抽象函数常见题型和解法.doc

汤阴一中高三数学学习材料教师版编写人：苗丽敏抽象函数的常见题型及解法一、 抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域若已知f(x)的定义域x(a,b)，求fg(x)的定义域，其方法是：由ag(x)b,求得x的范围，即为fg(x)的定义域。即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为fg(x)的定义域。例1. 已知f(x)的定义域为1，4，求f()的定义域.解: 由14，得 -12 即 -10 或 02解得 X-1 或x函数的定义域为:2. 已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域若已知fg(x)的定义域x(a,b)，求f(x)的定义域，其方法是：由axb,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。例2. 若已知f(x+2)的定义域为-2，2，求函数f(x)的定义域.解：f(x+2)的定义域为-2，2，-2x2， 0x+24故f(x)的定义域为0，43. 已知f (x)的定义域，求fg(x)的定义域先由f (x)的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求fg(x)的定义域。即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。例3. 若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域.解：f(x+1)的定义域为，-2x3， -1x+14即f(x)的定义域为. -14， -32 即 -30 或 0函数的定义域为: 3. 已知f(x)的定义域，求f (x) + fg(x)的定义域若已知f(x)的定义域x(a,b)，求fg(x)+fg(x)的定义域，其方法是：由,求得x的范围，即为f (x) + fg(x)的定义域。例4. 已知f(x)的定义域为-1，2，求g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.解：由题意得：-1x1,故函数的定义域为-1，1.例5. 已知f(x)的定义域为0，1，求g(x)=f(x+m)+f(x-m)的定义域.解：由题意得：解此不等式组，须讨论1-m与m的大小（1） 当1-m时，不等式无解，此时函数关系不存在。（2） 当1-m=m即m=时,x=m=.（3） 当1-mm即0m时, m综上，当01时,f(x)0，且f(x.)=f(x)+f(y)。（1） 求f(1);（2） 证明f(x)在定义域上是增函数;（3） 如果f()=-1,求满足不等式f(x)-f()2的x的取值范围。分析：（1）求抽象函数的值常采用赋值法。（2）应利用单调性定义证明，在作差f（x2）- f(x1)变形时，注意条件f(x.)=f(x)+f(y)的应用及拆、添、凑的思想的运用。（3）解抽象函数不等式，实际上就是f的“穿”、“脱”问题。先“穿”后“脱”。解：（1）令x=y=1，得f(1)=2f(1)，故f(1)=0（2）任取x1，x2(0,+)，且x11,由题意得：f()0 f(x2)f(x1)=f()-f(x1)= f()+f(x1) -f(x1) =f()0f(x2)f(x1)f(x)在(0,+)上的增函数方法二：令y=,得f(1)=f(x)=f(x)+f()=0故f()=-f(x)任取x1，x2(0,+)，且x11，故f()0f(x2)f(x1)f(x)在(0,+)上的增函数（3）f()=-1， -f()=12=1+1=-f()-f()=-f()+f()=-f()=-f()f(x)-f()2 f(x)-f()-f()f(x) +f()f()f()f()解得:xx的取值范围为x| x例2定义在R上的函数yf(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1且对任意a、bR，有f(ab)f(a)f(b)。（1）证明：f(0)1。（2）证明：对任意的xR，恒有f(x)0。（3）证明f(x)是R上的增函数。（4）若f(x)f(2xx2)1，求x的取值范围。（1）证明：令ab0，则f(0)f(0)f(0)又f(0)0f(0)1（2）证明：当x0时，x0f(x)1f(0)fx（x）f(x)f(x)1f(x)又f(0)1且当x0时，f(x)1对任意的xR，恒有f(x)0（3）设x1x2，x1，x2R则x2x10f(x2x1)1f(x1)f(x2)f(x2x1)x1f(x1) f(x2x1)f(x1)f(x1) f(x1)f(x2x1)1f(x1)0f(x2x1)10f(x2)f(x1)0f(x2)