第七章多元函数.doc

广 东 培 正 学 院GUANGDONG PEI ZHENG COLLEGE课 程 教 案 课程名称：微积分II基础部数学教研室章节名称：7.1空间直角坐标系简介教学目的与要求：了解空间直角坐标系，点的坐标及平面方程教学重点：空间直角坐标系,平面方程教学难点：平面方程教学方法：讲练结合作业安排：P66 一(1)(2) 7.1.1 空间直角坐标系过空间定点作三条互相垂直的以为原点的数轴：、，它们分别称为轴(横轴)、轴(纵轴)、轴(竖轴)，统称为坐标轴它们的顺序按下述右手规则确定：以右手握住轴，让右手的四个手指横轴纵轴竖轴定点从轴正向以角度转向轴正向时，大姆指的指向就是轴的正向这样就构成了一个空间直角坐标系，如图71所示点称为坐标原点(或原点)，每两条坐标轴确定一个平面，称为坐标平面由轴与轴确定的平面称为平面，类似地有平面和平面三个坐标平面将整个空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限含有三个正半轴的那个卦限叫做第卦限，在平面的上方，按逆时针方向确定第、卦限下面的空间部分分别称为第、卦限(图72) 面面面、1 图7-1图7-27.1.2 空间点的坐标设为空间任意一点， 过点分别作垂直于三坐标轴的平面，与坐标轴分别交于、三点(图73)设这三点在轴、轴和轴上的坐标分别为、和则点唯一确定了一个三元有序数组；反之，设给定一组三元有序数组，在轴、轴和轴上分别取点、，使得，然后过三点、分别作垂直于轴、轴和轴的平面，这三个平面相交于点，即由一个三元有序数组唯一地确定了空间的一个点于是，空间的点和三元有序数组之间建立了一一对应的关系，我们称这个三元有序数组为点的坐标，记为，并依次称、和为点的横坐标、纵坐标和竖坐标图73显然，原点的坐标为；轴、轴和轴上点的坐标分别为、；平面、平面和平面上点的坐标分别、B和C71.3 空间两点间的距离设、为空间任意两点，过点各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以为对角线的长方体(图74) 由立体几何知，长方体的对角线的长度的平方等于它的三条棱的长度的平方和，即 （在中，为斜边） （在中，为斜边） （由平行四边形对边相等， ，）由此得空间任意两点间的距离公式： P1P2x OyP NM1M2RQR2R1Q1Q2 图7-4例1 求证以、及为定点的三角形为直角三角形.解 因为 ，所以 以、及为定点的三角形为直角三角形.例2 求点到轴的距离解 过点作轴的垂线，其垂足点的坐标为，所以例3 设点在x轴上，它到点的距离为到点的二倍，求点的坐标.解 由于点在x轴上，所以设的坐标为，依题意知，即 解之，得，故点的坐标为（1，0，0），（1，0，0）.71.4 曲面方程的概念1. 空间曲面方程与在平面解析几何中建立平面曲线与二元方程的对应关系一样，在空间直角坐标系中可以建立空间曲面与三元方程之间的对应关系在空间解析几何中，任何曲面都可看作是空间点的几何轨迹因此，曲面上的所有点都具有共同的性质，这些点的坐标必须满足一定的条件在这样的意义下，如果曲面与三元方程 (1)有下述关系：(i)曲面上任一点的坐标都满足方程(1)；(ii)不在曲面上的点的坐标都不满足方程(1)，那么，方程(1)就称为曲面的方程，而曲面就称为方程(1)的图形(图75)图7-5图7-6yzxM(x,y,z)图6-6例4 求球心在点，半径为的球面方程解 设是球面上任一点(图76)，则有，由两点间距离公式得两边平方，得 (2)这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程，如球内的点到球心的距离小于半径，它的坐标代入方程（2）不等于而是小于；球外的点到球心的距离大于，它的坐标代入方程（2）大于而不是等于所以，方程(2)就是以点为球心、为半径的球面方程特别，若球心在原点，那么，此时球面方程为是球面的上半部分，是球面的下半部分。例5 设动点与两定点、的距离相等，求动点的轨迹方程解 由立体几何知，点的轨迹是线段的垂直平分面，故此平面的方程即为所要求的轨迹方程由于由两点间距离公式，得将等式两边平方，然后化简得 . (3)若点不在线段的垂直平分面上，则，即点的坐标、不满足方程(3)，所以方程(1)是线段的垂直平分面的方程方程(3)关于变量、是一次方程由于任一平面都可以看作是某条线段的垂直平分面，因此，任何一个平面的方程都是三元一次方程 反之三元一次方程也表示一个平面。2.平面方程任意一个三元一次方程都表示一个平面于是，我们把三元一次方程 . (4)称为平面的一般式方程，其中、为常数，且、不同时为零几种特例：（1）若平面通过坐标原点，则，方程(4)变成（2）若平面平行坐标轴：平面轴(图77)，则平面与坐标面相交于直线，点为平面上的任意一点，过M作坐标面的垂线，垂足一定在坐标面的直线上，即的坐标为且满足方程。在空间直角坐标系中，也满足方程，不在平面上的点，在坐标面上的垂足一定不在直线上，这样点的坐标一定不满足方程。故平行轴的平面方程为，即C=0.平面轴，其方程为平面轴，其方程为平面特别的，当平面既平行坐标轴又过原点时即平面穿过坐标轴时，方程分别为：（3）若平面平行坐标面平面xoy面,则，方程或常数。因为平面既平行轴也平行轴，由可知:，.同样，或常数和或常数则分别表示平行于平面和平面的平面例6 求过轴和点的平面方程解 因所求平面通过轴，可设其方程为，又点在此平面上，因此它满足方程，故有，即，代入方程并除以，便得所求平面方程为例7 设一平面通过轴上的三点、（图79），这里、，求这平面的方程图79解 设所求平面方程为，因、三点都在这个平面上，所以点、的坐标都满足该方程，即有由此可得、，因而所求平面方程为此方程称为平面的截距式方程，而、依次称为平面在轴上的截距章节名称：7.1空间直角坐标系简介教学目的与要求：掌握柱面及旋转曲面方程,了解常用二次曲面教学重点：柱面及旋转曲面方程教学难点：截面法教学方法：讲练结合作业安排：二(1)(2)71.4 曲面方程的概念3柱面动直线L沿给定曲线平行移动所形成的曲面称为柱面曲线称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线研究母线平行于轴的直线，准线是平面上的曲线的柱面方程 取柱面上任一点， 过点作直线平行于轴，这直线就是过点的母线，直线上任何点的坐标都相等，只有坐标不同，它与平面的交点必在准线上，点的坐标满足方程，故点的坐标满足方程；反之满足的点一定在过点且平行于轴的母线上，即在柱面上因此方程为同样，仅含的方程表示母线平行于轴的柱面；仅含的方程表示母线平行于轴的柱面yzxxzy图711图710例如，方程表示一个圆柱面，它的准线是平面上的圆，母线平行于轴同理， 方程， 和yzx图712分别表示母线平行于轴的椭圆柱面(图710)，双曲柱面(图711)和抛物柱面(图712)4旋转曲面方程平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，定直线L称为旋转曲面的轴设在平面上有一已知曲线：，将这条曲线绕轴旋转一周，得到一个以轴为轴的旋转曲面(图713)， 下面来求此旋转曲面的方程zyOyzxF（y, z）=0图713设为曲线上的任一点，那么有 当曲线绕轴旋转时，点也绕轴旋转到另一点，这时保持不变，且点到轴的距离为，即得因此，我们得到所求旋转曲面的方程为： (5)同理，曲线绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为例8 将坐标平面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程解 绕轴旋转：将方程中的用代替，得旋转曲面的方程同理，所给双曲线绕轴旋转一周形成的旋转曲面的方程为:这两种曲面都称为旋转双曲面类似地，我们还可以得旋转椭球面和旋转抛物面5常用二次曲面在空间解析几何中把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面其中均为常数，且不全为0。为了了解由三元二次方程所表示的空间曲面的形状，常用坐标平面和平行于坐标平面的平面与空间曲面相截考察其交线(即截痕)的形状，然后加以综合，从而得知曲面的全貌，这种方法叫做截痕法下面我们利用截痕法来讨论几种常用的二次曲面(1) 椭球面由方程 (6)所表示的曲面叫做椭球面，其中为常数且大于零由方程(6)知，故椭球面包含在由平面所围成的长方体内，、叫做椭球面的半轴椭球面(6)与三个坐标平面的交线方程分别为 这些交线都是椭圆椭球面(6)与平行于平面的平面的交线方程为这是平面上的椭圆，当变动时，这族椭圆的中心都在轴上，当由零逐渐增大到时，这族椭圆由大变小最后缩成一点用平面和去截椭球面(6)，可得与上述类似的结果综合以上讨论，可知椭球面(6)的形状如图714所示如果、中有两个相等，曲面就是旋转椭球面；如果，即为球面 图715(a)图714（2） 椭圆抛物面由方程 (与同号) (7)所表示的曲面叫做椭圆抛物面利用截痕法来讨论，其形状如图715所示zxyo图715（b）特别，当时，它表示旋转抛物面（3） 二次锥面由方程（8） 所表示的曲面叫做锥面同样用截痕法来讨论，其形状如图616所示当时，方程(6)变为，它表示平面上的直线绕轴旋转一周所生成的旋转曲面，是一圆锥面图716 单叶双曲面：，(图717). xyo图717 双叶双曲面：，xyo图718 双曲抛物面（马鞍面），(图719)xyzo图718章节名称：7.2 多元函数的基本概念教学目的与要求：掌握多元函数的定义,定义域求法及区域的图像表示教学重点：求定义域及定义域的图像表示教学难点：求定义域及定义域的图像表示教学方法：讲练结合作业安排：P66-68 一(3)(4) 三(1)(5)(6)引例例1 已知长方形的长、宽分别为，则该长方形的面积例2 已知圆柱体的底半径为，高为，则圆柱体的体积例3 长方体的长、宽、高为， 则长方体的体积以上三例中的面积，体积依赖于二个以上变量的取值。7.2.1 平面区域的概念及其解析表示1邻域邻域：设P0（x0，y0）是xoy平面上的一定点， 为某个正数，点集，称为P0点的邻域，记做：，简记，即在几何上，就是平面上以点P0（x0，y0）为中心，以为半径的圆盘（不包括圆周）中去掉点P0（x0，y0）后所剩部分，称为点P0（x0，y0）的去心邻域，记为或，即 2. 区域内点：设D是xoy平面上的一点集，若存在，使得P0的邻域，则称P0为D的内点（图721）。边界点：设D是xoy平面上的一点集，点P，在P的任何邻域内，都含有点集D的点，又含有不是点集D的点，则称点P为点集D的边界点。D的边界点全体称为D的边界，例如：点集如图721所示，满足中每一点都是D的内点；满足的点均为D的边界点，它们都属于D;满足的点也为D的边界点，它们都不属于D。D的边界是圆周和。开集：如果点集D内任意一点均为D的内点，则称D为开集。如内每一点都是内点，因此为开集。如果对于D中任意两点和，总存在D中的折线把与连接起来，则称D是连通的。区域：连通的开集称为区域或开区域。例如和都是区域。开区域连同它的边界一起，称为闭区域，例如和都是闭区域。有界集与无界集：如果存在常数，使得对所有点，都有，则称D为有界集，否则称为无界集。例如是无界集，是有界集。设n为取定的一个自然数，我们称有序数组的全体为n维空间，而每个有序n元数组称为n维空间中的一个点，数称为该点的第i个坐标。n维空间记为。 n维空间中两点及间的距离定义为容易验知，当时，上式便是数轴、平面、空间内两点间的距离。关于平面点集的有关概念，可推广到n维空间中去。例4 画出以下区域：（1）（有界闭区域）（图722）;（2）1（无界开区域）（图723）xyy+x=1O1x1图7-22O21图7-23y7.2.2 多元函数的概念1多元函数的定义定义3 设D是平面上的一个非空点集，如果对于每个点P(x，y)D，按照某种法则，都有唯一确定的实数z与之对应，则称是D上的二元函数，(或点P的函数)，记为 (或z = f (P)x、y称为自变量，z称为因变量点集D称为该函数的定义域，数集 z|z = f (x, y)，(x,y)D称为该函数的值域函数也可以记为等等。类似地可以定义三元函数u=f(x, y, z)和更多元的函数二元及二元以上的函数叫多元函数一般地, n元函数u=f (x1, x2, , xn) (或简记为u =f (P)的定义域是n维空间的点集多元函数定义域的求法和一元函数定义域的求法类似，给定一个多元函数，则其定义域也相应给定。如果多元函数是由实际问题得到的，则该函数的自变量的取值范围要符合实际情况。如若给定的函数是解析式，它的定义域就是使解析式中的运算有意义的自变量取值全体，此定义域称为自然定义域。例5 求下列函数的定义域，并在平面上表示出来：（1） （2）（3）解 （1）函数的定义域为： 且 在平面上它表示无界开区域（图724）（2）要使函数有意义，变量x, y必须满足 且 0即 在平面上它表示条型区域（图7-25）（3）函数的定义域为： 且 （图7-26）类似可知，三元函数的定义域是空间区域而更多元的函数的定义域只能用不等式来表示，不能用几何图形去解释xyy+x=0图7-25O2xy图7-24O-2y=x 图 7-26章节名称：7.2 多元函数的基本概念教学目的与要求：了解二元函数的几何意义会算简单的二元函数极限,掌握二元函数连续的定义教学重点：二元函数的极限及连续性教学难点：二元函数的极限及连续性教学方法：讲练结合作业安排：三(7)(10)/1,2,3,42二元函数的几何意义设二元函数z = f (x, y) 的定义域为D，对于任意取定的点P(x, y)D，对应的函数值为z = f (x, y)以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标，在空间确定了一个点M (x, y, z)，当点(x, y)在D上变化且取遍D上的一切点时，一般地，动点M (x, y, z)在空间移动形成一张曲面，称为函数z = f (x, y)的图形（图7-27） 图7-27例7 指出下列二元函数对应的空间曲面：（1）z = 3x2y; （2）解 （1）过原点的平面（2）在xoy面下方以原点为圆心，1为半径的半球面7.2.3 二元函数的极限与连续1二元函数的极限函数的极限是研究当自变量作某种变化时，函数值的变化趋势类似于一元函数的极限，我们考虑当动点P(x, y)趋于定点时，函数z = f(x, y)的变化趋势我们用、来刻划点P(x, y)定义4 设二元函数z = f (x, y)在点的某邻域（点可除外）有定义若当点P(x, y)时，对应的函数值f (x, y) 无限接近于常数A，则称A为函数f (x, y)当、时的极限，记作 （1）或令，将上式记为等价形式 （2）注意 动点P(x, y)在平面上是以如何方式趋于定点的，如沿射线、沿曲线、沿点列等等这比一元函数极限中只有左侧和右侧两种方式趋近要复杂得多，因而二元函数的极限一般较一元函数难计算不过，二元函数的极限有与一元函数极限相同的四则运算法则.例8 求解 利用极限的四则运算法则和两个重要极限可得例9 求.解 因为而 ，由夹逼定理，知0.例 10求 解 当点P(x, y)沿直线y = kx趋于O(0,0)时， 当k取不同数值时，上式的值不一样说明当动点P(x, y)沿不同方向趋于O(0,0)时，函数有不同的极限，因而原极限不存在2二元函数的连续性定义5 设函数z = f (x, y)在点的某邻域有定义，若 , （2）则称函数f (x, y)在点连续若f (x, y)在区域D上每点都连续，则称f (x, y)为区域D上的连续函数函数不连续的点称为函数的间断点例如：由例9知，在（0，0）点处连续。由例10可知，函数f (x, y) =在点O(0,0)间断函数f (x, y)在间断点 处可以没有定义。另外，不但可以有间断点，有时间断点还能形成一条曲线，我们称这曲线为间断线。例如：为函数的间断线。二元连续函数有与一元连续函数相类似的运算性质例如：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续和连续函数等。由和的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 与一元初等函数类似，一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.例11 求解 由于的定义域为D:，点（0，）,则在点（0，）是连续的，故最后我们列举有界闭区域上二元连续函数的性质，这些性质分别与有界闭区间上一元连续函数的性质相对应。性质 1 （有界性定理）在有界闭区域D上连续的函数在D上是有界的.性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值性质2（介值定理）在有界闭区域D上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最小值之间的任何数值章节名称：7.3 偏导数教学目的与要求：掌握偏导数的定义，偏导数的计算，高阶偏导数的计算教学重点：偏导数的计算教学难点：偏导数的定义教学方法：讲练结合作业安排：P68 11 12 13 14 17/1 7.3.1偏导数的定义定义1 设函数z = f (x, y)在点的某邻域有定义，固定y =，若极限存在，则称此极限值为函数z = f (x, y)在点处对变量x的偏导数，记作, 或即 （1）类似地，函数z = f (x, y)在点处对变量y的偏导数定义为 （2）常记作，或由偏导数的定义可以看到，实际上就是，把看成常数，函数对x的导数在的值；同样地，实际上就是，把x看成常数，函数对的导数在的值。例 1 求在点（1，2）处的偏导数，.解 我们把取为常数2，函数对求导：或 ；我们把取成常数1，函数对求导：或 当函数z = f (x, y)在区域D内每一点都存在对x和y的偏导数时，这些偏导数仍然是x和y的函数，这样的两个新函数称为f (x, y)对x和y的偏导函数，简称偏导数分别记为或fx(x , y)；或fy(x , y)特别注意：是一个整体记号，不可以拆分。更多元的函数可以类似地定义偏导数即对一个自变量求偏导时，只要把其它自变量都当成常数，对该变量求导即可因此, 一元函数的求导公式和导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数7.3.2偏导数的计算 例2 求在（0，1）处的偏导数.解 把y看成常量，对x求导，得 把x看成常量，对y求导，得例3 设z = x3 + 2x2y + yex，求zx(0,1)，zy(2,1)解 把看成常量，对x求导，得zx = 3x2 + 4xy +yex， 把x看成常量，对y求导得zy = 2x2 +ex故zx(0, 1) = 0 + 0 + 1 = 1, zy(2, 1) = 8 + e2例4 求z = xy (x0)的偏导数解 把y看成常量，对x求导，得把x看成常量，对y求导得例5 设柱体的体积，其中r为柱体底面半径，h 为柱体的高，求，.解 将代入上式，得，说明：当r=2,h=3时，如果高保持h=3不变，半径增加1个单位，柱体体积将近似增加立方单位。如果高保持r=2不变，高增加1个单位，柱体体积将近似增加立方单位。例6 设求f (x , y)在原点的两个偏导数解 这不是初等函数，求f (x , y)在原点的两个偏导数时，必须用偏导数的定义。由偏导数的定义式（1）可得 故 0 由对称性，知 fy(0 , 0) = 0注意到： 由7.2.3例10知，上述例7的函数f (x , y)在原点是间断的，由此可以看出偏导数存在时，多元函数不一定连续这与一元函数可导必连续是不同的。于是有偏导数存在和函数连续的关系 7.3.3偏导数的几何意义二元函数z = f (x, y)在点(,)处关于x的偏导数就是一元函数z = f(x, )在处的导数由于当y =时，曲面z = f (x, y)与平面y =相交成一条交线，根据导数的几何意义可知：就是这条交线在点处的切线于x轴夹角的余弦斜率(如图728)，即 = tan同理，是曲面z = f(x, y)与平面x =的交线在点处的切线关于y轴的斜率(如图7-28)，即 = tan7287.3.4高阶偏导数 二元函数z = f (x, y)的偏导数fx(x , y)、fy(x , y)仍是x、y的二元函数，它们同样可以对x和y求偏导数记或fxx；或fxy；或fyx；或fyy ,称为z = f (x, y)的二阶偏导数其中fxy和fyx称为混合偏导数注意： 一般情况下，fxy与fyx不是同一个函数但可证明如下结论： 定理1 如果函数z = f (x, y)的两个混合偏导数在区域D上都连续，则在D上有换言之，混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关 例8 求的二阶偏导数.解 ，例9 设，求解 代入，得=.章节名称：7.4 全微分及应用教学目的与要求：了解全微分的定义，全微分与偏导数的关系，应用全微分求近似值教学重点：全微分定义及计算教学难点：全微分定义教学方法：讲练结合作业安排：P68 18 22 23 24/1 257.4.1全微分的概念在第三章中我们讨论了一元函数y=f (x)的微分dy =dx它是函数增量y = f (x+x)f (x)的线性主部类似地可以建立多元函数微分的概念 设矩形的长和宽分别用x、y表示，则此矩形的面积为s = xy若测量x、y时所产生的误差为x、y，那么该矩形面积的误差s = (x +x)(y +y)xy = yx+ xy+xy右端包含两部分，一部分是yx+ xy（图729），它是x、y的线性函数另xxyyxyxyyx图729一部分是xy，当0时，它是比高阶的无穷小如果用yx+ xy作s的近似量，则其差是比高阶的无穷小且在此近似量中x的系数为，y的系数为 它与(1)式的结构基本一致自然提出这样的问题：一般二元函数当自变量，有改变量x、y时，其增量是否可以表示为其中A、B是与无关的量，是当0时，高阶的无穷小，而A、B是否与、 有关呢？定义1 设函数z = f (x, y)在点(x, y)可导，若函数在此点的改变量（全增量） z = f(x+x, y+y) f(x, y) (2)可以表示为z = Ax +By + o() (3)其中A、B不依赖x、y 而仅与x、y有关，表示0时的高阶无穷小，则称函数z = f (x, y)在点(x, y)可微分，而Ax +By 称为函数z = f (x, y) 在点(x, y)的全微分，记作dz,即dz =Ax +By (4) 若函数z = f(x, y)在区域D上处处可微，则称f(x, y)为区域D上的可微函数 7.4.2 全微分的性质在7.3.2中我们看到，多元函数在某点的各个偏导数即使存在，也不能保证函数在该点连续. 二元函数的可微性与连续性及偏导数之间，是否有关呢？ 定理1 若函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微，则它在点(x, y)必连续证 由于f (x, y)在点(x, y)可微，故(3)成立，在(3)式两端令x0，y0取极限，注意到在定点(x, y)处， A、 B均为常数，立得以（2）式代入上式，即得故f (x, y)在点(x, y)连续定理2 (必要条件) 若函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微，则该函数在点(x, y)的偏导数，必定存在，且函数z = f (x, y)在点(x, y) 全微分为. （5）证 设函数z = f (x, y)在点P(x, y) 可微。于是，对于点P的某个领域内的任意一点，（3）式总成立.特别当时（3）式也应成立，这时，所以（3）式成为z = f(x+x, y) f(x, y)=Ax+.上式两边各除以x，再令x0而取极限，就得，从而偏导数存在，且等于A。同样可证B.所以（5）式成立.证毕.我们知道，一元函数可微与可导的条件等价但这种等价性对多元函数是不成立的例如，函数 在原点O(0，0)处有fx(0, 0)0，fy(0, 0)0，所以z fx(0, 0) x + fy(0, 0) y=如果考虑点沿着直线y=x趋于(0,0)，则，它不能随0而趋于0，这表示0时z fx(0, 0) x + fy(0, 0) y并不是较高阶的无穷小，因此函数在点O(0，0)处的全微分不存在，即函数在点O(0，0)处不可微.由定理2及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件.但是，如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的.习惯上，自变量的增量x、y常写成，并分别称为自变量的微分。这样，函数z = f (x, y)的全微分也可写成为定理3（充分条件） 若函数z = f (x, y)的两个偏导数，在点(x, y)都连续，则函数在该点必可微 注 二元函数全微分的概念与性质，可类似地推广到更多元的函数例如，若三元函数u = f (x, y, z)的各个偏导数都连续，则u的全微分du = fx(x, y, z)dx + fy(x, y, z)dy + fz(x, y, z)dz (5)它是全增量u = f(x+x, y+y，z +z) f(x, y, z)的主要部分这里dx=x，dy=y，dz=z多元函数连续、可导、可微的关系：偏导数连续函数一定可微；可微一定可导；可微一定连续；其它则未必。 连续偏导数存在连续 可微例1 设z = x2 + y2, 求此函数在点(-1, 1)处当x = 001，y = 002时的全增量和全微分解 取x = 1，y = 1，x =dx=001，y = dy=002，则 dz|(1, 1) = 2xdx + 2ydy = 2(1)001 +21002 = 002例2 求函数的全微分dz解 ,由此得例3 求函数u = x + sin2y + eyz的全微分du解，故7.4.3全微分在近似计算中的应用如果函数z = f (x, y)在点(x, y)可微，则f (x, y)的全增量z与全微分dz之差是的高阶无穷小, 所以当|x|、|y|都很小时，全增量可以近似地用全微分代替即 z dz = fx(x, y)x + fy(x, y)y （6）以（2）式代入上式得 f (x+x, y+y) f (x, y) + fx (x, y)x + fy (x, y)y （7）这是二元函数的全微分近似计算公式 例4 一个圆柱形铁筒的内半径为5cm，内高为12cm，壁厚01cm，估计制造这个铁筒所需要的材料的体积大约是多少(包括上、下底)解 圆柱体体积为v =r2h，铁筒所需材料的体积为因为r = 01, h = 02都比较小，所以可用全微分dv近似代替v即取r = 5, h = 12, 得cm3故所需材料的体积约为534cm3例5 计算（104）202的近似值 解 求解本题的关键是选取函数f (x, y)，由于可以表示为形式，故设函数取x = 1, y = 2, x = 004, y = 002, 则有fx(x, y) = yxy1, fy(x, y) = xylnxf (1, 2) = 1， fx (1, 2) = 2, fy (1, 2) = 0由公式（7）得 1 + 2004 + 0002 = 108章节名称：7.5 多元复合函数的求导法则教学目的与要求：掌握多元复合函数的求导法则教学重点：链式法则教学难点：链式法则教学方法：讲练结合作业安排：P69 28,29,307.5.1 复合函数的中间变量均为二元函数的情形定理1 设函数u =(x, y)、v =(x, y)在点(x，y)有偏导数，函数z = f (u, v)在对应点(u, v)处可微，则复合函数z = f (x, y),(x, y)在点(x，y)的偏导数存在，且 证 当x有改变量x、而y保持不变时，分别有改变量xu、xv(称为偏改变)，而xu、xv又使z产生偏改变量xz，由于z = f (u, v)在点(u, v)可微，故有 （3）其中，且.由此有 （4）由于关于的偏导数存在，所以当不变时，关于是连续的，由连续函数的定义，当x0时，从而，得，所以 由（4）式知，故 同理可证例1 设求 解 u xz v y链式图（c）例2 设，求解 设 ，则例3 设求解 令u = x2y2, v = ln(xy), 则 7.5.2 复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形特别地，（1）取定理二 设函数对x的导数存在，函数z = f (u, v)在对应点(u, v)可微，复合函数为x的一元函数，则z对x的导数存在，且 （4） uz x v相应的链示图 例4 设z =2 euv, 而u = sinx, v = x3, 求解 （2）取定理三 设z = f (u)对u可导, u = u(x，y)在点(x,y)可微，则复合函数z = f (u(x,y)在点(x,y)偏导数存在,且 （4）链示图如下: xz u y例5 设z = arctan(xy2),求解 设u=xy2, z=arctanu, ，章节名称：7.5 多元复合函数的求导法则教学目的与要求：掌握多元复合函数的求导法则教学重点：链式法则教学难点：链式法则教学方法：讲练结合作业安排：P69 31 32 33 34定理四：设函数， ，在点（x，y）处有偏导数，函数，则：函数在点（x，y）处也有偏导数。且：为表达简便起见，引入记号如下：，等等。、又可表示为注意： 是二元函数关于x的偏导数。而是四元函数关于x的偏导数。多元函数的复合形式是千变万化的，只有掌握了其中的链式关系，多元复合函数的求导或偏导问题实际是容易解决的。如：，则函数的链式关系为 yz x实际上最终是的一元函数，变量是中间变量，中的既是中间变量又是自变量，而中的是自变量。的全导数为例6 设z = arctan(xy), y = ex,求解 设，则。故是求全导数，不能将y当常数由链式法则zuxy而，例7 设，求，。 z12yx解 同理：.例8 设，而，求全导数. uvtz链式图解 uxyzxywx例9 ，其中有连续的导数或者偏导数。求. 解 令，则 又因为，则： 例10 设，具有二阶连续偏导数，求和.解 令 则为表达简便起见，引入以下记号：这里下标1表示对第一个变量求偏导数，下标2表示对第二个下标求偏导数。同理有等等。因所给函数由及复合而成，链式图如下：wuvxyz 有求及时，应注意，仍是复合函数，即uvxyz由具有二阶连续偏导数，知。于是 例1uxyzxy1 ，求 解： =uxyzxy =7.5.3 全微分形式不变性设函数具有连续偏导数，则有全微分如果又是的函数、，且这两个函数也具有连续偏导数，则有其中及分别由公式（1）、（2）给出，把公式（1）、（2）中的及代入上式，得由此可见，无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式的不变性。 例12 利用全微分形式不变性解例5.解 dz = darctan(xy2)将它和公式比较，就可同时得到两个偏导数, 其结果与例5一致。例13 已知，求和.解 对式子两边求微分，得解: （）故 章节名称：7.6 隐函数的求导教学目的与要求：掌握二元函数的隐函数求导法则教学重点：隐函数求导法则教学难点：隐函数求导法则教学方法：讲练结合作业安排：P69 39, 40 41 42 43在3.4.1中，我们提出了隐函数的概念，并曾指出不经过显化而直接由方程F(x, y) = 0 (1)求出它所确定的隐函数导数的方法但是，形如(1)的方程并不一定都能确定一个一元函数, 例如：方程x2 + y2 + 4 = 0就无法确定一个隐函数由此可知，前面讲过的隐函数微分法，要在(1)能确定一个一元函数y = f (x)、且这个函数是可导的前提下才能进行现在我们来考虑方程(1)在什么条件下能确定可导的隐函数y = f (x)，并给出求导数的一个简单公式定理1(隐函数存在定理) 设函数F(x, y)在点的某邻域内具有连续的偏导数，且F= 0， Fy0，则方程(1)在点的某邻域内能唯一确定一个单值的具有连续导数的函数y = f (x)，它满足条件=，且有 (2)上述定理的证明从略。仅说明公式（2） 成立若将函数y = f (x)代入方程（1）便得到恒等式F(x, f(x) 0 （3）由函数F(x, y)的可微性，在方程(3)两边对x求导，由于y是x的函数，由链式法则有由于Fy 0，故由上式可得公式(2)例1 设方程xy + x + y = 1确定y为x的隐函数，求解法一、 令F(x, y) = xy + x + y1，则 Fx = y + 1, Fy = x + 1,故当x1时，有（） 定理2(隐函数存在定理) 设函数F(x, y, z)在点的某邻域内具有连续的偏导数，且F = 0， Fz0，则方程(3)在点的某邻域内能惟一确定一个单值的具有连续偏导数的二元函数 z = f (x, y)，它满足条件，且有 (4)这个定理我们不证由于对自变量x求偏导数时y当作常数，由上一定理的结论可以看出（4）式成立，只要注意导数记号改用偏导数记号就行了例2 设zx = yz确定z为x、y的函数, 求全微分dz解 令F(x, y, z) = zx yz，则有 Fx = zx lnz, Fy = zyz1 , Fz = xzx1yzlny，例3 设x + z = yf (x2z2)，其中f有连续导数，证明解 令F(x, y, z) = x + z yf (x2z2)，则Fx =这里表示函数对中间变量求导，Fy = f (x2 z2) = f ，Fz = = ,故， （）因此例4 设确定z为x、y的隐函数，求解法一 令F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 4z, 则Fx =