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高等数学 下 高等数学 下 学习指南学习指南 一 选择题一 选择题 1 设直线与平面平行 则等于 34 xyy k 293100 xyz k A 2 B 6 C 8 D 10 参考答案 A 直线的方向向量为 平面的法向量为 3 4k 2 9 3 因为直线和平面平行 所以两个向量的内积为 0 即 3 293 40k 得到 2k 2 若 则 2 2f x yxy 1 0 x f A 4 B 0 C 2 D 1 参考答案 A 因为 2 24 x x fx yxyx 所以 1 04 14 x f 3 和在点连续是在点可微分的 x fx y y fx y 00 xy f x y 00 xy A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 无关条件 参考答案 A 由定理直接得到 如果函数的偏导数在点连续 则 zf x y zz xy x y 函数在该点的全微分存在 4 设是矩形 则 D0 0 xayb D dxdy A B C D ab2ab k ab kab 参考答案 D 对单位 1 对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积 由题意知 则 0 0 xayb 00 D dxdyabab 5 设 D 是方形域 01 01xy D xyd A 1 B C D 1 2 1 3 1 4 参考答案 D 1 1 11 22 00 0 0 11 44 D xyddxxydyx y 6 微分方程的通解是 x y y A B C D 22 xyc 22 xyc 22 1xy xyc 参考答案 A 22 11 22 xdyx yydyxdxyxC ydxy 即 22 xyc 7 微分方程的通解是 3 dy xyx dx A B C D 3 4 xc x 3 2 x cx 3 2 x c 3 4 x cx 参考答案 B 32 dyy xyxyx dxx 令 1 p x x 2 q xx 由一阶线性非齐次微分方程的公式有 2 3 1 2 p x dxp x dxp x dx yCeeq x edx Cxx xdx x x Cx 8 则 2 sin 01 D Iyxdxdy Dxy I A B C 0 D 2 3 2 3 2 3 参考答案 C 化二重积分为二次积分 1 22 0 1 sinsinsin0 3 D Iyxdxdydxyxdyxdx 9 如果在有界闭区域上连续 则在该域上 zf x y D A 只能取得一个最大值 B 只能取得一个最小值 C 至少存在一个最大值和最小值 D 至多存在一个最大值和一个最小值 参考答案 C 由定理知道函数在有界闭区域上连续 则必然存在极值 10 微分方程的一个特解形式为 2 4 4 x yyye A B C D 2x yae 2x yaxe 2x yaebx 22x yax e 参考答案 D 微分方程的特征函数 2 2 442 所以有一个重特征根 2 据此 微分方程的特解形式为 22x yax e 11 通过点且平行于直线的直线方程为 1 2 3 231 213 xyy A B 231 123 xyz 123 123 xyz C D 123 213 xyz 2 1 2 3 3 0 xyz 参考答案 C 12 垂直于两直线和的直线和方向数 5 112 xyz 842 321 xyz 为 A 1 1 2 B 3 2 1 C 4 3 3 D 3 5 1 参考答案 D 13 两平面 的相互位置为 20 xyz 32xyz A 互相垂直 B 互相平行 C 不平行也不垂直 D 互相重合 参考答案 C 14 设直线与平面平行 则等于 34 xyy k 293100 xyz k A 2 B 6 C 8 D 10 参考答案 A 15 两平行平面 的间距距离为 10 xyz 2223xyz A B C D 3 2 5 3 1 12 5 3 6 参考答案 D 16 函数的定义域是 222 2zxy A B C D 22 2xy 22 4xy 22 2xy 22 4xy 参考答案 B 17 则函数在点的值是 2 1 2 z xy 1 0 A B 1 C D 1 2 1 y 2 1 2x 参考答案 A 18 函数的定义域是 22 lnzxy A B C D 22 1xy 22 0 xy 22 1xy 22 0 xy 参考答案 D 19 设 则 222 2f x y zxyzx 1 0 1f A B C D 2 2 22y 22 2 参考答案 C 20 二元函数的所有间断点是 22 2x u xy A 点 B 折线 C D 与 0 0yx yx yx yx 参考答案 D 21 则 31zxy z x A B C D 33y 31y 3x 参考答案 A 22 函数 则 23 5f x yx y 0 0 x f A 0 B 5 C 1 D 10 参考答案 A 23 设 则 y zx 1e z x A B C 1 D 0e 1 e 参考答案 C 24 若 则 2 2f x yxy 1 0 x f A 4 B 0 C 2 D 1 参考答案 A 25 设 则 xy zxe z x A B C D xy xye 2xy x e xy e 1 xy xy e 参考答案 D 26 若 则 2 zxy dz A B C D dxdy 2 y dxxdy 2dxydy 2 22y dxydxydy 参考答案 C 27 若在点之某邻域上确定且存在 f x y 00 xy 00 lim x yxy f x y 则 在点处 f x y 00 xy A 连续 B 可微 C 间断 D 不一定连续 参考答案 A 28 和在点连续 是在点处可微 x fx y y fx y 00 xy f x y 00 xy 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 无关条件 参考答案 A 29 设 则 ln 1 x z y 1 1 dz A B C 0 D 11 xyy 11 dxdy xyy 1 2 dxdy 参考答案 D 30 在点可微是在点的两个偏导数 f x y 00 xy f x y 00 xy 00 x fxy 和存在的 00 y fxy A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 无关条件 参考答案 A 31 是二元函数的驻点 则函数在该处 00 xy zf x y A 一定有极大值 B 一定有极小值 C 有极大值或极小值 D 不一定有极值 参考答案 D 32 设 则它在点处 22 2zxxy 1 0 A 取得最大值 B 无极值 C 取得极小值 D 无法判断是否有极值 参考答案 B 33 若为之极值点 且在处可导 则为 00 xy f x yf 00 xy 00 xyf 的 A 最值点 B 驻点 C 连续点 D 零点 参考答案 B 34 设 则是的 0000 0 xy fxyfxy 00 xy f x y A 零点 B 极值点 C 驻点 D 最大值点 参考答案 C 35 函数在点为 22 3zxy 0 0 A 驻点 B 极大值点 C 极小值点 D 间断点 参考答案 A 36 设是一个正方体 而V01x 01y 01z 1 3 v xyz dvI 则 2 2 3 v xyz dvI A B C D 12 II 21 II 12 II 12 II 参考答案 A 37 若是由 围城的矩形区域 则D1x 1x 1y 1y D dxdy A 0 B 1 C 4 D 2 参考答案 C 38 设是矩形域 则 Daxb cyd D d A B C D abcd abcd abdc badc 参考答案 D 39 设是矩形域 则 D0 xa 0yb D dxdy A B C D ab2ab k ab kab 参考答案 D 40 设由 围成 Dyx 2yx 1y D dxdy A B C 1 D 1 2 1 4 3 2 参考答案 B 41 设是环形区域 则 D 22 14xy D d A B C D 4 2 3 参考答案 D 42 则 22 xy D ledxdy 22 4D xy l A B C D 4 1 2 e 4 21e 4 1e 4 e 参考答案 C 43 设是圆域 则 D 22 1xy D xd A B 1 3 00 sindrd 21 2 00 cosdrdr C D 1 2 00 cosdrd 1 2 00 sindrdr 参考答案 B 44 设区域由曲线与所围成 则区域的面积为 D 2 1xy 0y D A B C D 1 00 ddx 1 2 0 2 drdr 21 00 drdr 21 00 ddr 参考答案 B 45 则的值为 22 ln D Ixydxdy 22 1 1 4 Dxy I A 负 B 零 C 正 D 以上三种都不是 参考答案 A 46 微分方程是 33 dy xyx y dx A 六阶的 B 三阶的 C 一阶的 D 二阶的 参考答案 C 47 微分方程的通解是 2 x ye A B C D 2 x yec 2 x yec 2 2 x yec 2 x yce 参考答案 C 48 微分方程的通解是 x y y A B C D 22 xyc 22 xyc 22 1xy xyc 参考答案 A 49 微分方程的通解是 2yx A B C D 2 yxc yx 2 yx 2 ycx 参考答案 A 50 微分方程的阶数是 3 4 0 xyyx yy y A 3 B 4 C 5 D 2 参考答案 D 51 微分方程是 2 x yye A 二阶微分方程 B 齐次微分方程 C 一阶线性微分方程 D 可分离变量的微分方程 参考答案 C 52 微分方程满足的解是 2 2 1yyy 01y A B C D 2 2 11xy 22 1xy 2 2 11xy 2 2 11xy 参考答案 B 53 微分方程是 2 20 xyyx y A 二阶的 B 一阶的 C 四阶的 D 三阶的 参考答案 D 54 微分方程有一个解是 2xyy A B C D 2 5yx 3 5yx 2yx 3 2yx 参考答案 A 55 微分方程的通解是 20yxy A B C D yx ycx 2 ycx 2 x yce 参考答案 D 56 微分方程的通解是 0 xyy A B C D 1 12 x ycc e 2 12 yc xc 1 12 x ycc e 12 x yc xc e 参考答案 B 57 微分方程的通解是 90yy A B 3 12 x ycc x e 3 12 x yx cc x e C D 33 12 xx yc ec e 12 cos3sin3ycxcx 参考答案 C 58 微分方程有一个解是 0yy A B C D lnyx 2 yx sinyx x ye 参考答案 C 59 微分方程的通解是 90yy A B 3 12 x ycc x e 3 12 x yx cc x e C D 33 12 xx yc ec e 12 cos3sin3ycxcx 参考答案 D 60 微分方程满足初始条件的特解是 yy 0 2 x y A B C D 1 x ye 2 x ye 2 2 x ye 2x ye 参考答案 B 二 填空题二 填空题 1 与两直线及都平行 且过原点的平面方程 1 1 2 x yt zt 121 121 xyz 为 参考答案 0 xyz 有两直线方程知其方向向量分别为 0 1 1 和 1 2 1 设平面方程为 法向量为 A B C 0AxByCzD 直线与平面平行 则法向量与方向向量内积为 0 平面又过原点 所以 求得 A 1 B 1 C 1 D 0 0000 0 110 1210 ABCD ABC ABC 综上 所求平面的方程为 0 xyz 2 sin coszxyxy z x 参考答案 cos cos z yxyy x sincos coscos xyxy z yxyy xx 3 二元函数 则 2xy zyxe 1 2 z y 参考答案 2 1 2 1 z e y 2 22 1 2 1 2 1 2 1 xy xy yxe z xxee yy 4 函数的最小值点是 22 3 zxy 参考答案 00 0 0 xy 因为原式中 当且仅当 x 0 时 取到极小值 0 2 0 x 同样 当且仅当 y 0 时 取到极小值 0 2 0y 所以 函数的极小值点位于 0 0 5 设域为 则 D 22 1xy D d 参考答案 因为积分区域为 一个半径为 1 的圆 22 1xy 所以是求圆的面积 D d 6 设是曲线与所围成 则 D 2 1yx 0y D xd 参考答案 0 2 1 11 24 10 1 11 0 24 x D xdxdxdyxx 7 设积分区域是 则 D 22 14xy D dxdy 参考答案 3 是一个外环半径为 2 内环半径为 1 的圆环 积分式 22 14xy 是在圆环上单位 1 的二重积分 所以求的是圆环的面积 D dxdy 原式 22 413 8 设 其中 求 arctan zxy x ye dz dx 参考答案 2 1 x dzyxe dxxy 直接求微计算 2 2 2 arctan 1 1 1 1 1 x x dxy dzdxy dxdxydx dy yx dx xy yxe xy yxe xy 9 微分方程的通解为 x yye y 参考答案 1 2 xx yece 对应的线性一阶齐次方程是 x yye 0 x dydy ydxyCe dxy 结合原方程 等式右边项含 x 所以通项公式为 x yC x e 将通项公式带入原式 得到 xx dy Cx eC x e dx 代入 得到 x dy ye dx 2 1 2 xxx xx xx x Cx eC x eye Cx ee C xee dxC C xeC 最后得到 2 11 22 xxxx yeC eeCe 10 微分方程的一个特解应具有形式是 2sinyyx 参考答案 sin cosyaxbxcxdx 原微分方程的特征函数是 2 10 1w 得到两个无理根 i 即是特征根 iw 因此 特解的形式为 sin cosyaxbxcxdx 11 设 且满足 则3a 5b 4c 0abc abbcca 参考答案 36 12 设 且 则 2 1 2a 4 1 10b cba ac 参考答案 23 13 设不全为 0 的实数 使 则三个向量 1 2 3 123 0abc a b c 具有 参考答案 共面 14 设 则 32aijk 2bijk 23ab 参考答案 18 15 点到平面的距离为 1 2 32z 参考答案 1 16 函数的间断点是 22 1 1 z xy 参考答案 22 1xy 17 函数的定义域是 lnlnzxy 参考答案 0 0 x yxy 18 函数在 间断 1 z xy 参考答案 0 xy 19 函数的定义域是 32zxy 参考答案 定义域是整个平面 20 设 则 ln 2 x f x yy y 2 1f 参考答案 ln2 21 设 则 lnzxxy 2z x y 参考答案 2 x xy 22 3 zxxy z y 参考答案 2 3x xxy 23 则 ln 2 y zx x z x 参考答案 2 41 2 x xyx 24 设 则 xy zxe z x 参考答案 1 xy xy e 25 则 33 zx yxy z x 参考答案 23 3x yy 26 设 则 222 20 xyzz 2 2 1x z y 参考答案 1 27 设 其中 求 2xy ze sinxt 3 yt dz dt 参考答案 22 cos6 xy tte 28 设 其中 求 arctanzxy x ye dz dt 参考答案 2 1 x yxe xy 29 设 其中 求 2 1 ax eyz u a sinyax coszx du dx 参考答案 2 cossin 1 ax eayazaxx a 30 设 其中 求 22 zuv uxy vxy z x 参考答案 22uv 22uv 31 二元函数的极大值点是 22 2zxy 参考答案 0 0 32 二元函数的最小值点是 22 3zxy 参考答案 0 0 33 二元函数的两个驻点是 322 42zxxxyy 参考答案 0 0 1 1 34 二元函数的极大值点是 22 64zxxyy 参考答案 极大值 3 236f 35 二元函数的极小值点是 22 2 x zexyy 参考答案 极小值 1 1 22 e f 36 设是矩形区域 则 D 01 03x yxy D dxdy 参考答案 3 37 设域为 则 D 22 1xy D d 参考答案 38 若积分区域是 则 D 22 14xy D dxdy 参考答案 3 39 设为 与为顶点三角形区域 D 0 0O 1 0A 0 1B D f x y dxdy 参考答案 1 00 x dxf x y dy 40 设是曲线与所围成 则 D 2 1yx 0y D xd 参考答案 0 41 设表示域 则 222 1xyz zdv 参考答案 0 42 设是由轴 轴及直线所围城的区域 则的面积为Dxy1xy D 参考答案 11 00 x dxdy 43 则 2 sin D Iyxdxdy Dx 01y I 参考答案 0 44 设由 所确定 且Vxyzk 01x 01y 0z 7 4 v xdxdydz 则 k 参考答案 14 3 45 设由 所确定 则 V01x 01y 01z v dv 参考答案 1 46 由及所确定的立体的体积 222 2xyzz 22 xyz V 参考答案 222 222 1111 11 xxy xxy dxdydz 47 设区域 则在极坐标系下 0 4 D 01r D f x y d 参考答案 1 4 00 cos sindtf rt rt rdr 48 将在直角坐标下的三次积分化 22222 22222 0 aaxaaxy axaaxy Idxdyf x y z dz 为 在球坐标下的三次积分 则 I 参考答案 2 cos 2 22 00 2 sincos sin sinsincos a ddfd 49 设区域 则在极坐标系下 0 2 D 01r 22 xy D ed 参考答案 4 1 zf z dz 50 设是由 所确定 函数在上连续 V 22 zxy 14z f z 1 4 那么 v f z dxdydz 参考答案 21 2 00 1 4 r dtre dre 51 微分方程的通解为 tancosyyxx y 参考答案 coscosxxcx 52 微分方程的通解为 cosyyx y 参考答案 sincos 2 x xx ce 53 微分方程的通解为 x yye y 参考答案 1 2 xx ece 54 微分方程的通解为 x yye y 参考答案 xx xece 55 微分方程的通解为 x yye y 参考答案 x exC 56 微分方程的通解为 430yyy y 参考答案 3xx aebe 57 微分方程的一个特解应具有的形式是 1 x yye 参考答案 x axeb 58 微分方程的通解为 22 x yyye y 参考答案 2xx abx ecx e 59 微分方程的一个特解应具有的形式是 2sinyyx 参考答案 sincosaxbxcxdx 60 微分方程的一个特解应具有的形式是 1 x yye 参考答案 x abx ecdx 三 解答题三 解答题 1 计算三重积分 其中是由和三个坐标平面围 v xdxdydz V2xyz 成的四面体 参考答案 2 3 2 计算三重积分 其中是由以及 v ydxdydz V 22 34yzxy 01x 所确定 01y 参考答案 7 12 3 计算三重积分 其中由所确定 v zdxdydz V 2222 11xyzxy 参考答案 5 4 4 计算三重积分 其中由所确 v zdxdydz V 2222 11xyzxy 定 参考答案 7 6 5 计算三重积分 其中由以及所确定 v zdxdydz V14z 22 zxy 参考答案 21 6 利用高斯公式的方法计算积分 其中是球面xyzdxdy 在 222 1xyz 第一卦限部分的上侧 参考答案 1 15 7 利用高斯公式的方法计算积分 xy dydzyz dzdxzx dxdy 其中是柱面介于之间的部分外侧 222 xya 01z 参考答案 2 2a 8 利用高斯公式的方法计算积分 其中是球面 22 x y dxdy 2222 xyzR 下半部分下侧 参考答案 6 24 R 9 利用高斯公式的方法计算积分 其中是xzdxdyxydydzyzdxdz 球面在第一卦限部分的上侧 222 1xyz 参考答案 1 8 10 利用高斯公式的方法计算积分 其中 222 x dydzy dzdxz dxdy A 为长方体 表面的外侧 0 xa 0yb 0zc 参考答案 222 a bcab cabc 11 计算 其中 22 xy D edxdy 222 D xya 参考答案 由已知条件可以看出积分区域 D 是一个圆面 进入极坐标方程 其中 cos sin xr yr 0 0 2ra 22 2 2 2 2 2 2 00 2 2 00 2 0 0 2 0 1 2 1 2 1 1 2 1 xy D a r