2011年下半年常微分方程模拟试题解答.doc

2011年下半年常微分方程模拟试题解答（仅供参考）一、 单项选择题(每小题2分, 共16分) 1. 下列四个微分方程中, 为四阶线性微分方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1B. 2C. 3D. 4解答：B. 此题中虽然每个方程都是四阶的微分方程，但是是线性方程的微分方程只有（1）和（4）两项，其余两个方程都是非线性的。2. 微分方程是( ). A. n阶常系数非线性常微分方程;C. n阶变系数非齐线性常微分方程;B. n阶变系数非线性常微分方程; D. n阶常系数非齐线性常微分方程.解答：C。首先容易看出方程的左端关于未知函数及其导数是线性的，但最后一项的系数与有关，故方程是变系数方程。右端项是表明方程是非齐的。其余的备选项均不合题意。3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D. 解答：A。将各个函数直接代入验证会发现只有函数能使得方程变为恒等式，故A是正确的。4. 是满足方程和初始条件()的唯一解. A. B. C. D. 解答：B。根据线性方程解的存在唯一性定理（书上103页定理1），只有B能保证解的存在唯一性。备选项A和C不能保证解的唯一性，而D的形式与定理的条件所要求的不符合。5. 设是n阶齐线性方程的解, 其中在某区间中 是连续函数. 则().A. 一定线性相关 B. 的伏朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零C. 一定线性无关 D. 的伏朗斯基行列式或恒为零, 或恒不为零.解答：D。根据n阶齐线性方程的n个解的伏朗斯基行列式的性质，我们知道该行列式或恒为零, 或恒不为零。因此只有D是正确的。B与D相矛盾，因此是错误的。A和C分别对应伏朗斯基行列式恒为零和恒不为零的情形，而题目中并未确切给出，故不能视为正确的答案。6. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式(). A. B. 0C. 4 D. 解答：A。根据伏朗斯基行列式的定义，直接可以计算如下：，因此A是正确的。7用变换A, B, C和D中的哪一个可将6阶方程化为4阶方程？ A. B. C. D. 解答：C. 用代换可将方程化为, 这是一个4阶方程. 用备选项D也能将方程降阶，但只能降低一阶，得到一个五阶方程。其余的备选项都不对。 8. 方程组满足初始条件的解为(). A. B. C. D. 解答：D. 将各个向量函数直接代入验证会发现只有D是正确的。二、 填空题(每小题5分, 共20分)9. 利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程( ).解答：伯努利方程是一个一阶的非线性微分方程, 将该方程的两边除以, 则可以得到或可以整理为.因此取变换为, 则可以将方程化为如下的线性方程: .(该方程可以判断为的伯努利方程，直接利用书上所给的变换也可得到完全相同的结果)10. 设和是相异的实数. 欧拉方程的一个基本解组为( ).解答：设这个欧拉方程有解形如，其中是待定的常数。则代入方程中，可得应满足的代数方程，或可以写成. 解之可以得到，因此该欧拉方程有两个解分别为。显然这两个解是线性无关的因为是不相同的实数，因此他们构成该欧拉方程的基本解组。例如对于方程，设其有解形如。则代入方程中，可得应满足的代数方程，或解之可以得到，因此该欧拉方程有两个解分别为。11. 当用比较系数法求方程的一个特解时, 可将这个待定系数的特解设为( ). 解答：对应齐方程的特征方程为，三个特征根分别为. 注意到对应着, 而又是对应齐方程的一个一重特征根, 因此我们可以设上述非齐方程的特解有形如:，其中是4个待定常数。12. 对于初值问题, 可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由是( 在整个平面上连续并且关于y满足里普希茨条件 ).解答：在整个平面上连续并且满足里普希茨条件，因为，而由此可知，的里普希茨常数可以取为三、 计算题 (每小题8分, 共48分)13. 求解一阶线性微分方程：.解答：先求解对应齐方程：，分离变量可得：，两边积分： ，或即，整理后得到（C是任意常数）： .再用常数变易法来求解原非齐方程的通解：将常数C变易为函数：，求导：代入到原方程中可以得到：整理后得到由此通过积分可以求得.代入到y的表达式中即得原方程的通解（是任意常数）：.14. 求解一阶微分方程: .解答：记，则注意到，因此方程不是恰当方程，然而我们可以计算因而方程有只与x有关的积分因子，并且该积分因子可以求出为：将该积分因子乘在原方程的两端：.分项组合为或可整理为即，其中，最后我们就得到原方程的通解（C是任意常数）：15. 利用参数法, 求解一阶隐方程: .解答：引入参数，则原方程可以写为：. 将此方程两边对x求导, 可得: .这是一个关于p和x的方程, 且是未知函数p的导数可以解出的一阶常微分方程, 进而还是变量分离型方程. 因此我们将这个方程分离变量: .两边积分: 求出积分可以得到（C是任意常数）: .因此, 将此式和参数的表达式联立, 即得原方程的参数形式解: .16. 利用降阶法, 求解二阶方程: .解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以采取书上降阶法的第二种方法。令, 则.代入到原方程中可将原方程化为如下的一阶方程:.这是一个变量分离型的方程. 如果, 可得是原方程的解, 故不妨假设, 因此可以约掉一个z, 分离变量后有: .两边积分:. 求出两端的积分可得: ,其中是任意常数. 又由, 代入上述方程, 再次分离变量, 在等式两边积分可得原方程的通解(是任意常数).17. 求方程组的一个基解矩阵, 其中.解答：(i) 先求A的特征根. 其特征方程为.因此特征根为. (ii) 再求每个特征根所对应的特征向量: 所对应的特征向量: 只需解齐次线性方程组, 对这个齐次线性方程组的系数矩阵进行行初等变换可以得到: .由此得到的同解方程为, 取为自由未知量, 便知所对应的特征向量可以表示为(C是任意非零常数), 取定一个特征向量为.所对应的特征向量: 对相应的齐线性方程组的系数矩阵进行行初等变换可得: .由此得同解方程为, 类似可得所对应的特征向量为(C是任意非零常数), 取定一个特征向量为.(iii) 根据书上221页的定理10, 基解矩阵可取为: =.18. 求解三阶常系数线性方程: .解答：(i) 先求对应齐方程的通解：对应齐方程的特征方