球与空间几何体.doc

球与空间几何体考点一：球的内接柱体设柱体上底的外心为，下底的外心为，则有柱体的外接球球心为的中点。若柱体底面外接圆半径为，高为，则外接球半径满足：；由已学知识可总结出：（1） 边长为的正三角形的外接圆半径；（2） 长为，宽为的的矩形的外接圆半径（3） 斜边为的直角三角形的外接圆半径注：球的内接长方体满足：球的直径于长方体的大对角线相等考点二：球的内接椎体1. 球的内接直三棱锥，直四棱锥（有一条侧棱与底面垂直）：与长方体相同，是长方体的部分顶点构成的椎体2. 球的内接正三棱锥，正四棱锥：设顶点为，底面外接圆圆心，则有正棱锥外接球球心在上，若正棱锥底面外接圆半径为，高为，则外接球半径满足：或（为侧棱）考点三：多面体的内切球1 多边形内切圆圆心把多边形分成多个高相等的三角形，由面积法可知多边形的内切圆半径满足：（为多边形面积，为多边形周长）2 多面体内切球球心把多面体分成多个高相等的椎体，由体积法可知多面体的内切求半径满足：（为多面体体积，为多面体表面积）考点四：圆锥内切球与外接球1 圆锥的外接球：与正棱锥的外接球相同2 圆锥的内切球：圆锥的内切球半径即为圆锥截面三角形的内切圆半径，设圆锥的底面半径为，高为，则内切球半径满足：小结：1 球的内接柱体，直椎体：2 球的内接正棱锥，内接圆锥：（为侧棱）3 多面体的内切球：4 圆锥的内切球：典型例题例1 一个球的外切正方体的全面积为6，则球的体积为（ ）A B C D 答案:C解析:多面体的内切球，所以球的半径，正方体的棱长为1，则，所以，所以球的体积为，故选C例2 某长方体的三视图的面积分别为20，15，12，求该长方体的外接球的表面积答案：解析：设长方体的三边分别为，则有，所以外接球半径为：，所以例3 某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为答案：解析：边长为2的正三角形的内切圆半径为，则内球球的半径也为例4 一三棱锥，两两垂直，且，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）A B C D 答案：解析：易知，是长方体中相邻四个顶点构成的棱锥，所以外接球半径：，所以，选A例 5 一底面半径为，母线长为的圆锥有一内接正方体，求该正方体的表面积答案：解析：由题知，圆锥的高为，设正方体的棱长为，可知：，所以：，所以，正方体的表面积为：例6 若半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体的表面积之比为（ ） A B C D 答案：D解析：设半球的半径为R，正方体的棱长为，则有，半球的表面积：，正方体的表面积，所以：，故选D例7 某圆柱的底面半径为2，里面有一定的水，现把圆柱横着放，水面的高度变为，求圆柱里的水的体积与圆柱的体积比答案：解析：已知横着放时，底面是一个弓形，所以，所以体积比为：例8 正四面体外接球与内切球的半径之比为答案：3解析：设正四面体半径为，则底面积为，高为，所以内切球半径，外接球半径，所以：练习1 已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则多面体的体积为（ ）A 18 B 12 C 6 D 答案： C解析： ；，所以内切球半径满足，选C2 用与球心距离为1的平面去截球面，所得截面积为，则球的体积为答案：解析：截面半径为1，所以球的半径，球的体积为3. 64个直径都是的球，记它的体积为，表面积之和为，1个直径都是的球，记它的体积为，表面积之和为，则（ ）A B C D 答案： C 解析： 左，所以，选C4 高与底面直径之比为的圆柱内接于球，且圆柱的体积为，则球的体积为（ ） A B C D 答案： C解析：设圆柱底面半径为，则