吉林大学 李月教授 随机信号处理课件第4次课

1 4平稳随机信号通过线性连续系统的分析1 4 1时域分析 已知一物理可实现线性非时变系统 其单位冲激响应为 如图1 4 1 1所示 当在 时间内输入随机信号 有界 则其输出零状态响应 的表示式为 1 4 1 1 图1 4 1 1随机信号通过线性系统 1 输出的均值 根据均值的定义 则有 1 4 1 2 若 为平稳随机信号 则 为常数 故得输出均值为 1 4 1 3 可见输出的均值也是与 无关的常数 1 4 1 4 2 输出 的自相关函数 根据自相关函数的定义 则有 1 4 1 5 可见 输出的自相关函数是 的函数 与时间起点 无关 这说明当线性非时变 系统输入是广义平稳随机信号其输出也是广义平稳随机信号 当 求得输出平均功 率 均方值 为 1 4 1 6 则有 1 4 1 7 为平稳随机信号 则 故上式可写成为 1 4 1 8 若 为平稳随机信号 则 故有 1 4 1 9 同理可求得 1 4 1 10 1 4 1 11 3 输入与输出之间的互相关函数 根据互相关函数的定义 则有 1 4 2频域分析 按稳定系统频域的系统函数有 1 4 2 1 故根据式 1 4 1 3 得系统输出的均值为 系统输出的功率密度谱 自功率谱 按 故有 利用式 1 4 1 5 将 代入上式 则得 令 进行变量置换 则 故得 1 4 2 2 1 4 2 3 将 1 4 1 9 等式两边各取傅立叶变换 则得 1 4 2 4 1 4 2 5 从式 1 4 2 4 求得 上式表明 互功率谱密度谱不仅包含有系统函数的幅度信息 而且还包含有相位信息 系统的频率特性可通过测量互功率谱与自功率谱来求得 2 系统输入与输出之间的互功率密度谱 互功率谱 1 5平稳随机信号通过线性离散系统的分析 1 5 1时域分析 设已知线性非时变离散系统的单位脉冲响应为 在 范围内输入 则其输出随机序列为 与 的卷积和 即 1 5 1 1 1 输出 的均值 按定义 有 1 5 1 2 随机序列 若 为平稳随机序列 则 为常数 故得 1 5 1 3 2 输出 的自相关函数 按定义 有 1 5 1 4 若 为平稳随机序列 则有 1 5 1 5 1 5 1 6 3 输出与输入之间的互相关函数 按定义 有 1 5 1 7 若 为平稳随机序列 则有 1 5 1 8 同理 可求得 若 为平稳随机序列 则有 1 5 1 9 从以上各式可见 输入是平稳随机序列 通过线性系统后其输出的统计特性也是平稳的 1 5 2频域分析 按 其中 1 5 1 10 离散系统的分析一般采用 变换比较方便 因此对随机信号通过离散系统可先在 域进行分析 如果分析的结果其收敛域包含 平面单位圆内 只要将 代以 就得到所需要的频域分析的结果 按维纳 欣钦定理 相关函数与功率谱密度是一对傅立叶变换 因而对离散时间信号 序列 来说就是一对 变换 即 1 5 1 11 利用 变换卷积性质 分别对式 1 5 1 5 及 1 5 1 8 进行 变换 则得 若以上各 变换式的收敛域均包含 平面的单位圆在内 则以 依次代 入各式 就可以求得如下所示的功率谱表达式 即输出自功率谱 输入与输出之间的互功率谱 为了便于 查阅 表1 5 1 1列出计算输入与输出统计特征之间的有关公式 表1 5 1 1平稳状态下线性系统输入与输出之间统计特征的关系式 1 6确定信号的相关分析及应用 设有 与 两个波形 为了研究它们之间的差别 衡量它们之间 在不同时刻的相似程度 变化规律 现以 表示 即 式中 是常数 显然这里有一个最佳的 值使两波形的差别最小 为了得到最佳的逼近 一般可采用均方误差最小准则 即取 的时间平均值D来衡量相似值 故有 令 求得最佳 为 把 代人D 得最小的D值为 式中 1 6 1 0 1 6 1确定信号的相关函数 1 能量信号相关函数 设 和 是两个有限能量的实信号 则它们的互相 关函数定义为 1 6 1 1 以上两个积分式相等 表示 不动 左移 等效于 不动 右移 时间差 1 6 1 2 互相关函数的下标x和y的先后次序 表示一个信号相对于另一个信号的位移方向 所以有 1 6 13 可见 仅仅是 以 0 为中心的翻转 则自相关函数定义为 1 6 1 4 所以有 1 6 1 5 式 1 6 1 5 表示实函数的自相关函数是时移 的偶函数 1 6 1 7 1 6 1 8 1 6 1 9 1 6 1 10 1 6 1 6 同理 若 是两个有限能量的实序列 则有 和 例 已知一非正弦周期信号 见图a 求其自 相关函数并作图 解 按周期信号自相关函数的定义得 上式表明周期信号的自相关函数仍然是周期性的 见图b 信号中 每一频率分量都对 有影响 但不影响原信号的相位信息 在某些实际应用中 通过求所观测到信号的自相关函数来辨识被随机噪声干扰的周期信号的周期 设 为周期N未知的周期序列 为加性高斯白噪声 观测到的信号为 设观测区间 n 0和 则有 式中 为周期序列 的自相关函数 因而是周期性的 在 等处出现 峰值 由于 是白噪声 所以与信号 互为统计独立或互相关 很小而趋于 零 除 m 0出现峰值外 均为零 由此可见 在 中 当m 0只有 才会出现峰值 通过检测峰值是否存在以及峰值的位置 就可判定被噪声所 湮没的观测信号 是否有周期信号以及周期的大小 1 6 2相关函数与卷积的关系 已知两个能量信号 和 则根据定义有 所以有 1 6 2 1 1 6 2 2 以上两式表明 与 的相关函数等于 与时间翻转后的 的卷积 因而求 相关函数可以通过求卷积来得到 只要在卷积之前先进行一个信号的时间翻转即可 1 6 2 3 1 6 2 4 相关函数既然可以通过卷积来求得 而卷积又可以利用FFT来计算 所以相关可以直接利用FFT来实现 即所谓快速相关 若已知 则利用傅里叶变换卷积性质求得 若 为实函数 则有 故得 1 6 2 5 1 6 2 6 同理 对离散信号有 显然 若 为实偶函数 则 也为实偶函数 故有 即 同理 若 为实偶函数 则有 若 或 均为实偶函数 则相关等于卷积 即 按式 1 6 2 6 得 故有 该式表明能量信号的自相关在原点的值等于信号的总能量 即 所以把 称为自能量密度谱 称为互能量密度谱 或简称为 能谱 把关系式 1 6 2 5 及 1 6 2 7 称为时间相关定理 对一般功率信号则按式 有 所以如同随机信号可求得功率密度谱与相关函数是一对傅里叶变换 即 同理对离散信号有 1 6 2 7 1 6 2 8 能量密度谱 功率密度谱 和功率密度谱分别表示能量信号或功率信号的能量或功率在频域的分布情况 可以通过求相关的傅里叶变换来获得 因而也可以利用FFT来计算 从式 1 6 2 5 1 6 2 8 可见 互相关函数的频谱不仅具有原来信号的幅度信息而且还含有相位信息 而自相关函数的频谱却只有幅度信息 这表明凡是幅度谱相同但波形不同的信号可以具有相同的自相关函数 如上所述 能量密度谱 1 6 3相关技术的应用 信号检测设观测的信号序列 其中 是有用的信号 为噪声 a 若对 已有先验知识 且 与 互不相关 则通过求 与 的互相关函数就可检测出有用信号 按 则 例如将超声脉冲射入人体后 就可通过计算 与延时后的 之间的互相关 来求得是否存在反射回来的超声波 b 若事先不知道 的波形 但知道它是一个周期序列 则可通过求 的自相 关函数检测出是否存在 及其大致的周期值 因为 按已知 是周期序列其自相关亦应是周期序列 其周期等于有用信号的周期 虽 然在 中含有噪声的自相关 但一般 随着m的增加很快衰减为零 如白噪声 只在 时有很大值 则为零 所以只要把有限时间间隔m取足够大就能正确 地检测出需要的结果 例如确定车厢 桥梁等物体的自振频率 就可采用相关技术进 行检测 2 速度检测设观测的序列 是 的延时 即 则通过计算 必然在 处出现最大值 例如在一条血管两个上 下不同位置 通过传感 器 测得两个相似的血流波形 则通过计算 求得时间 由于已知两个上下位置 的距离s 随即近似地算出血流的速度 T为均匀取样间隔 同样道理 利 用相关技术可以测出飞机及轮船的航行速度以及管道中物体的流速 3 系统识别 就是利用相关技术测得反映系统频率特性的系统函数 或反映时间特性的冲激响应 虽然反映系统动态特性的这些 参数的 求取可以根据定义式 通过输入幅度为单位值的不同频率的正弦信号或单位冲激 测量相应的输出响应来求得 但这两种方法既费时又不准确而且还存在不能实现 在线识别 即系统在工作状态下进行动态特性测量的共同缺点 因此在近代控制工程中 往往采用相关技术进行系统辨识 按平稳随机信号 通过一个稳定的因果线性系统 其输出 仍然是平稳随机信号 根据式