求数列通项公式及数列求和的几种方法

精品文档 1欢迎下载 数列知识点及方法归纳数列知识点及方法归纳 1 等差数列的定义与性质 定义 1nn aad d为常数 1 1 n aand 等差中项 xAy 成等差数列2Axy 前n项和 1 1 1 22 n n aann n Snad 性质 n a是等差数列 1 若mnpq 则 mnpq aaaa 2 数列仍为等差数列 232nnnnn SSSSS 仍为等差数列 公差为 12212 nnn aaa dn2 3 若三个成等差数列 可设为adaad 4 若 nn ab 是等差数列 且前n项和分别为 nn ST 则 21 21 mm mm aS bT 5 n a为等差数列 2 n Sanbn ab 为常数 是关于n的常数项为 0 的二次函数 n S的最值可求二次函数 2 n Sanbn 的最值 或者求出 n a中的正 负分界项 即 当 1 00ad 解不等式组 1 0 0 n n a a 可得 n S达到最大值时的n值 当 1 00ad 由 1 0 0 n n a a 可得 n S达到最小值时的n值 6 项数为偶数的等差数列 n a 有 n2 精品文档 2欢迎下载 11122212 为中间两项 nnnnnnn aaaanaanaanS ndSS 奇偶 1 n n a a S S 偶 奇 7 项数为奇数的等差数列 n a 有 12 n 12 12 为中间项 nnn aanS n aSS 偶奇 1 n n S S 偶 奇 2 等比数列的定义与性质 定义 1n n a q a q为常数 0q 1 1 n n aa q 等比中项 xGy 成等比数列 2 Gxy 或G xy 前n项和 1 1 1 1 1 1 n n na q Saq q q 要注意 性质 n a是等比数列 1 若mnpq 则 mnpq aaaa 2 232nnnnn SSSSS 仍为等比数列 公比为 n q 注意注意 由 n S求 n a时应注意什么 1n 时 11 aS 2n 时 1nnn aSS 精品文档 3欢迎下载 3 求数列通项公式的常用方法 1 求差 商 法 例 数列 n a 12 2 111 25 222 n n aaan 求 n a 练习 数列 n a满足 111 5 4 3 nnn SSaa 求 n a 2 叠乘法 数列 n a中 1 1 3 1 n n an a an 求 n a 精品文档 4欢迎下载 3 等差型递推公式 由 110 nn aaf naa 求 n a 用迭加法 2n 时 21 32 1 2 3 nn aaf aaf aaf n 两边相加得 1 2 3 n aafff n 0 2 3 n aafff n 练习 数列 n a中 1 11 132 n nn aaan 求 n a 1 31 2 n n a 4 等比型递推公式 1nn acad cd 为常数 010ccd 可转化为等比数列 设 11 1 nnnn axc axacacx 令 1 cxd 1 d x c 1 n d a c 是首项为 1 1 d ac c 为公比的等比数列 1 1 11 n n dd aac cc 1 1 11 n n dd aac cc 精品文档 5欢迎下载 例 数列满足 求数列的通项公式 n a1 1 a 12 1 nn aa n a 5 倒数法 11 2 1 2 n n n a aa a 求 n a 在数列中 求数列的通项公式 n a 1 1 a n n n na a a 1 1 n a 公式法 利用 累加法 累乘法 构造等差或等比或 1 2 1 1 nn SSn S n n a 1nn apaq 待定系数法 对数变换法 迭代法 数学归纳法 换元法 1 nn apaf n 4 求数列前 n 项和的常用方法 精品文档 6欢迎下载 1 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和 使之出现成对互为相反数的项 如 n a是公差为d的等差数列 求 1 1 1 n k kk a a 解 解 由 11 11111 0 kkkkkk d aaaaddaa 11 1112231 11111111111 nn kk kkkknn a adaadaaaaaa 11 111 n daa 例 已知 求数列的通项公式及前 n 项和 n a a n n 1 1 1 n a n s 2 错位相减法 若 n a n a为等差数列 n b为等比数列 求数列 nn a b 差比数列 前n项和 可由 nn SqS 求 n S 其中q为 n b的公比 例 231 1234 n n Sxxxnx 求 n s 精品文档 7欢迎下载 3 倒序相加法 把数列的各项顺序倒写 再与原来顺序的数列相加 121 121 nnn nnn Saaaa Saaaa 相加 1211 2 nnnn Saaaaaa 例 设等差数列 公差为 求证 的前项和 练习 已知 2 2 1 x f x x 则 111 1 2 3 4 234 fffffff 由 2 22 2222 1 11 1 111 1 1 xxx f xf xxxx x 原式 11111 1 2 3 4 1 1 13 23422 fffffff a 用倒序相加法求数列的前 n 项和 精品文档 8欢迎下载 如果一个数列 an 与首末项等距的两项之和等于首末两项之和 可采用把正着写与倒着写的 两个和式相加 就得到一个常数列的和 这一求和方法称为倒序相加法 我们在学知识时 不但要 知其果 更要索其因 知识的得出过程是知识的源头 也是研究同一类知识的工具 例如 等差数 列前 n 项和公式的推导 用的就是 倒序相加法 b 用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列 等比数列 求前 n 项和 Sn可直接用等差 等比数列的前 n 项和公式进行求解 运 用公式求解的注意事项 首先要注意公式的应用范围 确定公式适用于这个数列之后 再计算 c 用裂项相消法求数列的前 n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项 使得前后项相抵消 留下有限项 从而求出数列 的前 n 项和 d 用错位相减法求数列的前 n 项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法 应用于等比数列与等差数列相乘的形式 即若在数列 an bn 中 an 成等差数列 bn 成等比数列 在和式的两边同乘以公比 再与原式错位相减整理 后即可以求出前 n 项和 e 用迭加法求数列的前 n 项和 迭加法主要应用于数列 an 满足 an 1 an f n 其中 f n 是等差数列或等比数列的条件下 可把 这个式子变成 an 1 an f n 代入各项 得到一系列式子 把所有的式子加到一起 经过整理 可 求出 an 从而求出 Sn f 用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列 也不是等比数列的数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并 g 用构造法求数列的前 n 项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析 找出数列的通项的特征 构造出我们熟知的基 本数列的通项的特征形式 从而求出数列的前 n 项和 练习 1 数列满足 求数列的通项公式 n a1 1 a 12 1 nn aa n a 精品文档 9欢迎下载 2 数列中 求数列的通项公式 n a2 1 a n nn aa232 1 n a 3 数列中 求数列的通项公式 n a2 1 a 1 1 2 1 n aa nn n a 4 数列中 求数列的通项公式 n a1 1 a nn aa nn 2 1 1 n a 5 数列中 求数列的通项公式 n a 1 1 a 1 1 1 nn anna n a 6 在数列中 n a 1