北京西城区2008年5月高三抽样测试—数学理.doc

蓝天家教网 伴你快乐成长本资料来源于七彩教育网北京市西城区2008年5月抽样测试 高三数学试卷（理科） 2008.5学校 班级 姓名 题号一二三总分151617181920分数本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。第一卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设A，B是全集I的两个子集，且，则下列结论一定正确的是（ ）A B C D2设m，n表示不同的直线，表示不同的平面，且。则“”是“”的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件3设，且是和的等比中项，则动点的轨迹为除去轴上点的（ ）A一条直线 B一个圆C双曲线的一支 D一个椭圆4圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ）A12 B13 C14 D155设定点A（0，1），动点的从标满足条件则的最小值是（ ）A B C D6从5名奥运志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）A24种 B36种 C48种 D60种7已知P，A，B，C是平面内四点，且，那么一定有（ ）A B C D8设，函数的定义域为，值域为，定义“区间的长度等于”，若区间长度的最小值为，则实数a的值为（ ）A11 B6 C D北京西城区2008年抽样测试 高三数学试卷（理科） 2008.5学校 班级 姓名 第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。）9若复数是纯虚数，则实数b= 。10设是第三象限角，则= 。11在的展开式中，的系数是 ；展开式中各项系数的和为 。12设向量，若，则实数的取值范围是 。13将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD平面ABC，则折起后B，D两点的距离为 ；三棱锥DABC的体积是 。14设函数的定义域分别为，且。若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数。设，为在R上的一个延拓函数，且是偶函数，则= 。三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15（本小题满分12分）某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题。规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰。已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互独立。（）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的数学期望和方差。16（本小题满分12分）设，函数，且。（）求的值；（）若，求的最大值及相应的值。17（本小题满分14分）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=，AB=1，E是DD1的中点。（）求直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小；（）求证：B1DAE；（）求二面角CAED的大小。18（本小题满分14分）在数列中，（）求的值；（）设，证明：是等差数列；（）求数列的前n项和。19（本小题满分14分）已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线和的斜率之积为定值；（）证明：直线和的斜率之积为定值；（）求点M的轨迹方程。20（本小题满分14分）已知函数（e为自然对数的底数）（）求的最小值；（）设不等式的解集为P，且，求实数a的取值范围；（）设，证明：。北京西城区2008年抽样测试 高三数学试卷（理科）参考答案一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1. C 2. A 3. D 4. B 5. A 6. C 7. D 8. B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9. 0 10. 11. 24 ：8112. （，1）（2，+ ） 13. 1： 14. 三、解答题（本大题共6小题，共80分。15（本小题满分12分）.（）解：记“该选手通过初赛”为事件A,“该选手通过复赛”为时间B，“该选手通过决赛”为事件C，则那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是 .5分（）解可能取值为1，2，3.6分P(=1)=P()=1=,P(=2)=P(A)=P(A)P(B)=(1)=,P(=3)=P(AB)=P(A)P(B)=. .9分的数学期望E=1+2+3=. .11分的方差D=+= .12分16（本小题满分12分）（）解：=(+)= .4分， ，=， = .6分（）解：由（）得=+ .8分0x, 2x+ .9分当2x+=, 即x=时，取得最小值1. .11分在上的最大值为1，此时x=. .12分。17（本小题满分14分）解法一：（）解：连结D.ABCD是正圆棱柱， 平面，是在平面上的摄影，是直线和平面所成的角。.2分在Rt中， =，即直线和平面所成角的大小。 .4分（）证明：在Rt和Rt中，=, , A=+=+=， 。.7分由（）知，是在平面上的射影，根据三垂线定理得， .9分（）解：设=F，连结CF.CD平面，且AEDF, 根据三垂线定理得，AECF。DFC是二面角C-AE-D的平面角。 .11 分在Rt中，由= = =在Rt中，tan=.=,即二面角CAED的大小是,解法二：ABCD是正四棱柱，DA两两相互垂直。如图，以D为原点，直线DA, DC, 分别为X轴，Y轴，Z轴，建立空间直角坐标系。 .1分则D（0，0，0），A（1，0，0），B(1.1.0), .3分C(0.1.0),(1,1,),（）解：连结， 是正四棱柱。平面上的射影。是直线和平面所成的角。 . 分，cos(,)= =,=,即直线和平面所成角的大小是。 分（）证明：E是的中点 E, =,=，. 分（）解：设，连结平面，且根据三垂线定理，是二面角的平面角分根据平面几何知识，可求得。cos（），二面角的大小是。分18（本小题满分14分）（）解：，（，且）分分（）证明：证法一： 对于任意n2(+)=2=(443) =0（）解：由（）得：=0（n）（）（）分（）（）。即（）设。（）则。（）两式相减得。（）（）整理得，（），从而（）（）分.（本小题满分分）（）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为将其代入方程，消去整理得分设，的坐标分别为（，），（，），则，分将抛物线的方程改写为，求导得故，所以直线和的斜率之积为定值.分（）解：设M（x,y），因为直线的方程为y（），即（）同理，直线的方程为（）联立这两个方程，消去得（）（），整理得（），注意到，所以。分此时（）（）分由（）知，所以，所以点的轨迹方程是分.（本大题满分分）（）解：的导数=.令，解得，令，解得从而在（，）内单调递减，在（，）内单调递增。所以，当时，取得最小值.分（II）解：因为不等式的解集为，且，所以对于任意，不等式恒成立. .4分由，得.当时，上述不等式显然成立，故只需考虑的情况. 5分将变形为，令，则的导数，令，解得；令解得.从而在内单调递减，在内单调递增.所以，当时，取得最小值，从而实数的取