高等数学期末试卷03~09.doc

2003级高等数学（A）（上）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共16分）1设函数由方程确定，则（ ）2曲线的渐近线的条数为（ ）3设函数在定义域内可导，的图形如右图所示，则导函数的图形为（ ）4微分方程的特解形式为（ ）二、填空题（每小题3分，共18分）12若，其中可导，则3设若导函数在处连续，则的取值范围是。4若，则的单增区间为,单减区间为.5曲线的拐点是6微分方程的通解为三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1计算积分 2计算积分3. 计算积分 4. 计算积分5.设连续，在处可导，且，求6.求微分方程的通解四.（8分）求微分方程满足条件的特解五.（8分）设平面图形D由与所确定，试求D绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积。六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:与轴所围成，试求其质量七.（7分）设函数在上有连续的二阶导数，且，证明：至少存在一点，使得2004级高等数学（A）（上）期末试卷一. 填空题（每小题4分，共20分）1函数的间断点 是第 类间断点.2. 已知是的一个原函数,且,则 .3. .4. 设,则 .5. 设函数,则当 时,取得最大值.二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. 设当时,都是无穷小,则当时,下列表达式中不一定为无穷小的是 (A) (B) (C) (D)2. 曲线的渐近线共有 (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条3. 微分方程的一个特解形式为 (A) (B) (C) (D) 4. 下列结论正确的是 (A) 若,则必有.(B) 若在区间上可积,则在区间上可积.(C) 若是周期为的连续函数,则对任意常数都有.(D) 若在区间上可积,则在内必有原函数.三. (每小题7分,共35分)1. 2. 设函数是由方程所确定的隐函数,求曲线在点处的切线方程.3. 4. 5. 求初值问题 的解.四.(8分) 在区间上求一点,使得图中所示阴影部分绕轴旋转所得旋转体的体积最小. 五.(7分) 设 ,求证 .六.(7分) 设当时,可微函数满足条件且,试证: 当时,有 成立.七.(7分) 设在区间上连续,且,证明在区间内至少存在互异的两点,使.2005级高等数学（A）（上）期末试卷一填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1 ；2曲线的斜渐近线方程是 ；3设是由方程所确定的隐函数，则 ；4设在区间上连续，且，则 ；5设，则 ；6 ； 7曲线相应于的一段弧长可用积分 表示； 8已知与分别是微分方程的两个特解，则常数 ，常数 ；9是曲线以点为拐点的 条件。二计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）1设，求2 3 4三（本题满分9分）设有抛物线，试确定常数、的值，使得（1）与直线相切；（2）与轴所围图形绕轴旋转所得旋转体的体积最大。四（本题共2小题，满分14分） 1（本题满分6分）求微分方程的通解。2（本题满分8分）求微分方程满足初始条件的特解。五（本题满分7分） 第4页 试证：（1）设，方程在时存在唯一的实根；（2）当时，是无穷小量，且是与等价的无穷小量。六（本题满分6分）证明不等式：，其中是大于的正整数。2006级高等数学（A）（上）期末试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1 ； 2曲线在对应的点处的切线方程为 ；3函数在区间 内严格单调递减；4设是由方程所确定的隐函数，则 ； 5 ；6设连续，且，已知,则 ；7已知在任意点处的增量，当时，是的高阶无穷小，已知，则；8曲线的斜渐近线方程是 ；9若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解，则该方程为 .二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）1计算不定积分 2计算定积分 3计算反常积分 4设 ，求 三（本题满分7分）求曲线自到一段弧的长度。 （第3页）四（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分）1求微分方程的通解。2求微分方程的特解，使得该特解在原点处与直线相切。五（本题满分7分）设，求积分的最大值。 （第4页）六（本题满分6分）设函数在上存在二阶连续导数，且，证明：至少存在一点，使得 。2007级高等数学（A）（上）期末试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1；2设，则；3已知，则；4对数螺线在对应的点处的切线方程是；5设是由方程确定的隐函数，则的单调增加区间是，单调减少区间是；6曲线的拐点坐标是，渐进线方程是；7；8 ； 9二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式为.二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分）10. 11 12。三（13）（本题满分8分）设，.（1）问是否为在内的一个原函数？为什么？（2）求.四（14）（本题满分7分）设，求.五（15）（本题满分6分）求微分方程的通解.六（16）（本题满分8分）设、满足，且，求.七（17）（本题满分8分） 设直线与抛物线所围成的图形面积为，它们与直线所围成的图形面积为.（1）试确定的值，使达到最小，并求出最小值.（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.八（18）（本题满分6分）设，求证：当时，.2008级高等数学（A）（上）期末试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1函数的单调增加区间为 ；2已知，则 ；3曲线的拐点是 ；4曲线的斜渐近线的方程是 ；5二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式是 ；6设是常数，若对，有，则 ；7 ；8设是连续函数，且，则 ； 9设，则 .二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）10 11. 12已知的一个原函数为，求 13设，求常数、，使得。14。三（15）（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，的特解.四（16）（本题满分7分）设函数在区间上连续，且恒取正值，若对，在上的积分（平）均值等于与的几何平均值，试求的表达式.五（17）（本题满分7分） 在平面上将连接原点和点的线段（即区间）作等分，分点记作，过作抛物线的切线，切点为，（1）设三角形的面积为，求；（2）求极限.六（18）（本题满分6分）试比较与的大小，并给出证明.（注：若通过比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分）七（19）（本题满分6分）设在区间上连续可导，求证： .2009级高等数学（A）（上）期末试卷1函数的定义域是 ，值域是 ；2设，当 时，在处连续；3曲线的斜渐进线的方程是 ；4 ；5函数的极大值点是 ；6 ； 7设是由所确定的函数，则 ；8曲线族（,为任意常数）所满足的微分方程是 ； 9 .二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）10 11. 12 1314。设，计算.三（15）（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，的特解.四（16）（本题满分8分）设函数在区间上可导，在内恒取正值，且满足，又由曲线与直线所围成的图形的面