定积分是确定的和式的极限.doc

第七章 重积分定积分是确定的和式的极限现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1、 曲顶柱体的体积设有一立体，它是以面上的闭区域为底，以的边界曲线为准线，母线平行轴的柱面为侧面，以曲面（，连续）为顶，这种立体叫做曲顶柱体。2、 平面薄片的质量设有一平面薄片在面上的区域，上任一点的面密度为，设在上连续，求薄片的质量二重积分的定义：二重积分的存在性：设在闭区域上连续，则在上的二重积分一定存在。在中，是的象征，叫做区域的面积元素。在二重积分存在时对区域的分划是任意的，为了方便起见，采用平行于坐标的直线段分划，这样除了靠近边界外，各个消区域都为小矩形，于是，所以在直角坐标系下，二重积分的表达式为=。二、二重积分的性质二重积分概念是定积分概念的推广，故有类似的性质。性质1：线性性质性质2：对区域可加性设，与只有公共边界，则性质3：规范性若，则（的面积）性质4：单调性设，则特别地，由则有性质5：估值定理设M、m分别是在上的最大和最小值，为的面积，则有性质6：二重积分中值定理设在闭区域上连续，为的面积，则在上至少存在一点使例1、比较与的大小。其中（1）以为顶点的三角形 （2）为矩形域，例2、估计二重积分的值，其中为.2二重积分计算法首先假设在上连续，二重积分存在且为一确定的常数，这个数值与的结构、的几何形状有关，就区域而论是多种多样的，但根据区域为可加性，只要解决两类标准区域上的二重积分的计算问题。二重积分计算的基本途径是在一定条件下化为二次积分。一、二重积分在直角坐标系下的计算法1、型区域若区域可表示为：其中，则称为型区域。型区域的特点：夹在直线和之间，且、与的边界之交点把的边界分为下边界和上边界，垂直于轴且穿过内部的任一直线与的边界至多相交两点。定理：设在闭区域上连续，且为型区域，则有：上式右端是一个先对后对的二次积分：先把看作的函数，计算在区间上的定积分（这时看作常数），把得到的结果（是的函数）在上对计算定积分即为二重积分。例1、计算二重积分，其中由，及轴所围成。2、型区域若区域可表示为：其中，则称为型区域。型区域的特点：夹在直线和之间，且、与的边界之交点把的边界分为左边界和右边界，垂直于轴且穿过内部的任一直线与的边界至多相交两点。定理：设在闭区域上连续，且为型区域，则有：上式右端是一个先对后对的二次积分：先把看作的函数，在区间上对计算定积分（这时看作常数），把得到的结果（是的函数）在上对计算定积分即为二重积分。例2、计算二重积分，其中由，所围成。若区域既是型区域，又是型区域，且在上连续，则有：这说明了二重积分可化为二种不同次序的二次积分，到底采用哪一种次序积分就取决与被积函数的结构。例3、计算二重积分，其中由，围成。3、 一般区域若积分区域不是上述两种标准区域，用平行坐标轴的直线段分割，就一定可把分割为上述的两类区域，根据重积分对区域可加性，在各个标准区域上积分之和就是上的二重积分。化二重积分为二次积分关键是确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由的几何形状确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域的图形。例4、写出两种次序的二次积分，其中由，围成的区域。从上面几个例子看出，若是标准型，则按1、2两种形定限，如果不属标准型，把分割为若干个没有公共内点的部分，每个部分都是标准型。注意：1、第一次积分上、下限是函数或常数，而第二次积分的上、下限一定是常数，且下限小于上限。2、积分次序选择的原则是两次积分都能够积得出来，且区域的化分要尽量地简单。例5、计算，其中由，所围成。例6计算二重积分 的值，其中D是1）2）由围成。解：1）I 2）I法二：I上例可以看出正确选择积分次序相当重要。例7、更换积分次序：例8、写出两种次序的二次积分，其中：。 例9、计算I 的值。解：I=例10、计算。例11、计算，其中：，。二、二重积分在极坐标系下的计算法上面讨论的二重积分的计算法中知道，二重积分的计算的关键是定积分的上、下限，而积分的上、下限又是根据区域的边界确定，显然边界曲线的表达式简单积分就简单。平面曲线有些在极坐标系下的表达式简单，估考虑在极坐标系下计算二重积分。极坐标与直角坐标的关系为：二重积分在极坐标系下的表达式为即上式是二重积分从直角坐标系到极坐标系的变换公式。极坐标系下的二重积分同样可以化为二次积分，下面讨论化为二次积分的方法。1、 极点在的内部：的边界曲线，即可表示为：，则2、 极点在的边界上：被射线，夹住，即可表示为：，则3、 极点在的外部：区域被两射线，夹住，两射线与区域的边界曲线值交点把区域边界分为内边界和外边界，即可表示为：，则例1、计算二重积分，其中：。例2、计算二重积分，其中由，例3、化二重积分为极坐标系下的二次积分，其中由，及轴所围成。例4、更换积分次序：，并写出极坐标系下的二次积分。在上面情况下采用极坐标计算二重积分？一般地：积分区域为中心在坐标轴上的圆形域或部分圆形域、被积函数以、为中间变量时，可采用极坐标计算。例5、计算二重积分，其中由，围成的第一象限部分。例6、计算，其中：例7、计算例8、计算其中由所围成的区域。例9、计算，其中：。利用这结果可证明：利用二重积分可计算空间立体的体积。例10、求由及围成的立体的体积。利用二重积分可计算曲面面积。设曲面的方程为，在面上的投影区域为，且曲面是光滑的，求曲面面积课堂练习题：1、 设由，围成，计算。2、更换积分次序：3、计算其中由，围成的三角形区域。4、设是以，为顶点的三角形区域，是在第一象限部分，则（ ） ； ； ； 。5、计算，其中：。3三重积分及其计算法一、概念设是空间有界闭区域上的有界函数，将任意地分为个小区域，在每个小区域上任取一点作乘积，并求和，记的直径，若存在，且极限值与的分法和在中的取法无关，则称极限值为在上的三重积分，记为：其中，是体积元素，在直角坐标系下，。三重积分的存在性：设在闭区域上连续，则一定存在。三重积分与二重积分由类似的术语和性质。三重积分没有几何意义，但有其物理意义，表示分布在上的质量。二、三重积分的计算法设平行轴且穿过区域内部的任一直线与的边界曲面至多相交两点，把投影到面得一投影区域，以的边界曲线为准线作母线平行于轴的柱面，这柱面与的边界曲面的交线把的边界曲面分为上下曲面：，：，设，在上连续，且，过内任意一点作一平行轴的直线，这直线过进入区域，过而穿出区域，穿入与穿出点的竖坐标为，将看作的函数，为定值，在上对积分，结果是的函数：再计算在上的二重积分：若区域是型区域，可化为先对后对的二次积分，这样有：上式为三重积分化为先对，再对最后对的三次积分。若区域是型区域，可化为先对后对的二次积分，这样有：上式叫做把三重积分化为先对，再对最后对的三次积分。若平行轴的直线穿过内部与的边界曲面至多相交两点，把投影到得一投影区域，则同样把三重积分化为其他不同次序的三次积分。例1、把三重积分化为三次积分，其中由及围成。例2、计算三重积分，其中由，围成。例3、计算三重积分化为三次积分，其中由，围成。例4、计算例5、计算，为由围成的区域其中由及围成。 三、利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分（一）、利用柱面坐标计算三重积分柱面坐标与直角坐标的关系：三重积分在柱面坐标系下的表达式为：即 这个公式就是从直角坐标到柱面坐标三重积分的积分换元公式。在柱面坐标系下的三重积分同样可化为三次积分，积分上下限是根据在积分区域内的变化范围来确定。例1、计算，其中由及围成。例2、计算，其中由，围成的含轴的正向部分。在什么情况下采用柱面坐标计算三重积分？同二重积分采用极坐标计算的思路类似，在面的投影区域为圆域或部分圆域、被积函数含、为中间变量时，可采用柱面坐标计算三重积分。例3、化为柱面坐标系下的三次积分。例4、计算，其中由，及围成的区域。（二）、利用球面坐标计算三重积分球面坐标与直角坐标的关系：从直角坐标系到球面坐标系三重积分的积分换元公式为： 在球面坐标系下三重积分化为三次积分：若：则特别地，是球形域时则在球面坐标系下的表达式为：例1、将三次积分化为球面坐标系下的三次积分。例2、计算，其中由，围成的含正半轴的部分。例3、设连续，其中：，求。例4、计算，其中：。4重积分的应用在引进重积分概念时指出了重积分可讲物体的质量和物体的几何量即面积、体积、质量，实质上利用重积分也可计算面积和与质量有关的一些量。一、体积1、用二重积分：2、用三重积分：二、曲面面积设曲面：，在面上的投影区域为，则：曲面面积例1、求与相截得立体的表面积。（）例2、求被三坐标割线的第一卦限部分的面积。例3、求球面的表面积。（）三、转动惯量问题：位于面上区域的薄片，其面密度为，设在上连续，求薄片对轴及原点的转动惯量。 例4、求上半椭圆，关于轴的转动惯量。（设）例5、设有一匀质物体占空间区域，求物体关于轴的转动惯量，其中由，围成。四、重心问题：设有一质量非均匀分布的薄片占平面区域，求薄片的重心，设薄片的面密度为。静力矩：质量：则重心坐标为：，若=常数，即薄片为均匀的，则完全有薄片的几何形状确定，故重心也叫做中心。例6、求由，所围成的平面图形的中心空间物体的重心（中心）问题类似。例7、设一匀质物体占空间区域，求中心，设由，围成。五、引力问题：设有一非均质薄片占平面区域，其面密度函数连续，求薄片对薄片外的一质量为m的质点的引力。例8、求上半圆环()对原点处质量为m的质点的引力，设该薄片的密度为。例9、设有均匀的圆柱筒，由围成，求其对原点处一质量为m的质点的引力()重积分补充例题：2、 设为：，计算。3、 计算其中由，围成。3、设是面上以，为顶点的三角形区域，是在第一象限的部分，则（ A ） ； ； ； 。4、：，计算。，原式5、化二重积分为极坐标系下的二次积分，其中为。6、化二次积分为极坐标系下的二次积分。7、化二重积分为极坐标系下的二次积分并计算其值。8、利用二重积分计算与围成立体的体积。，：9、设在上连续且满足方程，求。由体积知，即 ， 10、设，其中由，及所围成的区域，求。11、计算，其中由