第三节-一般常数项级数.ppt

第三节一般常数项级数 一 交错级数及其审敛法 二 绝对收敛与条件收敛 三 小结与练习 定义 正负项相间的级数 称为交错级数 可以写成下面两种形式 其中 一 交错级数及其审敛法 定理7 莱布尼兹定理 如果交错级数 满足条件 则交错级数收敛 其和 余项满足 说明 1 莱布尼兹定理的条件 1 不是必要条件 条件 2 是必要的 2 定理同时给出了级数的和与余项的估计式 3 定理应用的关键是条件1的验证 定理7 莱布尼兹定理 如果交错级数 满足条件 则交错级数收敛 其和 余项满足 4 检验条件 1 常用的方法 1 比值法 考察 是否成立 2 差值法 考察 是否成立 3 导数法 找一函数f x 使 且当x充分大时 是否成立 证明 满足收敛的两个条件 定理证毕 例1 解 所以级数收敛 其和小于1 例2 判别下列交错级数的收敛性 解 由莱布尼茨判别法 所给交错级数收敛 例2 判别下列交错级数的收敛性 解 f x 单调下降 所以当n 3时 必有 由莱布尼茨判别法 所给交错级数收敛 例2 判别下列交错级数的收敛性 解 这是交错级数 但不满足莱布尼茨条件 将原级数相邻两项加括号 发散 性质4 若级数收敛 则任意加括号后所得新级数也收敛 所以原级数发散 二 绝对收敛与条件收敛 考虑任意项级数 一般项取绝对值后所得级数记为 1 若 收敛 则称原级数 绝对收敛 2 若 发散 而 收敛 则称原级数 条件收敛 问题 级数的绝对收敛与收敛之间是什么关系 定理8 若级数 绝对收敛 则原级数 即 收敛 必定收敛 1 该结论的逆命题不成立 2 定理提供了检验一般级数 是否收敛的一种 有效方法 3 若 发散 不能断定 也发散 但若是用比值或根值判别法判断 发散 则可断定原级数 一定发散 证明 任意项级数 收敛性判断的一般步骤 1 检验 3 用正项级数审敛法检验 是否收敛 则原级数绝对收敛 从而收敛 4 若 发散 但是用比值或根值法判断的 则原级数也发散 是否成立 若否 则原级数发散 若是或 难求 则进行下一步 若是 否则 进行下一步 2 若原级数为正项级数或交错级数 则可用正项级数或莱布尼茨判别法检验其收敛性 否则进行下一步 5 用性质或其它方法 例1 判别级数的收敛性 解 记 而级数 因此原级数 所以由比较判别法知 级数 是p 2的p级数 收敛 收敛 绝对收敛 从而收敛 则 例2 判定级数的敛散性 解 这里x可正可负 故它是一个任意项级数 所以 原级数对一切 都绝对收敛 考察正项级数 例3 判定级数的敛散性 解 当 x 1时 原级数绝对收敛 x 1时 从而收敛 考察正项级数 发散 且是用比值法判别的 所以原级数 发散 例3 判定级数的敛散性 解 考察正项级数 当x 1时 级数为 调和级数 发散 当x 1时 级数为 交错级数 且 满足莱布尼兹定理条件 故级数收敛 且为条件收敛 例3 判定级数的敛散性 解 考察正项级数 当 x 1时 原级数收敛 且为绝对收敛 当 x 1 或x 1时 原级数发散 当x 1时 原级数为交错级数 且满足莱布尼兹定理条件 故级数收敛 且为条件收敛 结论 解 这是交错级数 但其对应的绝对值级数为 所以 故原级数绝对收敛 收敛 例4 判定下列级数是否收敛 如果是收敛 是绝对收敛还是条件收敛 解 这是交错级数 但其对应的绝对值级数为 所以 故原级数发散 发散 且是用根值判别法判别的 解 这是交错级数 且 满足 由莱