奥妙的二次幂等式通解 王德忱 著.doc

奥妙的二次幂等式通解（ 2 0 0 6 年 ） 王 德 忱 著黑龙江省农业科学院黑河分院 黑河市邮箱：【摘要】本文通过探索勾股弦数公式的求解方法，升幂项完全平方法，近而由此方法给出二次幂等式无穷多个，从而揭开千古迷茫且奇妙美丽的二次幂等式神秘面纱。【关键词】勾股弦数公式 二次幂等式公式 升幂项完全平方法1.奇妙的数字等式1.1.有趣味的数字等式在相当多的数学资料中，经常出现一些令人称奇的各种各样的数字等式，这是科学辉煌的成就，也是人类智力的结晶，又是文明趣味的游戏，还是欣赏美感的享受。比如：12 + 5 2 + 6 2 = 2 2 + 3 2 + 7 21943 2 + 2868 2 + 3787 2 = 1945 2 + 2864 2 + 3789 26 3 = 5 3 + 4 3 + 3 3 4224814 = 95800 4 + 217519 4 + 414560 41445 = 27 5 + 845 +110 5 +133 5 1141 6 = 76 6 + 234 6 + 402 6 + 474 6 + 702 6 + 894 6 + 1077 6等等。但是，这些数字等式一般都是凭着兴趣和好奇反复艰难的试算出来的，很少有求解公式。1.2. 升幂项完全平方法求解勾股弦数公式在这些千奇百怪的数字等式中，最重要的应是二次幂等式。而二次幂等式中首推的就是“勾股弦数”等式：a 2 = b 2 + c 2。被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图，他发现了全部勾股数组的公式是a = 2mn，y = m2 - n2，z = m2 + n2，其中m、n（m n）是互质且一奇一偶的任意正整数。据有资料说：“丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们无从知晓。”也就是说这个求解“勾股弦数”公式是怎么得到的千百年来却是一个迷。其它类型的二次幂等式所见奇少，因为深奥难得，更无公式可求了。我们现在要探究的“二次幂等式”通解问题，是要求索它们的一般规律性，即要得到几个二次幂之和等于另几个二次幂之和的实质关系，从而发现它们的求解公式。当然这是一种纯数学的思考，发掘抽象的美感，为我们学术空间增加点活跃的趣味。千古迷茫而奇妙的二次幂等式，如何揭开她神秘的面纱，使之展现美丽的风采，给人世间一个意外的惊喜。这个问题当然还要从“勾股弦数”公式为切入点。现在如果要知道这个“勾股数组公式”应该是怎么求得的，不妨展开这个公式：（m2 + n2）2 =（m2 - n2）2 +（2mn）2 = m4 2m2n2 + n4 + 4m2n2= m4 + 2m2n2 + n4 =（m2 + n2）2于是发现，勾股弦数公式与二项和平方式有关。再试算一下，由二个非平方项之和的平方式展开得：（d1 + d2）2 = d12 + 2d1d2 + d22 = d12 + 2d1d2 + d22 + 2d1d2 - 2d1d2 =（d1 d2）2 + 4d1d2如果使4d1d2生成平方项，不就解决了么！令：d1 = a12、d2 = a22为完全平方项，所以得： （a12 + a22）2 =（a12 - a22）2 +（2a1a2）2或由二个非平方项之差的平方式展开得：（d1 - d2）2 = d12 - 2d1d2 + d22 = d12 - 2d1d2 + d22 + 2d1d2 - 2d1d2 =（d1 + d2）2 - 4d1d2同样使4d1d2生成平方项，令d1 = a12、d2 = a22，所以得： （a12 - a22）2 =（a12 + a22）2 -（2a1a2）2（a12 - a22）2+（2a1a2）2 =（a12 + a22）2这样，“丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们无从知晓”，由此便知晓了。于是推断，利用多项和（或差）平方式能够求得更多的二次幂等式。设正整数二次幂等式通项公式为： Q n2 = q m2 （n 1，m n，为正整数）这里的n是无限项数中当先确定项数的二次幂之和，m则是相应另一些不确定项数乃至无限项数的二次幂之和。首先由具体实例的演算来求索Q n2 = q m2的规律。2.升幂项完全平方求解二次幂等式公式2.1.二项式完全平方展开项完全升幂法2.1.1.当n = 1、m 3时把一个多项和（或差）的平方式以二项平方式的形式展开项求得二次幂等式，可称“二项式法”。当n = 1、m 3时，一个数的平方等于若干个数平方的和，只能由多项和平方式展开项求得二次幂等式，“多项和平方式”是指（d1 +d2 + d k）2，因为以二项式的形式展开，即是d1 +（d2 + d k） 2这样的二项和平方式，展开项数是 k + 1 项，即有m = k + 1，所以k = m - 1。n = 1，m = 3Q12 = q12 + q 22 + q 32I：（d1 + d2）2 = d1 2 + d22 + 2d1d2使2d1d2转化升成完全平方项即可得到二次幂等式。所谓“升成完全平方项法”是指将一个代数项转化为另一种完全平方形式的代数项。如令d1 = 2 a12、d2 = a22有2d1d2 =（2a1a2）2则得I1：（2a12 + a22）2 =（2a1 2）2 +（a2 2）2 +（2a1a2）2这里使d1 = a12、 d2 = 2a22也可以求得另一个公式I2，但是I1、I2只是形式上的不同实质是相同的公式，称其为“等价公式”。以I1公式计算的平方幂等式：9 2 = 12 + 4 2 + 8 2 1243 2 = 361 2 + 798 2 + 882 2 n = 1，m = 4 Q12 = q12 + q 22 + q 32 + q42I：（d1+ d2 + d3）2 = d12 + 2d1d2 + 2d1d3 +（d2 + d3）2使2d1d2、2d1d3升成完全平方项，令d1 = 2 a12、d2 = a22、d3 = a32或d1 = a12、d2 = 2 a22、d3 = 2a32有I1：（2a12 + a22 +a32）2 =（2a1 2）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（ a22 + a32）2I2：（a12 + 2a22 +2a32）2 =（a1 2）2 +（ 2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（ 2a22 +2a32）2这时I1、I2是不同的公式，称谓“非等价公式”。但是，在等式计算时，还要防备给出“等价项”重复计算。所谓“等价项”是指一个公式中例如q 2 = 2a1a2、q 3 = 2a1a3确定取值时将a2、a3调换计算结果相同则q2、q3项称谓：等价项。由I1、I2两公式计算平方幂等式：152 = 22 + 42 + 62 + 13222152 = 10582 + 14262 + 6442 +11572 n = 1，m = 5 Q12 = q12 + q 22 + q 32 + q42 + q52I：（d1+ d2+d3 +d4）2 = d12 + 2d1d2 + 2d1d3 + 2d1d4 +（d2 + d3 + d4）2使2d1d2、2d1d3、2d1d4升成完全平方项，则d1 = 2 a12、d2 = a22、d3 = a32、d4 = a42或d1 = a12、d2 = 2a22、d3 = 2a32、d4 = 2a42有：I1：（2a12 + a22 +a32 + a42）2 =（2a1 2）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a1a4）2 +（a22 + a32 + a42）2I2：（a12 + 2a22 +2a32 +2 a42）2 =（a1 2）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a1a4）2 +（2a22 + 2a32 + 2a42）2例：312 = 22 +42 + 62 +82 + 292 25392 = 5782 +6122 + 8842 + 10542 +19612 2.1.2.当n = 2、 m 2时n = 2 ，m = 2当n 2、m n时所有的平方幂等式只能由多项和差平方式展开项求得二次幂等式，“多项和差平方式”指几项和与另几项差的平方式，其展开式也是2齐次幂多项式，正数项用d表示，负数项用c表示。Q12 + Q22 = q12 + q22 I：（d1 c1）2 = d12 + d12 - 2d1c1使2d1c1升成完全平方项，为了区别，负项用b n表示，令d1 = 2a12，c1= b12或d1 = a12，c1 = 2b12得：I1：（2a1b1）2 +（2a12 b12）2 =（2a12）2 +（b12）2I2：（2a1b1）2 +（a12 2b12）2 =（a12）2 +（2b12）2 例：12 + 82 = 42 + 72 12 + 122 = 92 + 82n = 2，m = 3Q12 + Q22 = q12 + q22 + q32I：（d1 + d2 c1）2= d12 +2d1d2 +（d2 c1）2 - 2d1c1使等式各项升成完全平方项得I1：（2a1b1）2 +（2a12 +a22 b12）2 =（2a12）2 +（2a1a2 ）2 +（a22 b12）2I2：（2a1b1）2 +（a12 +2a22 2b12）2 =（a12）2 +（2a1a2）2 +（2a22 2b12）2 例：572 +302 = 72 + 402 +502 122 + 512 = 92 +302 + 422n = 2，m =4Q12 + Q22 = q12 + q22 + q32 + q42 I：（d1 + d2 + d3 c1）2= d12 +2d1d2 + 2d1d3 +（d2 + d3 d4）2 - 2d1c1使等式各项均为完全平方项得I1：（2a1b1）2 +（2a12 +a22 +a32 b12）2 =（2a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（a22 + a32 b12）2I2：（2a1b1）2+（a12 +2a22 +2a32 2b12）2 =（a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）+（2a22 + 2a32 2b12）2 例：82 + 192 = 32 + 42 + 122 + 162 62 + 232 = 12 + 42 + 82 + 2222.1.3.当n = 3、 m 3时n = 3，m =3Q12 + Q22 +Q32 = q12 + q22 + q32 I：（d1 + d2 c1 c2）2 = d12 +2d1d2 +（d2 d3 d4）2 - 2d1c1 - 2d1 c2使等式各项均为完全平方项得I1：（2a1b1）2 +（2a1b2）2+（2a12 +a22 b12 b22）2 =（2a12）2 +（2a1a2）2 +（a22 b12 b22）2I2：（2a1b1）2 +（2a1b2）2+（a12 +2a22 2b12 2b22）2 =（a12）2 +（2a1a2）2 +（2a22 2b12 2b22）2 例：42 + 52 + 62 = 22 + 32 + 82 9022 + 17222 + 24792 = 7982 + 16812 + 25422n = 3，m = 4Q12 + Q22 +Q32 = q12 + q22 + q32 + q42I：（d1 + d2 + d3 c1 c2）2= d12 +2d1d2 + 2d1d3 +（d2 + d3 c1-c2）2 -2d1c1-2d1c2 使等式各项均为完全平方项得I1：（2a1b1）2 +（2a1b2）2 +（2a12+a22+a32 b12-b22）2 =（2a12）2+（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（a2 2+ a32 b12 b22）2I2：（2a1b1）2 +（2a1b2）2 +（a12+2a22+2a32 2b12-2b22）2 =（a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a2 2+ 2a32 2b12 - 2b22）2 例：122 + 422 + 1292 = 182 + 482 + 602 + 1112 122 + 422 + 2312 = 92 + 482 + 602 + 2222 2.1.4.当n = 4、 m 4时n = 4、m = 4Q12 + Q22 + Q32 + Q42 = q12 + q22 + q32 + q42I：（d1+d2+d3-c1-c2-c3）2 = d12 +2d1d2 +2d1d3+（d2 +d3-c1-c2-c3）2 -2d1c1-2d1c2-2d1c3使等式各项均为完全平方项得I1：（2a1b1）2+（2a1b2）2+（2a1b3）2+（2a12+ a2 2+a32 b22-b32-b 42）2=（2a12）2+（2a1a2）2+（2a1a3）2+（a2 2+a3- b12-b22-b32）2I2：（ 2a1b1）2 +（2a1b2）2 +（2a1b3）2 +（a12 + 2a2 2+2a32 2b12-2b22-2b32）2=（a12 ）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a2 2+2a3 - 2b12-2b22-2b32）2例：102 + 302 + 402 +1092 = 502 + 592 + 602 + 702 102 + 302 + 402 +1432 = 252 + 602 + 702 + 1182n = 4、m =5 Q12 + Q22 + Q32 + Q42 = q12 + q22 + q32 + q42 + q5I：（d1 + d2+d3+d4 -d5-d6-d7）2 = d12 +2d1d2 + 2d1d3 +2d1d4+（d2 +d3 + d4 - d5-d6-d7）2 -2d1c1-2d1c2+2d1c3使等式各项均为完全平方项得I1：（2a1b1）2 +（2a1b2）2 +（2a1b3）2+（2a12 + a2 2+a32 +a42-b12-b22-b32）2 =（2a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a1a4）2 +（a2 2+ a32+a42 b12-b22-b32）2I2：（2a1b1）2 +（2a1b2）2 +（2a1b3）2+（a12 +2a2 2+2a32 +2a42-2b12-2b22-2b32）2 =（a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a1a4）2 +（2a2 2+ 2a32+2a42 2b12-2b22-2b32）2例：122 + 202 +242 + 522 = 42 + 82 + 282 + 322 + 442 3082 + 4182 + 4252 + 5062 = 1212 + 3042 + 3742 + 3962 + 5502由以上n、m部分取值的实例，便可以发现当n 1、 m n所求的平方幂等式一般规律：“二项平方式”必使正数项d项为m 1项、负数项c项为n 1项。当n = 1即c1-1 = 0，这时为特例Q12项即是“二项平方式”。因为和（或差）的平方项已确定为Qn的一项了，此项即定为Qn项中第n项；和（或差）的第二项平方已确定为qm一项了，此项即定为qn项中第m项。依据发现的规律性给出等式：（d1 +d2 + d m 1 - c1 c2 - c n-1）2= d12+2d1（d2+d m 1-c1 c2 -c n-1）+（d2+d m 1 -c1 -c2 - -c n-1）2使d项生成a的平方项，c项生成b的平方项，得二次幂等式Q n2 = q m2公式：I1：（2a1b1）2 +（2a1b2）2 +（2a1b n-1）2 +（2a12 + a2 2+ a m 12 - b12 - b22- b n-12）2 =（2a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a m 1）2 +（a22 + a m 12 - b12 - b22 - b n-12）2I1：（2a1b1）2 +（2a1b2）2 +（2a1b n-1）2 +（a12 +2a2 2+2a m 12 -2b12 -2b22-2b n-12）2 =（a12）2 +（2a1a2）2 +（2a1a m 1）2 +（2a22 + 2a m 12 - 2b12 - 2b22 - 2b n-12）2 例：42782 = 12 + 22 + 32 +，282 + 292 + 42772 （30个平方项之和）171092 = 12 + 42 + 62 +，+ 562 + 582 + 171082 （30个平方项之和）这是两个基本公式，求解公式的方法是基本的方法。2.2.多项式平方和差完全平方升幂法由上面的二项平方的方法，公式I1，n = 1，m 2，m = 2时：Q12 = d2-12 = d12Q12 =（d1 + d2）2 = d12 + 2d1d2 + d22得不到Q12 = q12 + q22 的等式，这种方法推出的公式不能覆盖“勾股弦数”的求解。但是，前面已经有了求解“勾股弦数公式”的方法，是对多项式和的平方展开式加减项和差分组并升幂得到完全平方等式，可称这种方法叫“和差完全平方升幂法”，2.2.1. 多项和平方式展开项升成完全平方法（d1 +d2 + d3）2 = d12 + d22 +d32 +2d1d2 +2d1d3 + 2d2d3 =（d1 - d2）2 +d32+4d1d2 +2d1d3+2d2d3 =（d1 +d2）2 +（d1 + d3）2 d12 +2d2d3 =（d1+ d2）2 +（d1 d3）2 + 4d1d3 d12 +2d2d3 =（d1+d2）2 +（d1 d3）2 -（d2 d3）2 + 4d1d3 d1 +d22+d3=（d1 + d2）2 +（d1 +d3）2 +（d2 + d3）2 d1 2 d2 2 d3 2=（d1 d2）2 +（d1 +d3）2 +（d2+ d3）2 + 4d1d2 d12 - d22 - d32 =（d1+d2）2 +（d1 d3）2 +（d2 d3）2 + 4d1d3 + 4d2d3 d12 d32 d32=（d1+d2）2 +（d1 d3）2 （d2 + d3）2 + 4d1d3 + 4d2d3 d12 + d22 + d32=（d1 - d2）2 +（d1 d3）2 +（d2 - d3）2 +4d1d2+4d1d3+4d2d3 -d12-d22-d32=（d1 - d2）2 +（d1 d3）2 -（d2 + d3）2 +4d1d2+4d1d3+4d2d3 -d12+d22+d32于是升成完全平方项得到平方幂等式公式：I1：（a12 + a22 + 2a32）=（a12 - a22）2 +（2a32）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2I2：（a1）2 +（a1 + 2a22 + a32）2 =（a1 +2a22）2 +（a1 + a32）2 +（2a2a3）2I3：（a12）2 +（a12 + 2a22 + a32）2 =（a12+ 2a22）2 +（a12 a32）2 +（2 a1a3）2 +（2a2a3）2I4：（a12）2 +（a2a32）2 +（a12+a2+a32）2 =（a12+a2）2 +（a12a32）2 +（2a1a3）2 +a22 +（a32）2I5：（a1 + a2）2 +（a1 +a3）2 +（a2 + a3）2 = a12 + a22 + a32 +（a1 + a2 + a3）2I6：（a12）2 +（a22）2 +a32 +（ a12+a22+a3）2 =（a12-a22）2 +（a12+a3）2 +（a22+a3）2 +（2a1a2）2I7：（a12）2 +（a22）2 +（a32）2 +（a12 + a22 + a32）2 =（a12+a22）2 +（a12 a32）2 +（a22 a32）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2I8：（a12）2 +（a22 + a32）2 +（a12 + a22 + a32）2 =（a12 + a22）2 +（a12 a32）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2 +（a22）2 +（a32）2I9：（a12）2 +（a22）2 +（a32）2 +（a12 + a22 + a32）2=（a12 - a22）2 +（a12 a32）2 +（a22 - a32）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2 I10：（a12）2 +（a22 + a32）2 +（a12 + a22 + a32）2 =（a12 - a22）2 +（a12 a32）2 +（2a1a2）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2 +（a22）3 +（a32）2例：1、10072 =1172+2422+7562+4622+3962 2、212 +7902 = 1422 +3692 + 6692 3、212+12102 = 3202 +3962 + 4622 +10982 4、1032 + 4412 +5802 = 182 +1212 +3202 + 4592 + 4622 5、112 +182 +212 +502 = 292 +322 +392 6、112 +3242 + 4412 + 7762 = 1172 +3352 + 4522 +7562 7、1212 +3242 +4412 + 8862 = 2032 +3202 +3962 + 4622 + 7652 8、4412 + 4452 + 8862 = 1212 +3202 +3242 +3962 + 4622 + 7652 9、1212 +3242 + 4412 + 8862 = 1172 +2032 +3202 +3962 + 4622 + 7562 10、4412 + 4452 + 8862 = 1172 +1212 +3202 +3242 +3962 + 4622 +7562再如，一个多项式展开项进行加减项形成完全平方式等式：（a1 + a2 + a3 + a4）2= a1 2 + a2 2 + a3 2 + a42 +2a1a2 + 2a1a3 + 2a1a4 + 2a2a3 +2a2a4+2a3a4=（a1+ a2）2 +（a3+a4）2 +（a1 +a3）2 +（a2 +a4）2-（a1 a4）2 -（a2 a3）2 （a1 + a2 + a3 + a4）2 +（a1 a4）2 +（a2 a3）2=（a1 + a2）2 +（a3 + a4）2 +（a1 + a3）2 +（a2 + a4）2如果给定 a1+ a2 +a3 + a4的和，变换其中项的取值，就会计算出多组等式，例如：23 + 40 + 20 + 17 = 100 62 + 202 + 1002 = 372 + 432 + 572 + 632 50 + 37 + 17 + 2 = 100 262 + 482 + 1002 = 132 + 392 + 612 + 872 53 + 30 + 9 + 8 = 100212 + 452 + 1002 = 172 +382 + 622 + 832 38 + 27 + 26 + 9 = 100 12 + 292 + 1002 = 352 + 362 + 642 + 652 47 + 43 +7 + 3 = 100362 + 442 + 1002 = 102 + 462 + 542 + 902 2.2.2.三项和差平方式展开项升成完全平方法（d1 + d2 d3）2 = d1 2 +d2 2 + d32 +2d1d2 2d1d3 2d2d3 =（d1 d2）2 + d32 +4d1d2 2d1d3 2d2d3 =（d1 +d2）2 +（d1 - d3）2 d12 2d2d3 =（d1+ d2）2 +（d1+ d3）2 4d1d3 d12 2d2d3 =（d1 + d2）2 +（d 1- d3）2 +（d2 d3）2 d1 2 d2 2 d3 2=（d1+d2）2 +（d1 +d3）2 -（d2 + d3）2 4d1d3 - d12 +d22 + d32=（d1 d2）2 +（d1 - d3）2 +（d2 - d3）2 + 4d1d2 d12 - d22 - d32 =（d1+d2）2 +（d1 + d3）2 +（d2 + d3）2 - 4d1d3 4d2d3 d12 d22 d32=（d1+d2）2 +（d1 + d3）2 （d2 - d3）2 - 4d1d3 4d2d3 d12 + d22+ d32=（d1 - d2）2 +（d1 + d3）2 +（d2 +d3）2 +4d1d2- 4d1d3- 4d2d3 -d12-d22-d32=（d1 - d2）2 +（d1 + d3）2 -（d2 - d3）2 +4d1d2-4d1d3-4d2d3 -d12+d22+d32于是升成完全平方项得到平方幂等式公式：I1：（2a1a3）2 +（2a2a3）2 +（a12 + a22 -2a32）2 =（a12 - a22）2 +（2a32）2 +（2a1a2）2I2：（a1 +2a22）2 +（a1 - a32）2 = a12 +（2a2a3）2 +（a1 + 2a22 - a32）2（a1 +a22）2 +（a1 - 2a32）2= a12 +（2a2a3）2 +（a1 + a22 - 2a32）2I3：（a12+ 2a22）2 +（a12 + a32）2 =（a12）2 +（2 a1a3）2 +（2a2a3）2 +（a12 + 2a22 - a32）2I4：（a1 + a2）2 +（a1 - a3）2 +（a2 - a3）2 = a12 +a22 + a32 +（a1 + a2 - a3）2I5：（a12+a2）2 +（a12 + a32）2 + a22 +（a32）2= （a12）2 +（2a1a3）2 +（a2 + a32）2 +（a12 + a2 - a32）2I6：（a12）2 +（a22）2 + a32 +（a12 + a22 - a3）2 =（a12 a22）2 +（a12 - a3）2 +（a22 - a3）2 +（2a1a2）2I7：（a12+a22）2 +（a12 + a32）2 +（a22 + a32）2 = （a12）2 +（a32）2 +（a32）2 +（2a1a3）2 +（2a2a3）2 +（a12 + a22 - a32）2I8：（a12 + a22）2 +（a12 + a32）2