《平行线》复习讲义..doc

平行线复习讲义一、教学内容：1. 了解对顶角的概念，掌握其性质，并会用它们进行推理和计算2. 了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义3. 知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线4. 知道两直线平行同位角相等，并进一步探索平行线的特征5. 知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线6. 掌握平行线的三个判定方法，并会用它们进行直线平行的推理二、知识要点：1. 两条直线的位置关系（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交与平行（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线2. 几种特殊关系的角（1）余角和补角：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角（2）对顶角：定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫对顶角性质：对顶角相等（3）同位角、内错角、同旁内角两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角在两条直线的同一侧并且在第三条直线同旁的两个角叫做同位角在两条直线之间并且在第三条直线同旁的两个角叫做同旁内角3. 主要的结论（1）垂线过一点有且只有一条直线与已知直线垂直直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短简称：垂线段最短（2）平行线的特征及判定平行线的判定平行线的特征同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行4. 几个概念（1）垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段（2）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度5. 几个基本图形（1）相交线型一般型（如图）；特殊型（垂直，如图）（2）三线八角一般型（如图）；特殊型（平行，如图）三、重点难点：重点有两个：一方面要掌握关于相交线和平行线的一些基本事实，另一方面学会借助三角尺上的直角或量角器画已知直线的垂线，用移动三角尺的方法画平行线难点是是利用对顶角的性质、平行线的特征、两直线平行的条件等进行推理和计算四、考点分析：考查（1）对顶角的性质；（2）平行线的识别方法；（3）平行线的特征，其中依据平行线的识别与特征解决一类与平行线有关的几何问题是历届中考命题的重要考点常见题型有填空题、选择题和解答题，单纯考查一个知识点的题目并不难，属于中低档题，将平行线的特征与其他知识综合起来考查的题目难度较大，属高档题【典型例题】例1. 如图所示，已知FCABDE，DB234，求、D、B的度数分析：由条件DB234可以分别设出、D、B，再根据题目给出的条件建立方程求解解：设2x，D3x，B4xFCABDE，2B180，1D180，21804x，11803x，又12180，1803x2x1804x180，5x180，x36，2x72，D3x108，B4x144评析：解答这类计算题不仅要熟悉图形的性质，还要善于进行等量转化，把待求的角逐步和已知条件建立起联系来，当待求结论要经过复杂过程才能求得时，一定要思路清晰、叙述表达严密例2. 如图所示，直线ab，则A_ 分析：已知条件ab能转化为三线八角，过A作ADa，那么已知的两个角可转换到顶点A（都用内错关系转化），可求A. 由ADa，ab，可知ADb，由两直线平行内错角相等得：DABABE28，DAE50，EAB502822解：22评析：用平行线三线八角把已知角转化成以A为顶点的角即可例3. 已知：如图所示，DFAC，12试说明DEAB. 分析：要说明DEAB，可以证明1A，而由DFAC，有2A，又因为12，故有1A，从而结论成立解：DFAC（已知），2A（两直线平行，同位角相等）12（已知），1A（等式性质），DEAB（同位角相等，两直线平行）评析：说明两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行例4. 试说明：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行分析：先根据题意画出图形，标注字母，找出已知条件和问题，再进行说明解：已知：如图所示，ABCD，EF分别交AB、CD于G、H，GM、HN分别平分BGF、EHC. 说明GMHNGM、HN分别平分BGF、EHC（已知），1BGF，2EHC（角平分线定义）ABCD，BGFEHC（两直线平行，内错角相等）12GMHN（内错角相等，两直线平行）评析：（1）上题把内错角平分线改为同位角平分线，原结论也成立，请同学们自己试着解一解（2）此题为文字题，首先应根据题意画出图形，再根据已知条件和结论结合图形写出解题过程例5. 如图所示，已知CEDF，说明ACEAABF分析：结论中ACE，A与ABF在三个顶点处，条件CEDF不能直接运用，结论形式启示我们用割补法，即构造一个角等于AABF，因此想到在点A处补上一个GABABF，只要GADF即可，同时可得GACE，GACACE，结论便成立解：过A作AGDF，GABABF（两直线平行，内错角相等）又AGDF，CEDF（已知）AGCE（平行于同一直线的两条直线互相平行）GACACE（两直线平行，内错角相等）又GACBACGAB（已知）ACEBACABF（等量代换）评析：（1）割补法是一种常用方法（2）此题还可以过点C作一条直线与AB平行，把ACE分成两个角后，分别说明这两个角与A、ABF相等例6. 解放战争时期，有一天江南某游击队在村庄A点出发向正东行进，此时有一支残匪在游击队的东北方向B点处（如图所示，残匪沿北偏东60角方向，向C村进发游击队步行到A处，A正在B的正南方向上，突然接到上级命令，决定改变行进方向，沿北偏东30方向赶往C村问游击队进发方向AC与残匪行进方向BC至少是多少角度时，才能保证C村村民不受伤害？ 分析：如图可知AC与BC的夹角最小值是BCA本题关键是引辅助线，延长AB到D，过C作CEAD，通过平行线特征来求解解：根据题意DBC60，BAC30过点C作CEAB，则BCEDBC60，ACEBAC30BCABCEACE603030夹角至少为30时才能保证C村村民不受伤害评析：本题较综合地运用了角、方位角、平行线的有关知识【方法总结】1. 方程的思想几何图形中常见一些已知线段、角，而要求未知线段和角，我们可以把它们分别视为已知量、未知量，用方程的思想方法求解2. 比较的思想方法利用比较这一思想方法，分清易混概念和性质，加深对概念性质的理解和认识例如平行线的性质是理解判定定理时最易混淆的，学习时，可通过比较其异同弄清它们的区别和联系3. 推理的方法推理是一个思维形式，它是从一个或几个判断得出新判断的思维形式推理时要时刻明确最终目标，最后推出结论，推理过程要步步有根据，不能“想当然”，推理的根据，可以是已知条件、定义、性质、基本事实等【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 如图所示，下列说法中正确的是（ ）A. 图中没有同位角、内错角、同旁内角B. 图中没有同位角和内错角，但有一对同旁内角C. 图中没有内错角和同旁内角，但有三对同位角D. 图中没有同位角和内错角，但有三对同旁内角2. 一条公路两次转弯后又回到原来的方向（即ABCD，如图），如果第一次转弯时的B140，那么，C应是（ ）A. 140B. 40C. 100D. 1803. 如图所示，下列说法正确的是（ ）A. 若ABCD，则BA180B. 若ADBC，则BC180C. 若ABCD，则BD180D. 若ADBC，则BA1804. 如图所示，要得到DEBC，需要条件（ ）A. CDAB，GFABB. DCEDEC180C. EDCDCBD. BGFDCB5. 如图所示，ABAC，ADBC，DEAB，则CDE与BAD的关系是（ ）A. 互余B. 互补C. 相等D. 不能确定6. 如图所示，已知ABCD，CE平分ACD，A110，则ECD的度数等于（ ）A. 110B. 70C. 55D. 35*7. 两条平行线被第三条直线所截，角平分线互相垂直的是（ ）A. 内错角B. 同旁内角C. 同位角D. 内错角或同位角*8. 学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）（4）：从图中可知，小敏画平行线的依据有：（ ）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行（ ）A. B. C. D. 二. 填空题1. 如图所示，A、B之间是一座山，一条铁路要通过A、B两地，在A地测得B地在北偏东70，如果A、B两地同时开工修建铁路，那么在B地应按_方向开凿，才能使铁路在山腹中准确接通2. 如图所示，A、C、B在同一直线上，DCCE于C，ACD53，则BCE_ 3. 如图所示，四边形ABCD中，12，D72，则BCD_*4. 如图所示，ABCD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则1234_5. 如图所示，ab，132，则1_，2_*6. 已知，如图，AD与BC相交于点O，ABCD，如果B20，D40，那么BOD为_度7. 如图所示，若AEBD，那么相等的角有_；若ABEC，那么互补的角有_*8. 设a、b、c为平面内三条不同的直线（1）若ab，ca，则c与b的位置关系是_；（2）若ca，cb，则a与b的位置关系是_；（3）若ab，则c与b的位置关系是_三. 解答题 1. 如图所示，已知ABBC，BCCD，12，试判断BE与CF的关系，并说明理由2. 如图所示，已知ABCD，直线EFCD于F，122，求2的度数*3. 如图所示，已知ABDE，ABC60，CDE140，求BCD的度数4. 如图所示，小刚准备在C处牵牛到河边AB饮水（1）请用三角板作出小刚的最短路线（不考虑其他因素）；（2）如图乙，若小刚在C处牵牛到河边AB饮水，并且必须到河边D处观察河水的水质情况，请作出小刚行走的最短路线（不写作法，保留作图痕迹）典型例题例1 如图245是梯形的有上底的一部分，已知量得A=115，D=100，梯形另外两个角各是多少度？图245分析：已知是梯形，可知它的上、下两底平行，要求另外两个角的度数，直接应用平行线的特征即可求出.解：因为梯形上、下两底平行，所以，A与B互补，D与C互补，于是B=180115=65,C=180100=80梯形的另外两个角分别是65、80.例2 已知，如图246，直线ab,cd,1=70,求2、3的度数.图246分析：这是平行线的特征的应用的计算题，要注意格式.解：ab(已知)，2=1=70(两直线平行，内错角相等)cd(已知)，3=2=70(两直线平行，同位角相等)参考例题2.2.1探索直线平行的条件(一)例1若1=52，如图218，问应使C为多少度时，能使直线ABCD？图218分析：要使直线ABCD，则需使同位角相等，即1=C.这样即可求出.解：若1=52，当C=52时，直线ABCD.例2如图219，若1=4，1+2=180，则AB、CD、EF的位置关系如何？图219分析：由已知1=4，可知：ABEF，可猜想：ABCDEF.由图中可知：2+3=180,而已知：1+2=180.由同角的补角相等可得1=3,这样得到ABCD.由“两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行”可得：ABCDEF.解：ABCDEF.二、参考练习1.如图220，1=45，2=135，则l1l2吗？为什么？解：平行.1+3=180,1=45.3=135，又2=135.2=3,因此l1l2.图220 图2212.如图221，1=120，2=60，问直线a与b的关系？解：直线a与b平行.：2+3=180,2=60,3=120,又1=120.1=3，因此ab.3.在三角形ABC中，B=90,D在AC边上，DFBC于F，DEAB于E，则线段AB与DF平行吗？BC与DE平行吗？为什么？图222解：线段AB与DF平行.线段BC与DE也平行.：DFBC于F，则DFC=90，又B=90，B=DFC，因此ABDF.BC与ED平行的理由同上.【试题答案】一. 选择题1. D 2. A 3. D 4. C 5. A 6. D 7. B 8. C二. 填空题1. 南偏西70 2. 37 3. 108 4. 540 分别过点E、F作AB的平行线 5. 135，45 6. 60 7. 13，56；B与BCE，BAE与6 8. 垂直，平行，平行或相交三. 解答题1. ABBC，BCCD，ABCBCD90，又12，ABC1BCD2，即EBCBCF，BECF2. ABCD，1CFG22，EFCD，CFECFG22223290，2303. 延长ED交BC于点G，过点C作CFAB，则BCDBCFDCFABCGDC60（180CDE）204. （1）甲：过C作AB的垂线，垂足与C点之间的线段为最短路线，根据是：垂线段最短（2）乙：连结CD得线段CD就是最短线段，根据是：两点之间线段最短 二元一次方程组复习讲义【学习目标】1.了解二元一次方程（组）的有关概念，会解简单的（数字系数）；能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性.毛2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的划归思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.要点诠释：（1）它的一般形式为（其中，不同时为零）（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 要点二、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；解这个一元一次方程，求出（或）的值；把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；将两个未知数的值用“”联立在一起即可.要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.（3）图像法解二元一次方程组的一般过程：把二元一次方程化成一次函数的形式在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点交点坐标就是方程组的解要点诠释：二元一次方程组无解一次函数的图像平行（无交点） 二元一次方程组有一解一次函数的图像相交（有一个交点） 二元一次方程组有无数个解一次函数的图像重合（有无数个交点）利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、实际问题与二元一次方程组要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.要点四、三元一次方程组1定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组.要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.2三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“”合写在一起要点诠释：（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；（4）解这个方程组，求出未知数的值；（5）写出答案(包括单位名称)要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组【典型例题】类型一、二元一次方程组的相关概念1.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）.A. B. C. D.【思路点拨】利用二元一次方程组的定义一一进行判断.【答案】B.【解析】二元一次方程组中只含有两个未知数，并且含有未知数的次数都是1，方程组中，可以整理为.【总结升华】准确理解二元一次方程组和二元一次方程的定义是解本题的关键.举一反三：【变式】若是二元一次方程，则a= ，b= 【答案】1, 02.以 为解的二元一次方程组是（ ）.A. B. C. D.【答案】C.【解析】通过观察四个选项可知，每个选项的第一个二元一次方程都是，第二个方程的左边都是，而右边不同，根据二元一次方程的解的意义可知，当 时，.【总结升华】不满足或不全部满足方程组中的各方