

版权所有翻印必究1 真题答案请阅读学习平台其他文档真题答案请阅读学习平台其他文档 模拟试题一模拟试题一 一 单项选择题 本大题共 10 小题 每小题 3 分 共 30 分 1 5ACDDA6 10DCCDD 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 4 4 分 分 11 3 2 0 012 213 111 110 xyz 14 cos 1 x yCe 15 0 11 limsin2sin x xx xx 216 1 117 21 2 nx ne 18 019 320 1 三 计算题 本大题共 8 小题 每小题 7 分 共 56 分 21 2 1 0 lim cos x x x 2 2 lncos 1 00 lim coslim x x x xx xe 又因为 2 00 lncossin1 limlim 2 cos2 xx xx xxx 所以原式 1 2 e 或 1 e 22 已知函数 2 4 2 11 3 xx y xx 求dy 等式两边取对数得 1 ln2lnln 1ln 2ln 1 3 4 yxxxx 等式两边同时求导得 3 1 3211 1424 xy yxxx 所以 2 4 3 1 32112 142411 3 xxx y xxxxx 所以 2 4 3 1 32112 142411 3 xxx dyy dxdx xxxxx 23 求由方程0 xy exye所确定的隐函数y的二阶导数 2 2 d y dx 方程两边同时求导0 yx e yyxye 所以 x y ey y ex 版权所有翻印必究2 对 y 等式两边同时求导 2 1 xyxy y eyexeye y y ex 把 y 代入整理得 22 3 xyyx y eexeey y ex 24 计算由 3 3 cos sin xat yat 所确定的函数的二阶导数 2 2 d y dx 2 2 3 sincos tan 3 cossin dy dyatt dt t dx dxatt dt 22 224 sec1 3 cossin3 cossin d yt dxattatt 25 求不定积分 3 x dx x 令 2 3 3 2txxtdxtdt 所以原式 2 3 23 2 322 2236363 33 t tdttdtttcxxc t 26 求定积分 2 1 ln e xdx 22 11 1 1 11 2 lnln 2ln2ln 212 ln e ee ee e xdxxdx exdxexxdx eeee xx 27 求过点 1 3 2 且垂直于向量 3 1 5 1 2 3ab 的直线方程 因为直线L垂直向量 a b 所以的方向向量为a b 且 1553 31 7 14 771 2 1 2331 12 a b 所以直线方程为 132 121 xyz 28 求微分方程 22 124xyxyx 的通解 版权所有翻印必究3 微分方程可化为 2 22 24 11 xx yy xx 所以令 2 22 24 11 xx P xQ x xx 所以 22 22 21 1ln1 11 x P x dxdxd xx xx 所以齐次方程的通解是 2 1 P x dxC YCe x 所以 2 2 ln1 23 2 44 4 13 P x dxxx Q x edxedxx dxx x 所以特解为 3 3 2 2 414 3131 x yx xx 所以通解为 3 2 2 4 131 xC y xx 四 应用题 本大题共 2 小题 每小题 8 分 共 16 分 29 求yx 曲线与直线1x 4x 0y 所围成的图形的面积和该图形绕y轴旋转产生 的旋转体的体积 解 面积 4 3 4 2 1 1 2214 8 1 333 Sxdxx 2 222 12 1 2 3 1 4114 1815 154158415 3333 VVVy dy yy 体积 30 某商品总成本函数为10003CQ 需求函数为1000 100QP 其中P为商品单价 Q 为商品数量 问P为多少时 利润最大 解 由题意可知 收益函数 2 1000 1001000100R PPQPPPP 成本函数 1000310003 1000 1004000300C PQPP 利润函数 2 2 10001004000300 10013004000 L PR PC PPPP PP 所以 2001300L PP 200LP 版权所有翻印必究4 令 0L P 得6 5P 6 52000 L 所以6 5P 是 L P的极大值点 由实际问题可知 6 5P 是 L P的最大值点 所以当时 6 5P 利润最大 五 证明题 本大题共 1 小题 每小题 8 分 共 8 分 31 证明 设函数 ln 1 f xx 考虑区间 0 x 2 分 则函数 ln 1 f xx 在 0 x上连续 在 0 x内可导 由拉格朗日中值定理 在 0 x内至少存在一个点 使得 0 ln 1 0 f xfx f xx 5 分 因为 0 x 所以 11 1 11 f x 7 分 即当0 x 时 ln 1 1 x xx x 8 分 模拟试题二模拟试题二 一 单项选择题 本大题共一 单项选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 1 D 2 C 3 C 4 A 5 A 6 B 7 B 8 D 9 A 10 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 11 2 2 x 12 3 e 13 2 2 x e 14 1 15 0 0 16 23yx 三 计算题 本大题共三 计算题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 7 7 分 共分 共 4242 分 分 17 解 原式 0 1 ln 1 lim ln 1 x xxx xx 0 ln 1 1 lim 2 ln 1 1 x x x x x 18 解 2 00 lim lim 32 3 xx f xx 00 sin lim lim xx ax f xa x 因为函数在0 x 连续 0 3f 所以 0 lim x f x 0 lim x f x 0 3f 即3a 19 解 2 33 22 t yt t 3 3 2 24 y tt 版权所有翻印必究5 20 解 原式 2 1 1 ln 2 e xd x 22 1 1 111 ln 22 e e xxxdx x 222 1 1111 2444 e exe 21 解 直线的方向向量分别是 1 112m 2 211m 平面的法向量11253 211 ijk nijk 所以平面方程为 1 5 2 3 3 0 xyz 即5320 xyz 22 解 1P x 2 x Q xxe 由公式得 2 dxdx x yexe edxC 2 2 xx exdxCexC 四 应用题 本大题共四 应用题 本大题共 2 2 小题 每小题小题 每小题 1111 分 共分 共 2222 分 分 23 解 设总利润为 L x 由题意得 L xxP xC x 420 3200 100 2 x xx 3203200 2 x x 0 840 x 320L xx 令 0L x 得320 x 依题意 最大利润存在 且驻点唯一 所以 当生产320件时 获得的利润最大 最大利润是48000 24 解 11 1 00 2 xxxx Seedxeeee 11 222222 00 2 22 xxxx x Veedxeeee 五 证明题 本大题共五 证明题 本大题共 1 1 小题 每小题小题 每小题 6 6 分 共分 共 6 6 分 分 25 证明设 e2 x f xx 0 2 x 显然 函数 f x在 0 2上连续 因为 0 1f 2 2 40fe 由零点性质 在 0 2 内至 少存在一个点 使得 0f 又因为 e10 x fx 函数 f x在 0 2 内单调递增 所以函数 f x在 0 2 内仅有一个根 即 方程e2 x x 在 0 2 内有且仅有一个根 模拟试卷三模拟试卷三 一 单项选择题 本大题共一 单项选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 1 C 2 A 3 D 4 C 5 A 6 A 7 B 8 D 9 B 10 B 版权所有翻印必究6 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 11 1 2 12 1 21 x x 13 11 14 22 1 xC 15 2 16 cos y x xe 三 计算题 本大题共三 计算题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 7 7 分 共分 共 4242 分 分 17 解 原式 00 1cossincos lim lim sinsin xx xxxx xxxx 0 coscossin lim sincos x xxxx xxx 00 sinsincos limlim0 sincoscoscossin xx xxxxx xxxxxxx 18 解 因为 00 lim lim xx f xaxa 00 lim lim 2 2 xx f xbx 由函数 f x在0 x 连续 0 fa 所以 0 lim x f x 0 lim x f x 0 2f 即2a 又因为 00 0 0 limlim1 xx f xfaxa f xx 00 0 22 0 limlim xx f xfbx fb xx 由于函数 f x在0 x 可导 所以1b 19 解 2 2 6 2sincos tan 6 2cossin y 当 4 时 1 1 x y 1k 所以切线方程为 1 1 yx 即2yx 20 解 令4xt 则原式 02 2 0 20 21 1 2 22ln 1 42ln3 11 tt dtdttt tt 21 解 平面的法向量11123 211 ijk nijk 所以平面方程为 2 2 1 3 3 0 xyz 即23120 xyz 22 解 2 21 1 x yy x 2 21 x P x x 1Q x 由公式得 22 2121 xx dxdx xx yeedxC 11 2ln2ln xx xx eedxC 1111 22 2 1 xxxx x eedxCx eeC x 四 应用题 本大题共四 应用题 本大题共 2 2 小题 每小题小题 每小题 1111 分 共分 共 2222 分 分 23 解 设总利润为 L x 由题意得 L xxP xC x 22 3 150 400 150400 244 xxx xx 0 300 x 3 150 2 x L x 令 0L x 得100 x 依题意 最大利润存在 且驻点唯一 所以 当生产100件时 获得的利润最大 最大利润是7100 版权所有翻印必究7 24 解 1 3 1 2 2 0 0 21 2 2 33 Sxx dxxxx 1 11 2223 00 0 5111 2 45 4 236 x Vxx dxxx dxxxx 五 证明题 本大题共五 证明题 本大题共 1 1 小题 每