九年级数学上册圆专题--辅助线

第 1 页 共 5 页 O C B A 圆 专题一 辅助线 1 遇到弦时 解决有关弦的问题时 常常添加弦心距 或者作垂直于弦的半径 或直径 或再连结过弦的端点的半径 或者连结圆心和 弦的两个端点 构成等腰三角形 还可连结圆周上一点和弦的两个端点 作用 1 利用垂径定理 2 利用圆心角及其所对的弧 弦和弦心距之间的关系 3 利用弦的一半 弦心距和半径组成直角三角形 根据勾股定理求有关量 4 可得等腰三角形 5 据圆周角的性质可得相等的圆周角 例 如图 是 O 的直径 PO AB 交 O 于 P 点 弦 PN 与 AB 相交于点 M 求证 PM PN 2PO2 分析 要证明 PM PN 2PO2 即证明 PM PC PO2 过 O 点作 OC PN 于 C 根据垂经定理 NC PC 只需证明 PM PC PO2 要证明 PM PC PO2只需证明 Rt POC Rt PMO 证明 过圆心 O 作 OC PN 于 C PC PN 2 1 PO AB OC PN MOP OCP 90 又 OPC MPO Rt POC Rt PMO 即 PO2 PM PC PO2 PM PN PM PN 2PO2 PO PC PM PO 2 1 例例 1 如图 已知 ABC 内接于 O A 45 BC 2 求 O 的面积 例例 2 如图 O 的直径为 10 弦 AB 8 P 是弦 AB 上一个动点 那么 OP 的长的取值范围是 例例 3 如图 弦 AB 的长等于 O 的半径 点 C 在弧 AMB 上 则 C 的度数是 第 2 页 共 5 页 O C B A O C B A 2 遇到有直径时 常常添加 画 直径所对的圆周角 作用 利用圆周角的性质 得到直角或直角三角形 例 如图 在 ABC 中 C 90 以 BC 上一点 O 为圆心 以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M 交 BC 于点 N 1 求证 BA BM BC BN 2 如果 CM 是 O 的切线 N 为 OC 的中点 当 AC 3 时 求 AB 的值 分析 要证 BA BM BC BN 需证 ACB NMB 而 C 90 所以需要 NMB 中有个直角 而 BN 是圆 O 的直径 所以连结 MN 可得 BMN 90 1 证明 连结 MN 则 BMN 90 ACB ACB NMB BN AB BM BC AB BM BC BN 2 解 连结 OM 则 OMC 90 N 为 OC 中点 MN ON OM MON 60 OM OB B MON 30 2 1 ACB 90 AB 2AC 2 3 6 例例 4 如图 AB 是 O 的直径 AB 4 弦 BC 2 B 3 遇到 90 的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点 作用 利用圆周角的性质 可得到直径 例例 5 如图 AB AC 是 O 的的两条弦 BAC 90 AB 6 AC 8 O 的半径是 5 遇到有切线时 1 常常添加过切点的半径 连结圆心和切点 2 常常添加连结圆上一点和切点 作用 1 可构成弦切角 从而利用弦切角定理 2 利用切线的性质定理可得 OA AB 得到直角或直角三角形 B M NO C A 第 3 页 共 5 页 例例 6 如图 AB 是 O 的直径 弦 AC 与 AB 成 30 角 CD 与 O 切于 C 交 AB 的延长线于 D 求证 AC CD 6 遇到证明某一直线是圆的切线时 切线判定分两种 公共点未知作垂线 公共点已知作半径切线判定分两种 公共点未知作垂线 公共点已知作半径 切线的判定定理是 切线的判定定理是 经过半径的外端经过半径的外端 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 就是说 要判定一条 就是说 要判定一条 直线是否是切线 应同时满足这样的两条 直线是否是切线 应同时满足这样的两条 1 直线经过半径的外端 直线经过半径的外端 2 直线垂直于这条半径 所以 直线垂直于这条半径 所以 在证明直线是切线时在证明直线是切线时 往往需要通过作恰当的辅助线往往需要通过作恰当的辅助线 才能顺利地解决问题才能顺利地解决问题 下面是添辅助线的小规律下面是添辅助线的小规律 1 无点作垂线 无点作垂线 需证明的切线 条件中未告之与圆有交点 则联想切线的定义 过圆心作该直线的垂线 证明垂足到圆需证明的切线 条件中未告之与圆有交点 则联想切线的定义 过圆心作该直线的垂线 证明垂足到圆 心的距离等于半径心的距离等于半径 例 7 已知 如图 AB 是 O 的直径 AD AB 于 A BC AB 于 B 若 DOC 90 求证 DC 是 O 的切线 分析 DC 与 O 没有交点 无点作垂线 过圆心 O 作 OE DC 只需证 OE 等于圆的半径 因为 AO 为 半径 若能证 OE OA 即可 而 OE OA 在 DEO DAO 中 需证明 DEO DAO 证明 作 OE DC 于 E 点 取 DC 的中点 F 连结 OF 又 DOC 90 FO FD 1 3 AD AB BC AB BC AD OF 为梯形的中位线 OF AD 2 3 1 2 DO 是 ADE 的角平分线 OA DA OE DC OA OE 圆的半径 DC 是 O 的切线 2 有点连圆心 有点连圆心 当直线和圆的公共点已知时 联想切线的判定定理 只要将该点与圆心连结 再证明该半径与直线垂直当直线和圆的公共点已知时 联想切线的判定定理 只要将该点与圆心连结 再证明该半径与直线垂直 例 8 已知 如图 AB 为 O 的直径 BC 为 O 的切线 切点为 B OC 平行于弦 AD 求证 CD 是 O 的切线 分析 D 在 O 上 有点连圆心 连结 DO 证明 DO DC 即可 证明 连结 DO OC AD DAO COB ADO DOC 而 DAO ADO DOC COB 又 OC OC DO BO DOC BOC ODC OBC BC 为 O 的切线 切点为 B OBC 90 ODC 90 又 D 在 O 上 CD 是 O 的切线 例例 7 7 如图所示 已知 AB 是 O 的直径 AC L 于 C BD L 于 D 且 AC BD AB 求证 直线 L 与 O 相切 第 4 页 共 5 页 例例 8 8 如图 ABO 中 OA OB 以 O 为圆心的圆经过 AB 中点 C 且分别交 OA OB 于点 E F 求证 AB 是 O 切线 7 遇到两相交切线时 切线长 常常连结切点和圆心 连结圆心和圆外的一点 连结两切点 作用 据切线长及其它性质 可得到 角 线段的等量关系 垂直关系 全等 相似三角形 例例 9 如图 P 是 O 外一点 PA PB 分别和 O 切于 A B C 是弧 AB 上 任意一点 过 C 作 O 的切线分别交 PA PB 于 D E 若 PDE 的周 长为 12 则 PA 长为 8 遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点 或过内心作三角形各边的垂线段 作用 利用内心的性质 可得 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线 内心到三角形三条边的距离相等 例例 1010 如图 ABC 中 A 45 I 是内心 则 BIC 例例 11 如图 Rt ABC 中 AC 8 BC 6 C 90 I 分别切 AC BC AB 于 D E F 求 Rt ABC 的内心 I 与外心 O 之间的距离 9 遇到三角形的外接圆时 连结外心和各顶点 作用 外心到三角形各顶点的距离相等 课后冲浪课后冲浪 1 已知 P 是 O 外一点 PB PD 分别交 O 于 A B 和 C D 且 AB CD 求证 PO 平分 BPD 2 如图 ABC 中 C 90 圆 O 分别与 AC BC 相切于 M N 点 O 在 AB 上 如果 AO 15 BO 10 求圆 O 的半径 A B C D E P O A C B M N o B A D C PO 第 5 页 共 5 页 3 已知 ABCD 的对角线 AC BD 交于 O 点 BC 切 O 于 E 点 求证 AD 也和 O 相切 A B C D O E 4 如图 学校 A 附近有一公路 MN 一拖拉机从 P 点出发向 PN 方向行驶 已知 NPA 30 AP 160 米 假使拖拉机行使时 A 周围 100 米以内受到噪音影响 问 当拖拉机向 PN 方向行驶时 学校是否会受到噪音 影响 请说明理由 如果拖拉机速度为 18 千米 小时 则受噪音影响的时间是多少秒 5 如图 A 是半径为 1 的圆 O 外的一点 OA 2 AB 是圆 O 的切线 B 是切点 弦 BC OA 连结 AC 求阴 影部分的面积 C A O B 我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀