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构造椭圆模型解证三角问题江苏省泰州外国语学校 于志洪对于一些具有特征的三角问题，我们可以通过构造椭圆模型来求解或证明，现分类举例说明如下：例1. 已知，求证：。分析：这是一道纯粹的三角命题，由题中等式的形状可联想到构造一个椭圆方程。证明：设椭圆C：由题设知点在椭圆C上又也满足椭圆C可知点N也在椭圆上过点N的椭圆C的切线方程为即，又点M也满足所以点M也在此切线上故点M和点N重合所以例2. 已知在ABC中，试求之值。解：机敏的读者一下子发现了一个熟悉的图形：椭圆。这样，思路纳入了解析几何的轨道，下面的解法，当然与解析几何紧密地联系在一起了。如图1所示，设椭圆的长轴为，焦距为。则（正弦定理）图1（合比定理，椭圆定义）即则丰富的想象，是数向形转化的前提，外形的启发。例3. 设，求证：。证明：构造椭圆，（图2）图2设则不等式的左端即为椭圆上两点A，B间的距离易知成立。例4. 求的极值。解：把原式变形为则为过两点的直线斜率图3而Q是椭圆上任一点直线PQ的极值位置是过点p的椭圆的切线，构造椭圆设过点的椭圆的切线的斜率为k则切线方程为将代入（*），得：原函数的极大值为2，极小值为
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