等比数列的前n项和(二)

等比数列的前n项和（二）学习目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题知识点一等比数列的前n项和的变式1等比数列an的前n项和为Sn，当公比q1时，Sn；当q1时，Snna1.2当公比q1时，等比数列的前n项和公式是Sn，它可以变形为Snqn，设A，上式可写成SnAqnA.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数当公比q1时，因为a10，所以Snna1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)思考在数列an中，an1can(c为非零常数)且前n项和Sn3n1k，则实数k等于_答案解析由题an是等比数列，3n的系数与常数项互为相反数，而3n的系数为，k.知识点二等比数列前n项和的性质1连续m项的和(如Sm、S2mSm、S3mS2m)仍构成等比数列(注意：q1或m为奇数)2SmnSmqmSn(q为数列an的公比)3若an是项数为偶数、公比为q的等比数列，则q.思考在等比数列an中，若a1a220，a3a440，则S6等于()A140 B120C210 D520答案A解析S220，S4S240，S6S480，S6S480S24080140.题型一等比数列前n项和的性质例1(1)等比数列an中，S27，S691，则S4_.(2)等比数列an共有2n项，其和为240，且(a1a3a2n1)(a2a4a2n)80，则公比q_.答案(1)28(2)2解析(1)数列an是等比数列，S2，S4S2，S6S4也是等比数列，即7，S47,91S4也是等比数列，(S47)27(91S4)，解得S428或S421.又S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)0，S428.(2)由题S奇S偶240，S奇S偶80，S奇80，S偶160，q2.跟踪训练1(1)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则等于()A2 B.C. D3答案B解析方法一因为数列an是等比数列，所以S6S3q3S3，S9S6q6S3S3q3S3q6S3，于是3，即1q33，所以q32.于是.方法二由3，得S63S3.因为数列an是等比数列，且由题意知q1，所以S3，S6S3，S9S6也成等比数列，所以(S6S3)2S3(S9S6)，解得S97S3，所以.(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式解设数列an的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知S奇S偶4S偶，即S奇3S偶数列an的项数为偶数，q.又a1a1qa1q264，aq364，即a112.故所求通项公式为an12n1.题型二等比数列前n项和的实际应用例2小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少解方法一设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：A25 000(10.008)2x5 0001.0082x，A4A2(10.008)2x5 0001.00841.0082xx，A125 0001.00812(1.008101.00881.00821)x0，解得x880.8.故小华每期付款金额约为880.8元方法二设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则：A2x；A4A2(10.008)2xx(11.0082)；A6A4(10.008)2xx(11.00821.0084)；A12x(11.00821.00841.00861.00881.00810)年底付清欠款，A125 0001.00812，即5 0001.00812x(11.00821.00841.00810)，x880.8.故小华每期付款金额约为880.8元跟踪训练2从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式解第1年投入800万元，第2年投入800万元，第n年投入800n1万元，所以总投入an800800800n14 000(万元)同理，第1年收入400万元，第2年收入400万元，第n年收入400n1万元所以总收入bn400400400n11 600.综上，an4 000，bn1 600.题型三新情境问题例3定义：若数列An满足An1A，则称数列An为“平方数列”已知数列an中，a12，点(an，an1)在函数f(x)2x22x的图象上，其中n为正整数(1)证明：数列2an1是“平方数列”，且数列lg(2an1)为等比数列；(2)设(1)中“平方数列”的前n项之积为Tn，则Tn(2a11)(2a21)(2an1)，求数列an的通项及Tn关于n的表达式；(3)对于(2)中的Tn，记bnlog2an1Tn，求数列bn的前n项和Sn，并求使Sn4 024的n的最小值(1)证明由条件得an12a2an，2an114a4an1(2an1)2.数列2an1是“平方数列”lg(2an11)lg(2an1)22lg(2an1)，且lg(2a11)lg 50，2，lg(2an1)是首项为lg 5，公比为2的等比数列(2)解lg(2a11)lg 5，lg(2an1)2n1lg 5.2an1，an(1)lg Tnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1)(2n1)lg 5，Tn1.(3)解bnlogTn2n1，Sn2n2n2n22n.由Sn4 024，得2n22n4 024，即nn2 013.当n2 012时，nn2 013；当n2 013时，nn2 013.n的最小值为2 013.跟踪训练3把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2)；如此继续下去，则：(1)图(3)共挖掉了_个正方形；(2)第n个图形共挖掉了_个正方形，这些正方形的面积和是_答案(1)73(2)1n解析(1)89173.(2)设第n个图形共挖掉an个正方形，则a11，a2a18，a3a282，anan18n1(n2)，所以an18828n1(n2)当n1时，a11也满足上式，所以an.原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为12848268n12n1n.1等比数列an中，a1a2a31，a44，则a2a4a6a2n等于()A2n1 B. C. D.2某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于()A3 B4 C5 D63等比数列an的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是()A28 B48C36 D524已知数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列求证：2S3，S6，S12S6成等比数列一、选择题1等比数列an的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列若a11，则S4等于()A7 B8 C15 D162等比数列an的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则数列的前n项的和是()A. BSqn1 CSq1n D.3已知等比数列an的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q等于()A. B1 C2 D44已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零的常数且a1)，则数列an()A一定是等差数列B一定是等比数列C或者是等差数列，或者是等比数列D既非等差数列，也非等比数列5设数列xn满足log2xn11log2xn(nN*)，且x1x2x1010，记xn的前n项和为Sn，则S20等于()A1 025 B1 024C10 250 D20 2406已知等比数列an的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S18，S220，S336，S465，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为()AS1 BS2CS3 DS47设等比数列an的前n项和为Sn，若8a2a50，则下列式子中数值不能确定的是()A. B. C. D.二、填空题8在数列an中，已知对任意正整数n，有a1a2an3n1，则aaaa_.9等比数列an中，前n项和为Sn，S32，S66，则a10a11a12_.10设正项等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且210S30(2101)S20S100，则公比q_.11设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)f(y)f(xy)若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn_.三、解答题12数列an的前n项和记为Sn，a1t，点(Sn，an1)在直线y2x1上，其中nN*.(1)若数列an是等比数列，求实数t的值；(2)设各项均不为0的数列cn中，所有满足cici10的整数i的个数称为这个数列cn的“积异号数”，令cn(nN*)，在(1)的条件下，求数列cn的“积异号数”13某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量m(m0)万吨(1)从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量(万吨)依次构成数列an，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；(2)证明：数列an10m是等比数列；(3)若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围当堂检测答案1答案B解析由a1a2a31得a1，a21，又a44，4.数列a2，a4，a6，a2n是首项为1，公比为4的等比数列a2a4a6a2n.2答案D解析设每天植树棵数为an，则an是等比数列，an2n(nN*，n为天数)由题意得222232n100，2n150，2n51，n6.需要的最少天数n6.3答案A解析易知Sm4，S2mSm8，S3mS2m16，S3m121628.4证明设等比数列an的公比为q，由题意得2a7a1a4，即2a1q6a1a1q3，2q6q310.令q3t，则2t2t10，t或t1，即q3或q31.当q31时，2S36a1，S66a1，S12S66a1，S2S3(S12S6)，2S3，S6，S12S6成等比数列当q3时，2S32，S6，S12S6，S2S3(S12S6)，2S3，S6，S12S6成等比数列综上可知，2S3，S6，S12S6成等比数列课时精练答案一、选择题1答案C解析由题意得4a24a1a3，4(a1q)4a1a1q2，q2，S415.2答案C解析易知数列也是等比数列，首项为1，公比为，则数列的前n项和为Sq1n.3答案C解析S31，S69，S6S38a4a5a6q3(S3)q3，q38，q2.4答案B解析当n2时，anSnSn1(a1)an1；当n1时，a1S1a1，也满足上式an(a1)an1，nN*.a，为常数数列an一定是等比数列5答案C解析log2xn11log2xnlog2(2xn)，xn12xn，且xn0，xn为等比数列，且公比q2，S20S10q10S10102101010 250，故选C.6答案C解析由题S1正确若S4错误，则S2、S3正确，于是a18，a2S2S112，a3S3S216，与an为等比数列矛盾，故S465.若S3错误，则S2正确，此时，a18，a212.q，S465，符合题意7答案D解析由8a2a50，得8a2a2q30，a20，q38，q2，q24，而D中与n有关，故不确定二、填空题8答案(9n1)解析an的首项为2，公比为3，a也为等比数列，首项为4，公比为9，a的前n项和为(9n1)9答案16解析方法一S3，S6S3，S9S6，S12S9成等比数列，(S6S3)2S3(S9S6)又S32，S66，S914.再由S6S3，S9S6，S12S9成等比数列，即(S9S6)2(S6S3)(S12S9)，求出S12S916，即a10a11a1216.方法二由S3，S6S3，S9S6，S12S9成等比数列，此数列首项为S32，公比q2，得S12S922316.10答案解析由210S30(2101)S20S100，得210(S30S20)S20S10.又S10，S20S10，S30S20成等比数列，q10()10.又an为正项等比数列，q.11答案1解析令xn，y1，则f(n)f(1)f(n1)，又anf(n)，f(1)a1，数列an是以为首项，为公比的等比数列，Sn1.三、解答题12解(1)由题意，当n2时，有，两式相减，得an1an2an，即an13an(n2)，所以，当n2时an是等比数列，要使n1时an是等比数列，则只需3，从而得出t1.(2)由(