[试题]概率统计2-1

第二章 随机变量的分布和数字特征,2.1随机变量及其分布2.2随机变量函数的分布2.3随机变量的数字特征2.4几种重要的离散型分布2.5几种重要的连续型分布,1,秘荐恒正陛迟迪窍囚布攻般待琅郴宝腋贫吮疹尹枉椎锯骏押词浊勤匣辉娱概率统计2-1概率统计2-1,2.1 随机变量及其分布,（1）随机变量的概念（2）离散型随机变量的概率分布（3）连续型随机变量的概率密度（4）随机变量的分布函数,2,娶汪章先斩梁缉腆慑哎凌稚含狮具沤滁键锰危骨襟奏滴喻收硼金步褥蹄被概率统计2-1概率统计2-1,为什么要引入随机变量,从理论上讲，样本空间、随机事件可以是任何集合，但这对于研究带来了许多不方便。而数学上则更喜欢研究实数集合。可以建立从样本空间到实数集合的一个映射，即对每个给定样本点，存在着唯一的一个实数()与之对应这样就建立了一个自变量为而函数值则为实数的一个特殊的“函数”。我们称之为随机变量。对每一个随机事件A ，都可用随机变量的取值(范围)来表示。这样，随机事件就可以用实数的数集(或点集)来表示，试验结果就具体化、数字化了。因此，引入随机变量之后，可借助微积分等方法来解决概率问题,3,谁房湘堪贮希哩琳庄匪褒味商猿漾加茎夫撵摊盼侵步俐姚杏刨恒军丝驯饥概率统计2-1概率统计2-1,随机变量的定义,定义：随机变量是定义在样本空间=上的一个单值实函数，记作X=X()，简记为X。有时也记为，特点：随机变量取值具有不确定性，但都具有一定的概率规律。注意：随机变量与微积分中的变量不同。随机变量随试验结果而变，即它的定义域是试验的所有可能结果，随机变量的取值事先不能确定，具有概率确定性；微积分中的变量的定义域是实数域，它的取值是确定性的。,4,使誓又辈拢砸坎妨摈疥店伴贤迷磁济吨噪嗓辰佰诚随疾狭瑚延因辊侨残波概率统计2-1概率统计2-1,一些随机变量的例子,(1) 一个射手对目标进行射击, 击中目标记为1分, 未中目标记为0分. 如果用X表示射手在一次射击中的得分, 则它是一个随机变量, 可以取0和1两个可能的值.(2) 某段时间内候车室的旅客数目记为X, 它是一个随机变量, 可以取0及一切不大于M的自然数, M为候车室的最大容量.(3) 单位面积上某农作物的产量X是一个随机变量, 它可以取一个区间内的一切实数值, 即x0,T, T是一个常数.,5,逃绢号挞校我萄播督侮雌嫩胎沛拎寡掐席鞠郧晒搭瘟跺言鸿渭志版吹腰钱概率统计2-1概率统计2-1,随机变量的分类,按随机变量的取值情况，可将其分为两类:(1) 离散型随机变量：取值为有限个或无限可列个值。(2) 非离散型随机变量：所有可能取值不能一一列举出来而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机变量（它的值域是一个或若干个区间）。今后我们主要研究离散型和连续型随机变量。,6,泄帚枉蔬苛雕烩衣禹贼捞喂碧弟锯七他靶克昨淤厩氮翱娱饯测土你屎膝烩概率统计2-1概率统计2-1,离散型随机变量的概率分布,定义2.1：如果随机变量X只能取有限个或可列个可能值,而且取这些不同值的概率是确定的, 则称X为离散性随机变量。定义2.2：X为离散型随机变量,其一切可取值为x1, x2, xn ;记pn=PX =xn (n=1,2,),称为X的概率函数,又称X的概率分布、分布律。 其中 X = x1, X = x2, , X = xn, 构成一完备事件组。因此概率函数具有如下性质:,7,衔防寺兹玄办陈带令唾疽驱灌斑襄碉监绒蔗梢萧抚索寒擎漾会礁映础窘狮概率统计2-1概率统计2-1,概率分布表,为直观起见，将随机变量的可能取值及相应概率排列成概率分布表如下：,8,一般所说的离散性随机变量的分布就是指它的概率函数或概率分布表.,对于集合xn , n=1,2,中的任何一个子集A，事件“X在A中取值”即“XA”的概率为,野们吞扮返形家唤礼长颖袍侥五禽段府秆溜垃通熄玉彰造窍管丰审猜袒队概率统计2-1概率统计2-1,两点分布,两点分布: 只有两个可能取值的随机变量X所服从的分布, 称为两点分布。其概率函数为： P(X=xk)=pk (k=1,2)。亦称X服从两点分布。 概率分布表为:,9,概率分布图为：,笨喊奸幼龙碱捞臀僚嘘侧鹤忠诱桅浪苑闭情箔轧埠铰槐地跃屡妹侧鸽涌心概率统计2-1概率统计2-1,0-1分布,0-1分布: 只取0和1两个值的随机变量所服从的分布称(参数为p的)为0-1分布. 其概率函数为：P(X =k)=pk(1-p)1-k(k=0,1) 概率分布表为:,10,概率分布图为：,服从0-1分布的随机变量所描述的试验称伯努利试验。(试验结果两状态),硼园啦舆结姚三嘿逛辣但紫芜明乒嘿粪臀连矽斯珠湃唯蕾虐暂谷遗黎它厂概率统计2-1概率统计2-1,例题与解答,例2 产品有一,二,三等品及废品4种, 其一,二,三等品率和废品率分别为60%, 10%, 20%, 10%, 任取一个产品检验其质量, 用随机变量X 描述检验结果并画出其概率函数图.解 令“X=k与产品为k等品(k=1,2,3)相对应, “X=0与产品为废品相对应. X是一个随机变量, 它可以取0,1,2,3这4个值. 依题意, P(X=0)=0.1P(X=1)=0.6 P(X=2)=0.1P(X=3)=0.2 则可列出概率分布表并画出概率分布图:,11,求概率分布两点：可能取值与每点分布了多少概率,凉御硅冬滞敏刀卓郧命泰擞辆丧烃逛鄂胶彭堰寥飞堵慧喀壹毛搅屏螟但傈概率统计2-1概率统计2-1,续上页(概率分布表及概率分布图),12,X的分布律：,X的概率分布图：,硅谭渝些骑沤雍咯雹兽蝶功琵滩减爬岸放嗓袜鸿剔扦录智垣妈押呸缩佰梧概率统计2-1概率统计2-1,离散型均匀分布,如果随机变量X有概率函数:,13,则称X服从离散型均匀分布.,淮歼猖笼稽烂关眯徘个灼臃盔引斤售抓久碗更主淹咎冰恫举礼梭涧划刺墒概率统计2-1概率统计2-1,例题与解答,例3 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况解 令X表示掷一颗骰子出现的点数, 它可取1到6共6个自然数, 相应的概率都是1/6, 列成概率分布表和概率分布图如下： (离散型均匀分布特例),14,缄境公捂犯乍瞧喻峪邪娄府就边抹严黄蹲筹苔垒喇在槛仿钩饰赘贫谚勃斧概率统计2-1概率统计2-1,例题与解答,例4 社会上定期发行某种奖券, 每券1元, 中奖率为p, 某人每次购买1张奖券, 如果没有中奖下次再继续购买1张, 直到中奖为止. 求该人购买次数X的分布.解 “X =1”表示第一次购买的奖券中奖, 依题意： P(X =1)=p “X =2”表示购买两次奖券, 但第一次未中奖, 其概率为1-p, 而第二次中奖, 其概率为p. 由于各期奖券中奖与否相互独立, 所以：P(X =2)=(1-p)p ;“X =i ”表示购买i次, 前i-1次都未中奖, 而第i次中奖, 所以： P(X =i)=(1-p)i-1p 由此，得到X的概率函数为： P(X =i)=p(1-p)i-1(i=1,2,),15,浪媳辜薛圭皖扫圭冬茂艳鸯栗瘪谤准兰退鞋唆挪嘱桶韧专曲颧昏叁瘟狐不概率统计2-1概率统计2-1,几何分布,上例中，随机变量X的分布为 P(X =i)=p(1-p)i-1(i=1,2,)称几何分布,也称随机变量X服从几何分布。p(1-p)i-1恰是几何级数,16,含义：假定一个试验成功的概率为p(0p5年、还是X5年零1分钟、或是X5年？几何中可以用点的“长度”、“面积”来度量线段长度、矩形面积吗？不能！例：(打靶问题)假定靶板U上每一点被击中的可能性相同，求打中区域A内的概率和点B的概率？,18,区域A是有无数点组成的，能否用点的概率来度量事件A的概率？不能！,垮垣扔伙瑰曳叁守合驱酵咬三献凶状者弛恭沦哨铺种纶燕测斧减绎嫩武边概率统计2-1概率统计2-1,连续型随机变量与概率密度,定义2.3：对于随机变量X，若存在非负函数f(x)， (-x+)，使对任意实数a,b (ab)都有,19,则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。简记为X f(x)，(-x+)。,几何意义：对连续型随机变量而言，概率的几何意义是分布密度函数曲线下方的面积 。,问题：PX=c=？,蛙基驭匠饼戒耘矗虐彤募帮颈推起养囚炭灰穗简实县姿臀池罪端忍擎践刹概率统计2-1概率统计2-1,PX=c=0的说明,20,灯丹赎巍鸣休伸查泛狮透肘秃天怔媚刮材满喧桐搐残许理扭褐刘律黄铲惨概率统计2-1概率统计2-1,注意,21,1.由连续型随机变量定义可知：对任何实数c，PX=c=0.即：连续型随机变量取任何一个数值的概率都为零。2.在讨论连续型随机变量X在某区间上取值情况时，因区间端点的概率值总是零，故对连续型随机变量不必区分取值区间的开与闭。 即: PaXb=PaXb=PaX b=PaXb3.概率为零的事件不一定是“不可能事件”,律喇袜几落睫钓榷刘凯朗催卑眨是雨必禽赤崇募窃戈斡效瞻气储肩凑图铅概率统计2-1概率统计2-1,概率密度函数的两个性质,连续型的概率非负性和概率完备性表现为（1）非负性 ：f(x) 0，(- x2,PXa2+2|Xa2 (a任意实数)。,解：由概率密度性质2，有,纽背豢乾蚤娄副橡袜键保借锹全疟载竿遮甭涛腰禽逢瑚冻粘跟寡碳腮臀擎概率统计2-1概率统计2-1,续上页,因为事件Xa2+2Xa2 ，所以PXa2+2，Xa2 = PXa2+2 。因此，,27,殷溢共吓诛单菱旗脆樟瑰抗股隅烷瘟筐暇招她坑鼓胁常添靴欧矛觅碾互什概率统计2-1概率统计2-1,分布函数,定义 2.5：若X是任意一个随机变量(可以是离散型的, 也可以是非离散型的), 对任何实数x,称函数 F(x)=P(Xx), -x 是随机变量X的分布函数。分布函数F(x)是在区间(- , x内的“累积概率”，不要与单点概率混淆。分布函数是概率论中重要研究工具,可用于描述包括离散型和连续型在内的一切类型随机变量。 易知，对任意实数a, b (ab), PaX bPX bPX a F(b)F(a)即已知X的分布函数F(x), 就能知道X在任何一个区间上取值的概率, 从这个意义上说, 分布函数完整地描述了随机变量的变化情况。,28,对连续型：,PaX b F(b)F(a),搽守愿屹做浙谩力津兵凿席竭牙尊寺鹰饥畔次崭藏浑认堤寥板郝淄狗烙醛概率统计2-1概率统计2-1,分布函数F(x)性质,29,注：具有这样四个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。 故该四个性质是分布函数的充分必要性质,F(x)=P(Xx), -x ,贺惺松鸟卧纵蚀艺崩芬梁桨消埃跪睬牲姐装箱肇释妥穗舍法鲸绳恨叔老弱概率统计2-1概率统计2-1,例题及讲解,例 设随机变量X的概率分布如下表所示:,30,其分布函数为：,F(x)=P(Xx), -x ,离散型随机变量求分布函数：,将所有可能的取值作为分布函数的分段点讨论。(两个可能取值，分布函数分成三段),米贬爷球磐邱闰来旱恐庶苍嚼量魔皇族庄拧瘴蠢鹏藐颗顾麓长寡南居坦教概率统计2-1概率统计2-1,例3(掷骰子)的分布函数F(x),31,动茵庸使击吕帘苍枝厂醛靳盘搔逝勿专塘杂柠洗圆酋陈领禽痘舀续既融弱概率统计2-1概率统计2-1,0-1分布的分布函数及图,32,帝搅落扇骗慌钒据考瑞鞋算杠劈辅讲娶柄奇鱼动常巴暂凄崩卒尝哲碉愤竿概率统计2-1概率统计2-1,均匀分布的分布函数图,均匀分布密度函数为,33,烯习辞齿厉宿陛替条涝雹格裕镑圈畔众滚随寞瞧乍采谆张椿恨灵峪躬辣绷概率统计2-1概率统计2-1,均匀分布的分布函数图(续),当xa时,34,当axb时,x,x,x,砍倘离昌抗州抄舷变椎辗菇吠拌娜颓矩蓑椭迎浆札岁绥电册缝刊制锅渭名概率统计2-1概率统计2-1,均匀分布的分布函数图(续),综上所述, 最后得分布函数为,35,注：连续型随机变量的分布函数是连续的,图形为连续曲线；离散型随机变量分布函数的图形一般为阶梯曲线.,注：连续型随机变量求分布函数以分布密度f(x)的分段点为分段点进行求解,脑合馒瓮疡禹礁绕虾如晶怪芬钥禁兢生庐牟坏渍铱宰秀项迪隋人尖鉴笆凋概率统计2-1概率统计2-1,分布函数与概率函数(离散型)关系,在一般的公式中, 要考虑 x1, x2, 并非按从小到大的次序排列的可能性. (2)若分布函数为F(x),则概率函数为 pk=P(X=xk)=F(xk)F(xk0) (k=1,2,3,),36,反之,酿赌贤淤啄舞个寿坛判疡决舰许用酚漫效朗湛沼幕逐骨便革咱陛霉辫骚疼概率统计2-1概率统计2-1,例题与讲解,例：设随机变量X的分布函数求X的分布律.分析：显然F(x)的间断点即是X的可能取值，对离散型随机变量，其分布律与分布函数的关系为PX=x=F(x) F(x 0)解：X的可能取值有1，1，3，所以PX=1=F(1)F(10)=0.40=0.4PX=1=F(1)F(10)=0.80.4=0.4PX=3=F(3)F(30)=10.8=0.2,37,付坏池泛捍萍僵窒先媳德娠直钱勘蓑絮蹭疲际涅柒叉黄荚椎挥吗忍忽唉莹概率统计2-1概率统计2-1,练习与讲解,例：设随机变量X的分布函数为且求参数a，b的值解：由分布函数的性质及PX=x=F(x)-F(x-0)得：,38,赔率胺砧忱食哮系颖佯匪腔恋椽吻了蚕睹获喀鹊蝶液策摔憋福莹床办达纵概率统计2-1概率统计2-1,分布函数与分布密度(连续型)关系,(3)对任意实数b，若X f(x)，(-x )，则PX=b0。于是,39,(2)若已知F(x)，x是f(x)的连续点，则,(1)若已知X f(x)，(-x ) ，则,缘到吻眨嘘裹稼蜡端厘控攻醛憨炎臻顾草佃院逮比霄蜗务蛇拦痪专诉娥返概率统计2-1概率统计2-1,分布密度与分布函数的关系图示,40,对于f(x)的一切连续点都有,淹万崎捌女扰祈恒借近蘸近舵师卜垂许蔷鄂政逊祷肾伟玄狡牡恢搓添贷浇概率统计2-1概率统计2-1,进一步剖析可得：,41,这表明f(x)不是X取值x的概率, 而是它在x点概率分布的密集程度或者说概率的变化程度.,奥晴郭攀欣碘掸几孜龚藻拓模纺番郁灶夯肌阵留遣池捆滤沿透考叁复伟衡概率统计2-1概率统计2-1,例题与解答,例9：设X的分布函数为 求f(x)解：,42,粮峡肖正橇桑嫡镍拳斟唤掇咙士箱祷婶惋些呵硼澳嚷郸眉融挂拉超语举否概率统计2-1概率统计2-1,例题与解答,例10:设随机变量X的概率密度为,43,求1) X分布函数F(x), 2)P0.5 X1.5)解:1),噶抗朽囱友甘婚报汹严囱搏泌歪溉兵石痘拄鬼珐弯贱芽畴拌毋豌换洗丈凰概率统计2-1概率统计2-1,续上页,所以，分布函数为：,44,2) P0.5 X1.5) =F(1.5)-F(0.5)=7/8 1/8=6/8=3/4,煤檄如带荆迹侠弦稳侨阑耳浪邹搐隅匣攻朵汤帅挎裤喳酶裂羊背答摊稳牙概率统计2-1概率统计2-1,例题与解答,例11：设随机变量X只能取一个值c，即 PX=c=1 (此时，称X服从“退化分布”) 求X的分布函数。解：由分布函数与概率函数的关系可知：,45,注：当变量X服从退化分布时，实际上它已经是确定性变量了；为了方便分析我们将它看成随机变量的极端特例,嫡剐崇茎谈土由柒泞格敲憎工湛籽聘攻秋们义悠胸碘监唬如更烷示害肖舶概率统计2-1概率统计2-1,例题与解答,例12：已知连续型随机变量X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx 。试确定A、B及f(x)。解：由分布函数性质3，可知 F(-)=A-(/