重庆大学硕士研究生齿轮啮合原理考题.doc

一、 基本概念（每题4分，共计32分）1 解释齿轮的瞬心线？ 答：设有两个直齿齿轮，它们的轴线平行，在垂直于轴线的一个截面内，齿轮的中心为及（图1.1），齿轮的瞬时角速度为及，从起始位置开始的转角为及，则，瞬时传动比为，。如果齿轮副不是以等比传动，则是个变数，它可以表示为齿轮1的转角的函数，即；当传动比是常值时，。设平面随同齿轮1绕旋转，平面随同齿轮2绕旋转。在任意一点M处，齿轮1对齿轮2的相对运动速度矢量，M点随着转动时的线速度矢量为，M点随着转动时的线速度矢量为。M点的位置不同，该点处的相对运动速度也不同。对于的点，其相对运动速度为零。由于这点的与方向相同，模也相等，它必定在中心联线上（否则与的方向不可能相同），设它为图1.1中的P点，而，则从与的模相等的条件可知，。所以瞬时传动比成为 。P点处的相对运动速度为零，所以P点就是两齿轮的瞬时相对运动中心（瞬心）。由于P点在联心线上，且，当传动比是变数时，在齿轮传动过程中，P点的位置也是在上变动的。P点在平面及上的轨迹就称为齿轮1及齿轮2的瞬心线（图1.2）。由于两瞬心线在任意瞬时都只接触在一点（瞬心），而在接触点处他们的相对运动速度又等于零，所以它们作相对的纯滚动。如果把两瞬心线做成摩擦轮并且让它们作纯滚动，那么它们的运动规律和两个齿轮的运动规律是一样的。 图1.1 两齿轮的相对运动 图1.2 瞬心线本题参考文献：吴序堂. 齿轮啮合原理M. 北京: 机械工业出版社, 1982.2 解释齿轮的瞬时回转轴？ 答：在平行轴或相交轴的齿轮副中，两齿轮作相对的瞬时回转运动的轴线，称为瞬时回转轴。在交错轴齿轮副中，两齿轮作相对的瞬时螺旋运动的轴线，也称为瞬时回转轴。如图1.3。图1.3 齿轮的瞬时回转轴本题参考文献：减速机信息网. 齿轮基本术语一般定义（GB/T3374-92）EB/OL. /2007-5/2007531163824.htm, 2007, 5.3 解释齿轮的瞬轴面？ 答：图1.4表示回转运动在两个相交轴之间进行传递，两轴线和构成夹角。两齿轮朝相反的方向转动，瞬时回转轴线是齿轮1对齿轮2（或齿轮2对齿轮1）相对运动中的角速度的作用线，相对于两齿轮轴线的方向用角和来确定。瞬时回转轴在与回转齿轮刚性固接的动参考标架中的轨迹构成瞬轴面。在两相交轴之间的回转运动进行传递的情况下，瞬轴面是两个顶角为和的圆锥。 图1.5中，两个构件分别以角速度和绕两个相错轴转动，转动轴线构成相错角，两轴线之间的最短距离为。当构件1和2转动时，螺旋运动的瞬时轴线在参考标架1和2中将形成两个曲面回转双曲面。这样的曲面是在两相错轴之间传递回转运动情况下的瞬轴面，此时的瞬轴面是螺旋运动瞬时轴线在坐标系中形成的轨迹。 图1.4 瞬轴面：两相交轴之间的回转运动 图1.5 瞬轴面：两相错轴之间的回转运动本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.4 解释平面曲线的曲率？ 答：在图1.6中，用表示曲线的弧长。考察曲线上分别与和对应的两个相邻的点和，图1.6(a)。点和之间的弧长，而是点和处的两条切线之间的夹角。当点趋近于点时，比值的极限称为曲线在点处的曲率（标记为），即。在存在的条件下，。比值称为曲线在点处的曲率半径（标记为），即，且。这里的是极限（密切）圆的半径，极限圆是当两个相邻点和趋近于点时通过点和该两个相邻点画出的，图1.6(b)。圆心称为曲率中心。图1.6 齿轮的瞬时回转轴本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.5 解释共轭齿形？ 答：在图1.7中、是两齿轮的瞬心线，1、2则是相应的一对齿形。齿轮传动过程中，两瞬心线作相对的纯滚动，两齿形则应时时保持相切接触（有相对滑动），它们常称为互相共轭的齿形或共轭齿形。 共轭齿形在传动的任一瞬时，它们在接触点的公法线必然通过该瞬时的瞬心点P。P点在联心线上，而。当传动比是常值时，P点在联心线上的位置是固定的，因此，共轭齿形在接触点的公法线是通过一个定点（节点）P的。图1.7 共轭齿形本题参考文献：吴序堂. 齿轮啮合原理M. 北京: 机械工业出版社, 1982.6 解释啮合面？ 答：配对曲面和（图1.8）在每一个瞬时彼此沿着一条线相接触，该线称作瞬时接触线或者特征线。齿轮齿面上瞬时接触线的位置决定于运动参数。而啮合面是表示在与机架刚性固定坐标系中的瞬时接触线族。啮合面用如下方程表示：。式中，这里，矩阵描述到的坐标变换。图1.8 齿面上的瞬时接触线本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.7 解释齿廓渐屈线？ 答：一条给定齿廓曲线的渐屈线是该齿廓曲线曲率中心的轨迹，也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹（图1.9）。齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切，因此，齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。在齿轮的瞬心线给出的情况下（图1.10），齿轮齿廓的渐屈线可由确定，式中为齿廓渐屈线的径矢，为瞬心线的径矢。的模由下式确定： 式中。在图1.10的直角坐标系中，齿廓的渐屈线方程为： 图1.9 齿廓的渐屈线 图1.10 齿廓渐屈线坐标系本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.8 写出Euler的方程式？ 答：Euler方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系，并且表示为。式中是由矢量和单位矢量构成的夹角（图1.11）。矢量表示在曲面的切面上选取的方向，而是曲面在这个方向上的法曲率。单位矢量和沿着两个主方向，而和是主曲率。图1.11 矢量的分解本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.二、 采用数学软件推导微分的方法（16分）要求：举实例详细说明，并作图及列出程序。 问题的提出：假设有某数控齿轮加工机床，可以通过机械手实现自动上、下料。待加工齿轮位于机床坐标系中x轴上的A点（10，0），机械手从位于坐标原点的O（0，0）点出发（图2.1），准备去夹持待加工齿轮，机械手在运动过程中，其夹持部位始终对准待加工齿轮。如果待加工齿轮以平均速度(常数)沿着平行于y轴的直线行驶，机械手的速度是。求解机械手运行的曲线方程，并求解经过多长时间，机械手能够夹持住待加工齿轮？图2.1 机械手运动路径示意图问题的求解：设机械手在时刻夹持住待加工齿轮，此时待加工齿轮的坐标为，机械手的坐标为。 设机械手恒定速度为，则 由于机械手的夹持部位始终对准待加工齿轮，故机械手的速度平行于待加工齿轮与机械手夹持部位的差向量，即 消去得： 因为待加工齿轮以平均速度沿着直线运动，设，则。 因此机械手运行轨迹的参数方程为： 接机械手运行轨迹的参数方程 1) 建立m-文件eq2.m如下： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=6*(10-y(1)/sqrt(10-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=6*(t-y(2)/sqrt(10-y(1)2+(t-y(2)2); 2) 取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下： t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); Y=0:0.01:2; plot(10,Y,-); hold on; plot(y(:,1),y(:,2),*)图2.2 在matlab中编写的文件eq2.m图2.3 在matlab中编写的主程序chase2.m 结果输出图2.4 matlab计算得出的结果机械手大致在（10，1.75）处夹持住待加工齿轮。在chase2.m中，逐步修改tf，即分别取tf=1.9，1.8，1.75，,直到tf=1.73时，得图2.5。图2.5 t=1.73时matlab计算得出的结果 所以，在t=1.73时刻，机械手在（10，1.73）处夹持住待加工齿轮。三、 推导方程（1题8分，2题12分，共计20分）1. 坐标系和 刚性固接到齿轮1和齿轮2，两齿轮传递平行轴之间的回转运动（图1）。齿轮的两回转角和 用方程: 联系着，式中和是两瞬线的半径。E是两转动轴线之间的最短距离。固定坐标系 刚性固接到齿轮箱体上。 是辅助坐标系，它也刚性固接到齿轮箱体上。 图1推导：1) 从S2到S1的坐标变换方程。2) 从S1到S2的坐标变换方程。解：1) 从到的坐标系变换基于矩阵方程 (1) 式中和是转动矩阵，而是移动矩阵。这里 (2) 从方程(2)可导出 (3) 利用方程(1)和(3)，我们得到从S2到S1的坐标变换方程： 2) 逆矩阵可以通过的各元素表达如下 逆坐标变换基于矩阵方程 从该方程可导出从S1到S2的坐标变换方程： 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.2. 坐标系 , 和 分别与齿条刀具、被加工的直齿外齿轮和机架刚性固接（图2）。齿条刀具的齿形是直线，该直线用方程 （ ）表示在 中。这里，a 是齿形角（压力角）；u 是变参数，该参数用来确定齿条刀具齿形上的流动点位置（对于点M， ；对于点，）。瞬时回转中心为 。齿轮的瞬心线是半径为r的圆，而齿条刀具的瞬心线与 轴重合（图2）。齿条刀具的位移 和齿轮的转角 有如下关系式 图2求： 1）推导啮合方程。2）导出齿条刀具和被加工齿轮在啮合中的啮合线方程。3）导出被加工齿轮的齿形方程。4）确定齿条刀具的极限安装位置，这种安装位置将使齿轮的被加工齿形避免根切，并作图说明。解：1) 我们考察方程 这里，是表示在中的I的坐标。 式中和是产生齿形的切线矢量和法线矢量，是轴的单位矢量。 从上述三个方程可以导出啮合方程的下列表达式 2) 啮合线可以用下面的方程表示： 这样子，我们得到 从而可以导出 啮合线（图3.1）是通过I的一条直线，并且与轴构成夹角。线段上各个点对应于；线段上的各个点对应于。图3.1 啮合线 3) 被加工齿轮的齿形用下列方程表示 (1) (2) 式中 (3) 这里，矩阵方程(1)描述从到的坐标变换；方程(2)是啮合方程。 方程(1)(3)可以导出被加工齿轮齿形的下列表达式： (4) 方程(4)用有联系的参数和以双参数形式表示被加工齿形（它是平面曲线）。然而，在这种特殊情况下，因为啮合方程对参数是线性的，所以能够从方程(4)中消去，并且以单参数形式将被加工齿形表示如下： (5) 方程(5)表示一条渐开线，它对应半径为的基圆。 4) 齿条刀具齿形的界限点是这样的点，它在齿轮的齿形上形成奇异点。齿条刀具的界限点可以用啮合方程和根切方程确定，后一方程可以用下面的方程求出 联系和 式中 可以导出 这样，我们得到的界限值为，进而我们得到 考虑到啮合方程，我们得到与由方程给出的相同的界限值。图3.2图解说明了齿条刀具的极限安装位置，此时点F形成齿轮齿形上的奇异点。点F的参数是负的，并由方程确定。图3.2 齿条刀具的极限安装位置本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.四、 综述及分析？（16分）采用齿轮啮合原理的基本理论和方法，结合工程实际或列举实例，综合、分析齿轮啮合原理的应用及说明其意义。答：本题以端面齿轮传动为例，完成解答。端面齿轮传动是一种圆柱齿轮与端面齿轮相啮合的传动，主要用于实现传递轴与被传递轴包含一交角的运动。根据端面齿轮上轮齿方向的不同，可将端面齿轮分为直齿、斜齿和弧齿三种类型；还可以根据端面齿轮传动两个轴之间的相互位置关系，将其分为相交和交错两种情况。端面齿轮一般应用于减速比大于3.5以上的传动。图4.1为端面齿轮传动的示意图，其中齿轮1为渐开线直齿圆柱齿轮，齿轮2为圆锥齿轮，两轮轴线相交，其夹角为。因此，端面齿轮传动实际上是圆柱齿轮与圆锥齿轮的啮合传动。当=90时，圆锥齿轮的轮齿将分布在一个圆平面上，锥齿轮即为端面齿轮，从而泛称为端面齿轮传动。图4.1 端面齿轮传动的示意图对于端面齿轮传动而言，瞬轴面、节面和节点十分重要，它有助于我们更形象化的去认识端面齿轮传动。在图d中，两圆锥的切触线OI是相对运动中的瞬时回转轴，瞬轴面是瞬时回转轴在坐标系中形成的直线族，瞬轴面是圆锥齿轮传动的节锥，这个节锥是设计圆锥齿轮传动的基础。在图4.2中，节面是作为小齿轮节面的半径为的圆柱，在夹角=90的情况下，端面齿轮的节面为平面。节线是，即两节面的切触线。节线与瞬时回转轴OI的交点点P为节点。节点在瞬时回转轴上位置的变化将影响到端面齿轮轮齿变尖的条件和啮合区的大小。点P处的相对运动为纯滚动，而在节线的其他点则为滑动兼滚动。图4.2 瞬轴面和节锥在端面齿轮传动中，我们要特别注意端面齿轮外径处的齿顶变尖和内径处的根切现象。轮齿的变尖意味着齿轮外圈轮齿顶部的齿厚等于零，轮齿的变尖将严重影响齿轮的承载能力和使用寿命，加快轮齿处的磨损，这一点可以通过限制端面齿轮的最大外半径来保证轮齿齿顶不变尖。作为端面齿轮传动中的另外一个重要问题，轮齿内径处的根切同样需要引起重视。只有这样，才能保证端面齿轮具有好的质量以及较长的服役寿命。根据传统的观点，端面齿轮传动的缺点主要有两方面：一方面由于加工端面齿轮的刀具的尺寸与实际啮合中的圆柱齿轮相同，因此，从理论上讲，加工端面齿轮的刀具将是无穷多。另一方面由于受到根切和齿顶变尖的限制，端面齿轮的齿宽不能设计得太长，从而使端面齿轮的承载能力受到了限制。尽管与锥齿轮传动相比，端面齿轮传动存在上述缺点，但是，随着技术的发展，这些缺陷能够得到弥补。例如，通过改善齿轮材料的性能，可以提高齿轮的承载能力。因此，端面齿轮的应用越来越广泛，它在直升机传动装置、仪表、钓鱼卷线器和无链式自行车等方面都有运用。与锥齿轮传动相比较，端面齿轮传动具有如下几方面的优点，这些优势也是在工程实践中应用端面齿轮传动的意义所在：小齿轮为渐开线圆柱齿轮，其轴向位置误差对传动性能几乎没有影响，其它方向误差的影响也较小，无需防位错设计，因此，端面齿轮传动机构的安装时间大大减小，仅需要调节端面齿轮的轴向位置；端面齿轮传动比普通的锥齿轮传动具有较大的重合度，在受载时会更高，重合度大对提高承载能力和增加传动的平稳性是相当重要的；小齿轮为直齿圆柱齿轮时，小齿轮上无轴向力作用，这可以简化支承，减轻重量，相应地也就增加了承载能力，这对于空间受到限制和重量要求轻的场合是极为有用的；相对来说端面齿轮传动的振动小、噪声低，可以应用到潜艇等对噪音要求高的军事领域。本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.五、 学习心得体会？（16分）答：李特文教授编写的齿轮几何学与应用理论是一部经典的齿轮啮合理论丛书，本门课程采用这样一本书籍上课，包含了复杂的坐标变换、空间几何以及数学工具的应用等，着实让我学到了不少知识。这本书涉及到了几乎所有齿轮传动类型的几何问题和设计问题，具体来说包括的内容如下：坐标变换、相对速度、瞬心线、瞬轴面和工作节面、非圆形齿轮、摆线齿轮传动等。刚接触这门课程的时候感觉很新鲜，因为它与我接下来要从事的研究工作关联度很大。刚刚开始的时候，林老师帮助我们回顾了齿轮的一些基础知识，由于本科时候就已经学习过这方面的知识，所以听起来还算轻松。随着学习的深入，有时候一些坐标变化也能把我弄晕，这说明我的基础还不扎实。越到后面，感觉学习起来越加费力气。特别是在分小组的讲课中，因为主讲的同学要在十分钟以内讲完一章的内容，所以讲的都是一些很关键很重要的有难度的知识点，这对于像我这样初学的人来说，难度的确不小，好些时候都跟不上，因而，我需要在课后钻研，才能搞懂。通过做作业及试卷，我慢慢弄懂了一些过去不清楚的知识点，知道了这门课所讲述的内容。这门课程的学习以齿轮几何学与应用理论一书为教材，第一章从数学的角度出发，重点讲解了坐标变换，其目的在于导出曲线和曲面。第二章则重点讲解了相对速度，涉及到了矢量表示、矩阵表示以及斜对称矩阵的应用。第三章介绍了齿轮的瞬心线、瞬轴面和工作节面，并给出了相应的数学关系式。第四章讲解了平面曲线，在这一章里，我对平面曲线的曲率有了更深的认识，学习了好几种平面曲率的算法。紧接着，第五章介绍了曲面的参数表示、坐标、切面和曲面的法线等知识，并介绍了直纹面、回转面等具体实例。在第六章，本书讲解了共轭曲面和共轭曲线，通过本章的学习，我理解了啮合轴和双参数包络等齿轮的基础知识点。第七章讲解了曲面和曲线的曲