合理构造函数解导数问题

精品文档 1欢迎下载 合理构造函数解导数问题合理构造函数解导数问题 从近几年的高考命题分析 高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题 考查函数 导数的基础知识和基本方法 近年的高考命题中的解答题将导数内容 和传统内容中有关不等式和函数的单调性 方程根的分布 解析几何中的切线 问题等有机的结合在一起 设计综合试题 在内容上日趋综合化 在解题方法 上日趋多样化 解决这类有关的问题 有时需要借助构造函数 以导数为工具构 造函数是解导数问题的基本方法 但是有时简单的构造函数对问题求解带来很 大麻烦甚至是解决不了问题的 那么怎样合理的构造函数就是问题的关键 这 里我们来一起探讨一下这方面问题 例 1 2009 年宁波市高三第三次模拟试卷 22 题 已知函数 axxxaxxf 23 1ln 1 若为的极值点 求实数的值 3 2 xfy a 2 若在上增函数 求实数的取值范围 xfy 1a 3 若时 方程有实根 求实数的取值范围 1 a x b xxf 3 11b 解 1 因为是函数的一个极值点 所以 进而解得 经检验 3 2 x0 3 2 f0 a 是符合的 所以 0 a 2 显然结合定义域知道在上恒 23 1 2 axx ax a xf 01 ax 1x 成立 所以且 同时此函数是时递减 时递增 0 a0 1 ax a axx 23 2 3 1 x 3 1 x 故此我们只需要保证 解得 023 1 1 a a a f 2 51 0 a 3 方法一 变量分离直接构造函数 解 由于 所以 0 x 2 lnxxxxb 32 lnxxxx 2 321lnxxxxg x xx x x xg 126 62 1 2 当时 所以在上递增 6 71 0 x 0 x g x g 6 71 0 x 当时 所以在上递减 6 71 x 0 x g x g 6 71 x 精品文档 2欢迎下载 x xg 0 1 原函数草图 0 x x x g 0 6 71 x 二阶导数草图 x x g 0 1 0 x 6 71 x 一阶导数草图 又 01 g 6 71 0 0 00 xxg 当时 所以在上递减 0 0 xx 0 x g xg 0 0 xx 当时 所以上递增 1 0 xx 0 x g1 0 xx 当时 所以在上递减 1 x 0 x g xg1 x 又当时 x xg 4 1 lnlnln 232 xxxxxxxxxxxg 当时 则且0 x 0 4 1 ln x 0 xg 01 g 的取值范围为 b 0 x xx x x xg 126 62 1 2 2 321lnxxxxg 32 lnxxxxxg 方法二 构造 2 lnxxxxG x xx x xx x xx x x xG 1121212 21 1 22 从而在上为增函数 0 x 10 x 0 x G xG 1 0 从而在上为减函数 0 1 xGx xG 1 而 01 GxG0 x 0 xGxb0 b 精品文档 3欢迎下载 分析点评 第 3 问的两种解法难易繁杂一目了然 关键在合理构造函数上 08 山东 理 已知函数 f x aln x 1 其中 n n x 1 1 是正整数 a 是常数 若 a 1 时 求证 当 x 2 时 f x x 1 证法一 当 a 1 时 f x ln x 1 构造函数 F x n x 1 1 x 1 f x 下证 当 x 2 时 F x x 1 ln x 1 0 恒成立 n x 1 1 F x 1 x 2 1 1 1 1 xx n n 1 2 x x 1 1 n x n 若 n 为偶数 x 2 0 1 x 1 0 0 0 1 2 x x 1 1 n x 1 1 n x n 所以 当 x 2 时 F x 0 F x min F 2 2 1 ln 2 1 0 所以 当 x 2 且 n 为偶数时 F x n 21 1 x 1 ln x 1 0 恒成立 n x 1 1 若 n 为奇数 要证 ln x 1 x 1 x 2 n x 1 1 0 所以只需证 n x 1 1 ln x 1 x 1 下略 精品文档 4欢迎下载 小结 2 含有正整数 n 的表达式的符号 数值判断 对 n 分 奇 偶讨论 是一种重要的方法 在数列中运用很多 证法二 当 x 2 时 1 只需要证明 1 ln x 1 n x 1 1 x 1 构造函数 F x x 1 1 ln x 1 即 F x x 2 ln x 1 则 F x 下略 1 2 x x 小结 3 证法一是直接作 差函数 直接构造新函数 然后分 奇 偶讨论 证法二是先适当放缩 然后构造新函数 解题时 要 有敏锐的观察力 2 变形与整理 直接构造新函数 F x f x g x 来证明函数不等式 f x g x 时 目标是 F a min 0 从而 F x 0 所以 f x g x 但常常会出现 下列几种异常情况 F x 的符号无法判断 F x 的符号 F x 的单调性 F x 的极值 从而 F x 的极值无法求出 虽然 F x 的 极值能够求出 但极值是关于参数 a 的表达式 F a 无法判断极值 F a 是大于 0 还是小于 0 直接构造的新函数 F x f x g x 其导函数 F x 非常复杂或根本无法求出 出现这种异常情况 表明所构造的新函数 F x 不适当 这时 需要对 函数不等式 重新整理后 再构造新函数 F x 如题 2 注意下面的题目的求解方 法 精品文档 5欢迎下载 x y 0 3 10 x h 那么怎样合理构造函数呢 1 抓住问题的实质 化简函数 1 已知是二次函数 不等式的解集是 且在区间上的 xf 0 xf 5 0 xf 4 1 最大值 12 1 求的解析式 xf 2 是否存在自然数 使得方程在区间内有且只有两个不m 0 37 x xf 1 mm 等的实数根 若存在 求出所有的值 若不存在 请说明理由 m 解 1 Rxxxy 102 2 2 假设满足要求的实数存在 则 即有 m 0 37 x xf0 37 102 2 x xx 即有 0 37102 23 x xx 037102 23 xx 构造函数 37102 23 xxxh 画图分析 3 10 6206 2 xxxxxh 进而检验 知 所以存在实数使得在区0 4 0 3 10 0 3 hhh3 m 0 37 x xf 间内有且只有两个不等的实数根 4 3 点评 本题关键是构造了函数 舍弃了原函数中分母问题得到了 37 2 10 3 2 xxxh x 简化 变式练习 设函数 求已知当时 Rxxxxf 5 6 3 1x x y 0 xh 3 10 精品文档 6欢迎下载 恒成立 求实数的取值范围 1 xkxfk 2424 已知函数 已知函数 ln 2 1 2 R axaxxf 求函数 求函数的单调区间 的单调区间 xf 求证 求证 32 3 2 ln 2 1 1xxxx 时 解 解 依题意 函数的定义域为 依题意 函数的定义域为 x x 0 0 当当 a 0a 0 时 时 a fxx x 的单调递增区间为的单调递增区间为 当当 a a 0 0 时 时 令令 f x 0 axaxa fxx xx 0 0 有 有所以函数所以函数的单调递增区间为的单调递增区间为令令 0 0 有 有 fx xa f x a fx 所以函数所以函数的单调递减区间为的单调递减区间为 0 xa f x 0 a 设 设 32 2 211 ln 2 32 g xxxxg xxx x 2 1 21 1 0 xxx xg x x 当时 当当时 时 1 1 0 6 g xg xg 在 1 上是增函数 1 x 32 3 2 ln 2 1 xxx 3434 已知函数 已知函数 xaxxfln 2 1 2 当 当时 求函数时 求函数在在上的最大 最小值 上的最大 最小值 1 a xf e 1 求 求的单调增区间 的单调增区间 xf 求证 求证 时 在区间时 在区间 1 1 上 函数上 函数的图象总在函数的图象总在函数的的1 a xf 3 3 2 xxg 图象的下方图象的下方 解 解 I I 当 当时 时 时 时 故 故 f x f x 在在 1 1 e e 1 a x xxf 1 ex 1 0 x f 上是增函数上是增函数 f f x x max max f f e e e e2 2 1 1 f f x x min min f f 1 1 2 1 2 1 精品文档 7欢迎下载 y 0 e e 2 IIII 由 由 增区 增区 的定义域为函数0 xf 0 x f0 1 2 x ax 时0 a 间为间为 a 0a 0 时 增区间为时 增区间为 0 1 0 a IIIIII 设 设 F F x x x x2 2 lnxlnx x x3 3 则 则 x x x x 2x2x2 2 2 1 3 2 F x 1 x xxx 21 1 2 x x 1 1 x x 0 0 故 故 F F x x 在在 1 1 上是减函数 上是减函数 又又 F F 1 1 0 0 在在 F 6 1 1 1 上 有上 有 F F x x 0 0 即 即x x2 2 lnxlnx x x3 3 故函数故函数 f f x x 的图象在函数的图象在函数 2 1 3 2 xg x x3 3的图象的下方的图象的下方 3 2 2 抓住常规基本函数 利用函数草图分析问题 例 已知函数的图像在点处的切线方程为 xnxfln mfmP xy 设 ln2x x n mxxg 1 求证 当时 恒成立 1 x 0 xg 2 试讨论关于的方程根的个数 x txexxxg x n mx 23 2 解证 1 1 nm 2 方程从而 2 23 txexxxg x n mx txexxx 23 2ln2 因为所以方程可变为 0 x 2 ln2 2 texx x x 令 得 texxxH x x xL 2 ln2 2 ln1 2 2 x x xL 当时 在上为增函数 ex 0 xLxL 0 e 0 当时 在上为减函数 ex xLxL 0 ex 当时 ex 2 max e eLxL 又 2 2 2 2 etextexxxH 所以函数在同一坐标系的大致图像如图所示 xHxL 精品文档 8欢迎下载 当即时 方程无解 2 2 e et e et 2 2 当即时 方程一解 2 2 e et e et 2 2 当即时 方程有 2 个根 2 2 e et e et 2 2 分析点评 一次函数 二次函数 指对数函数 幂函数 简单的分式根式函数 绝对值函 数的图象力求清晰准确 一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体 如果适当分解和 调配就一定能找到问题解决的突破口 使问题简单化明确化 已知平面向量已知平面向量 1 1 a 3b 2 1 2 3 1 1 证明证明 a b 2 2 若存在不同时为零的实数若存在不同时为零的实数 k k 和和 t t 使 使 t t2 2 3 3 k k t t 试 试x a b y a b x y 求函数关系式求函数关系式 k f t k f t 3 3 据据 2 2 的结论 讨论关于的结论 讨论关于 t t 的方程的方程 f t k 0f t k 0 的解的情况的解的情况 解答 解答 1 1 1 1 0 0 a b 3 2 1 2 3 a b 2 2 0 0 即即 t t2 2 3 3 k k t t 0 0 x y x y a b a b 整理后得整理后得 k k t k t t k t2 2 3 3 t tt t2 2 3 3 0 0 2 a a b 2 b 0 0 4 4 1 1 a b 2 a 2 b 上式化为上式化为 4k t t 4k t t2 2 3 0 3 0 即 即 k k t tt t2 2 3 3 4 1 3 3 讨论方程讨论方程t tt t2 2 3 k 0 3 k 0 的解的情况 可以看作曲线的解的情况 可以看作曲线 f t f t t tt t2 2 3 3 与直线与直线 y ky k 4 1 4 1 的交点个数的交点个数 于是于是 f f t t t t2 2 1 1 t 1 t 1 t 1 t 1 4 1 4 3 令令 f f t 0 t 0 解得解得 t t1 1 1 t 1 t2 2 1 1 当当 t t 变化时 变化时 f f t t f t f t 的变化情况如下表 的变化情况如下表 t t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f f t t 0 0 0 0 F t F t 极大值极大值 极小值极小值 当当 t 1t 1 时 时 f t f t 有极大值 有极大值 f t f t 极大值 极大值 2 1 精品文档 9欢迎下载 当当 t 1t 1 时 时 f t f t 有极小值 有极小值 f t f t 极小值 极小值 2 1 函数函数 f t f t t tt t2 2 3 3 的图象如图的图象如图 1313 2 2 1 1 所示 所示 4 1 可观察出 可观察出 1 1 当当 k k 或或 k k 时时 方程方程 f t k 0f t k 0 有且只有一解 有且只有一解 2 1 2 1 2 2 当当 k k 或或 k k 时时 方程方程 f t k 0f t k 0 有两解 有两解 2 1 2 1 3 3 当当 k k 时时 方程方程 f t k 0f t k 0 有三解有三解 2 1 2 1 点晴点晴 导数的应用为作函数的草图提供了新途径 方程根的个数与极值的正负有关 3 复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则 抓住函数的复合过程能够逐层分解 例 已知函数在区间上单调递减 在区间 22 3 2 4 1 234 xaxxxxf 1 1 上单调递增 2 1 1 求实数的值 a 2 若关于的方程有 3 个不同的实数解 求实数的取值范围 x mf x 2m 3 若函数的图像与坐标轴无交点 求实数的取值范围 pxfy 2 logp 解 1 利用 得 01 f 2 1 a 2 因为 22 2 1 3 2 4 1 234 xxxxxf 得 列表得 2 1 1 22 23 xxxxxxxf 222 111