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多种插值法比较与应用（一）Lagrange插值1 Lagrange插值基函数n+1个n次多项式 称为Lagrange插值基函数2 Lagrange插值多项式设给定n+1个互异点，满足插值条件，的n次多项式为Lagrange插值多项式，称 为插值余项，其中（二）Newton插值 1差商的定义 关于的零阶差商 关于，的一阶差商 依次类推，关于，的k阶差商 2 Newton插值多项式设给定的n+1个互异点，称满足条件 ，的n次多项式为Newton插值多项式，称为插值余项。（三）Hermite插值设，已知互异点，及所对应的函数值为，导数值为，则满足条件 的次Hermite插值多项式为 其中 称为Hermite插值基函数，是Lagrange插值基函数，若，插值误差为，（四）分段插值设在区间上给定n+1个插值节点 和相应的函数值，求作一个插值函数，具有性质 （）。在每个小区间内 （）上是线性函数。（五）样条插值 设在区间上取n+1个节点 给定这些点的函数值。若函数满足条件：，；在每个区间（）上是3次多项式；取下列边界条件之一：（）第一边界条件：，（）第二边界条件：，或（）周期边界条件：，称为3次样条插值函数。 （六）有理插值设在区间上给定n+m+1个互异节点 ，上的函数值，构造一个有理插值 ，满足条件：，则称为点集，上的有理插值函数。 例1设，为n+1个互异的插值节点，为Lagrange插值基函数，证明 证 考虑，利用Lagrange插值余项定理显然 。利用Lagrange基函数插值公式，有 例2 给出下列表格：00.20.40.60.81.000.199560.396160.588130.772100.94608对于正弦积分 ，当时，求的值。解 利用反插值计算线性插值，取，。 ， 。2次插值，取 ， ， 。故值约为0.456。例3 取节点，对函数建立线性插值。解 先构造，两点的线性插值多项式。因为011（1）Lagrange型插值多项式构造和的一次插值基函数，这样就容易得到（2）Newton型插值多项式因为，所以例4 根据函数的数据表0.400.500.700.80-0.916291-0.693147-0.356675-0.2231442.5000002.0000001.4285711.250000运用Hermite插值计算。解 ，首先构造Hermite插值基函数，。然后利用Hermite插值公式写出 直接计算得 ，. .事实上，另外 ，.例5 判断下面的函数是否是3次样条函数：解 在上连续，在上连续；在上连续
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