大庆师范学院数学与应用数学初等数论试题2答案.doc

院： 专业： 班级： 姓名： 学号： -装-订-线-大庆师范学院20122013学年第二学期初等数论期末试卷 题号一二三四五总分核分人得分大庆师范学院2010级数学与应用数学专业初等数论期末试卷标准答案及评分细则-得分阅卷人一、填空题（每小题2分，共20分）1 已知正整数与1512的乘积是一个完全平方数，则的最小值是_42_2同余式的解是_ x4,9(mod10)_3分数，中必为既约分数的是_4= 96_ 5设，则最小的正整数=_6_6完全平方数关于模11的最小非负剩余只能是_0,1,3,4,5,97的全部正整数解是_.8= 1 9设是标准分解式，则10一次同余式有解的充要条件是，且解的个数为_得分阅卷人二、判断题（每小题2分，共10分）1 当时， =-1 （ ）2 集合不是模6的一个完全剩余系 （ ）3875935872（ ），要使这个乘积的最后四个数都是零，（ ）内最小应填什么自然数2 （ ） 4成立 （ ）5分数可以化成混循环小数 （ ）得分阅卷人三、单项选择题: （每小题2分，共14分）1500!的标准分解式中7的幂指数是（ D ）A 79； B 80； C 81； D 822以下各组数中，成为模10的简化剩余系的是（ D ）A1，9，3，11； B1，1，7，9； C5，7，11，13；D.1，1，3，33所有正约数的个数为21的正整数中最小的一个是( B ) A16； B576； C2916；D3604m，n为整数，下列式子一定不可能成立的是( C ) A ； B； C ； D5模7的平方剩余为( C ) A 1，2，3，4，5，6；B1，2，3； C1，2，4； D4，5，66下列同余式组无公根的是( B ) A；B；C；D7417被15除后所得余数是 ( D )A.33 ； B.27 ； C.3 ； D. 12 .得分阅卷人四、计算题（共38分）1 求除以19的余数（6分） 解： =1，=18，1（mod19）-2分=916（mod19）-2分除以19的余数为16-2分2 用二数余一，用五数余三，用七数余二，用九数余三，问本数（8分）解：设本数为，根据题意有，2，5，7，9两两互质，可用孙子定理求解-2分，；-2分由3151(2)，得=1；由1261(5)，得=1；由901(7)，得=6；由701(9)，得=4-2分 315111261390627043261393(630)本数为93630-2分3 求下列不定方程组的正整数解：（8分）. 解：消去得，-2分 通解为， 代入（1）中得， 此方程组通解为-2分令得 t ， =1-2分 原方程组的正整数解为-2分4 求以3为平方剩余的质数的一般表达式（8分）解：=1，或，-2分解得或，-2分即1（12）或1（12）-2分=时，3为模的平方剩余-2分5 求解同余方程：（8分）解：原方程等价于，-2分经验证可知（1）的解为，（2）的解为-2分下面解同余式组，利用孙子定理可知，-2分所以原同余方程的解为-2分得分阅卷人五、证明题（每小题9分，共18分） 1 如果二元一次不定方程（1）有整数解，并且，那么此方程的一切解可以表示成（是整数）（2）证明：先证（2）是（1）的解因为是（1）的解，所以（3）-1分将（2）代入（1），有所以（2）是（1）的解-2分下面证明（2）包含了（1）的全部解设是（1）的任一解，则（4）（4）（3）得从而有.因为，所以 （5）-2分根据，可知由此推出（是整数），即 -2分从而有，所以，即（是整数）.这表明（1）的任一解均可表成（2）的形式-2分2 设都是奇数，证明方程无有理根证明：假设方程有有理根，令其为（），则一奇一偶或同奇 是根，即-3分(1) 若同奇，均为奇数，均为奇数，而0是偶数，此时