自动控制系统的时域频域分析

微机测试技术综合训练报告微机测试技术综合训练报告 目录目录 摘要摘要 第一章第一章 绪论绪论 1 1 11 1 自动控制理论发展概述自动控制理论发展概述 1 1 21 2 MatlabMatlab 简介简介 2 第二章第二章 控制系统的时域分析与校正控制系统的时域分析与校正 2 2 12 1 概述概述 2 2 22 2 一阶系统的时间响应及动态性能一阶系统的时间响应及动态性能 3 2 32 3 二阶系统的时间响应及动态性能二阶系统的时间响应及动态性能 4 2 42 4 高阶系统的阶跃响应 动态性能及近似高阶系统的阶跃响应 动态性能及近似 11 第三章第三章 控制系统的频域分析与校正控制系统的频域分析与校正 13 3 13 1 概述概述 13 3 23 2 频率特性的表示方法频率特性的表示方法 14 3 33 3 频率特性的性能指标频率特性的性能指标 15 3 43 4 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 17 第四章第四章 结结论论 23 课程设计总结课程设计总结 24 参考文献参考文献 25 附录附录 26 微机测试技术综合训练设计说明书 摘要摘要 系统利用 Matlab 进行控制系统时域与频域的分析与设计 对控制系统的给定数学模型 研 究系统性能与系统结构 参数之间的关系 其仿真过程是以某种算法从初态出发 逐步计算系 统的响应 最后绘制出系统的响应曲线 即可分析系统的性能 自动控制系统的计算机仿真是一门涉及到计算机技术 计算数学与控制理论 系统辨识 控制工程以及系统科学的综合性学科 控制系统仿真就是以控制系统的模型为基础 主要用数 学模型代替实际的控制系统 以计算机为工具 对控制系统进行实验和研究的一种方法 控制系统最常用的时域分析法 就是在输入信号的作用下 求出系统的输出响应 系统采 用单位阶跃响应为输入信号 求出各典型环节 一阶 二阶及高阶 的输出响应 分析各响应 在阻尼比和固有频率变化时对输出响应的影响 从而可以选择最优方案 提高系统的快速性 而频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种经典方法 以此可直观的表达出系统的 频率特性 其主要方法有 Bode 图 Nyquist 曲线 Nichols 图 由于编写 M 文件时三种方法只需 改变固定的命令 所以系统主要研究 Bode 图 同样是研究响应的典型环节 及比例 微分 积 分 惯性 二阶振荡与高阶环节 分析其对数幅频特性与对数相频特性 经过对两种分析方法的对比与分析 得出了时域分析法与频域分析法的关系与区别 若已 知控制系统的闭环传递函数 另外系统的阶次不是很高时 采用时域分析法较合适 而如果系 统的开环传递函数未知 或者系统的阶次较高 就需采用频域分析法 通过对控制系统的仿真 与分析从本质上区分了时域分析法和频域分析法的利弊 从而对不同的系统可以快速的找到合 适的方法 达到实验的预期目的 关键词 自动控制系统 时域关键词 自动控制系统 时域 频域分析 频域分析 Matlab 第 1 页 共 36 页 第一章第一章 绪论绪论 1 1 自动控制理论发展概述 自动控制理论是在人类征服自然地生产实践活动中孕育 产生 并 随着社会生产和科学技术的进步而不断发展 完善起来的 早在古代 劳动人民就凭借生产实践中积累的丰富经验和对反馈概 念的直观认识 发明了许多闪烁控制理论智慧火花的杰作 我国北宋时 代苏颂和韩公廉利用天衡装置制造的水运仪象台 就是一个按负反馈原 理构成的闭环非线性自动控制理论 1681 年 Dennis Papin 发明了用做安 全调节装置的锅炉压力调节器 1765 年俄国人普尔佐诺夫发明了蒸汽锅 炉水位调节器 1788 年 英国人瓦特在他发明的蒸汽机上使用了离心调速器 解决 了蒸汽机的速度控制问题 引起了人们对控制技术的重视 之后 人们 曾经试图改善调速器的准确性 却常常导致系统产生振荡 1868 年 英国物理学家麦克斯韦通过对调速系统线性常微分方程的 建立与分析 解释了瓦特速度控制系统中出现的不稳定问题 开辟了用 数学方法研究控制系统的途径 此后 英国数学家劳斯和德国数学家古 尔维茨独立的建立了直接根据代数方程的系数判别系统稳定性的准则 这些方法奠定了经典控制理论中时域分析法的基础 1932 年 美国物理学家乃奎斯特研究了长距离电话信号传输中出现 的失真问题 运用了复变函数理论建立了以频率特性为基础的稳定性判 据 奠定了频率响应法的基础 随后伯德和尼克尔斯进一步将频率响应 法加以发展 形成了经典控制理论的频域分析法 之后 以传递函数作为控制系统的数学模型 以时域分析法 频域 分析法为主要分析设计工具 构成了经典控制理论的基本框架 到 20 世 纪 60 年代初 一套以状态方程作为描述系统的数学模型 以最优控制和 卡尔曼滤波为核心的控制系统分析 设计的新原理和方法基本确定 现 微机测试技术综合训练设计说明书 第 2 页 共 36 页 代控制理论应运而生 控制理论目前还在向更深 更广阔的领域发展 在信息与控制学科研究中注入了蓬勃的生命力 引导人们去探讨更为深 刻的运动机理 1 2 Matlab 简介 Matlab 程序设计语言是美国 MathWorks 公司于 20 世纪 80 年代推出 的高性能数值计算软件 其功能强大 适用范围广泛 且提供了丰富的 库函数 M 文件 编程效率高 Matlab 无论作为科学研究与工程运算的 工具 还是作为计算机辅助的教学工具 都是不可多得的 由于 Matlab 如此强大的功能 所以它特别适合用来对控制系统进行 计算与仿真 系统的设计就是基于 Matlab 在正文中再做详细介绍 第二章第二章 控制系统的时域分析与校正控制系统的时域分析与校正 2 1 概述 2 1 1 时域法的作用与特点 时域法是一种直接在时间域中对系统进行分析与校正的方法 它可 以提供系统的时间相应的全部信息 具有直观 准确的优点 但在研究 系统参数改变引起系统性能指标变化的趋势这一类问题 以及对系统进 行校正设计时 时域法不是非常方便的 时域法常用的典型输入信号有单位阶跃信号 单位斜坡信号 等加 速度信号 单位脉冲信号 系统能够稳定工作是研究系统动态性能与稳 态性能的基本前提 一般情况下 阶跃输入对系统来说是最严峻的工作 状态 如果系统在阶跃信号作用下的动态性能能够满足要求 那么在其 他形式函数的作用下 其动态性能也是令人满意的 固有关系统的动态 性能的指标均是根据系统的单位阶跃响应来定义的 2 1 2 时域性能指标 对控制系统的一般要求常归纳为稳 准 快 工程上为了定量评价 微机测试技术综合训练设计说明书 第 3 页 共 36 页 系统性能好坏 必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方 法 稳定是控制系统正常运行的基本条件 系统稳定 其响应工程才能 收敛 研究系统的性能 包括动态性能和稳态性能 才有意义 实际物理系统都存在惯性 输出量的改变是与系统所储有的能量有 关的 系统所储有的能量的改变需要一个过程 在外作用激励下系统从 一种稳定状态转换到另一种状态需要一定的时间 系统的动态性能指标 一般有以下几个 延迟时间 阶跃响应第一次达到终值 h 的 50 所需的时间 td 上升时间 阶跃响应从终值的 10 上升到终值的 90 所需的时 tr 间 对有振荡的系统 也可定义为从 0 到第一次达到终值所需的时间 峰值时间 阶跃响应越过终值 h 达到第一个峰值所需的时间 tp 调节时间 阶跃响应到达并保持在终值 h 的5 误差带内 ts 所需的最短时间 超调量 峰值 h 超出终值 h 的百分比 即 tp 100 h hht p 2 2 一阶系统的时间响应及动态性能 2 2 1 一阶系统传递函数标准形式及单位阶跃响应 一阶系统传递函数的标准形式为 s Ks K 1 1 Ts 式中 T 1 K 称为一阶系统的时间常数 系统特征跟 1 T 2 2 2 一阶系统动态性能分析 一阶系统的单位阶跃响应是单调的指数上升曲线 依据调节时间的 ts 定义 有 h 1 0 95 tse T ts 微机测试技术综合训练设计说明书 第 4 页 共 36 页 解得 3T ts 时间常数是一阶系统的重要特征参数 固可用时间常数 T 描述一阶 系统的响应特性 T 越小 系统极点越远离虚轴 过渡过程越快 图 2 1 给出了一阶系统阶跃响应随时间常数 T 变化的趋势 及一阶惯性环节 012345678910 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 t h t T T 1 T 2 T 3 T 4 图 2 1 一阶系统阶跃响应随 T 的变化趋势 图 2 2 为一阶积分环节的阶跃响应 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 2 4 6 8 10 12 Time sec Amplitude 图 2 2 一阶积分环节的阶跃响应 微机测试技术综合训练设计说明书 第 5 页 共 36 页 2 3 二阶系统的时间响应及动态性能 2 3 1 二阶系统传递函数标准形式及分类 常见二阶系统结构图如图 2 4 a 所示 其中 K 为环节参数 T0 系统闭环传递函数为 s Ks K sT 2 0 a 1 ss K T0 R s C s b 2s s n n 2 R s C s 图 2 4 常见二阶系统结构图 为分析方便起见 常将二阶系统结构图表示成如图 b 所示的标准 形式 系统闭环传递函数标准形式为 s n 2 n 2 2 2 s s n 分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率 这两个参数完全决 n 定了二阶系统的响应特性 是二阶系统重要的特征参数 若系统阻尼比取值范围不同 则特征根形式不同 响应特性也不同 由此可将二阶系统分为以下几类 当 0 1 时 系统的时域响应具有非周期特性 称为过阻尼系统 当 1 时 称为临界阻尼系统 当 0 时 系统响应为持续的等幅振荡 称为零阻尼系统 Time sec Amplitude 051015 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 kosai 0 1 kosai 0 2 kosai 0 3 kosai 0 4 kosai 0 5 kosai 0 6 kosai 0 7 kosai 0 8 kosai 0 9 kosai 1 0 kosai 2 0 System sys Peak amplitude 0 753 Overshoot 50 6 At time sec 0 566 System sys Peak amplitude 0 9 Overshoot 79 9 At time sec 0 566 System sys Peak amplitude 0 522 Overshoot 4 32 At time sec 0 778 图 2 5 4rad s 时不同阻尼比下的单位阶跃响应 n Time sec Amplitude 012345678 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 wn 1 wn 3 wn 5 wn 7 wn 9 wn 10 System sys Peak amplitude 0 584 Overshoot 16 7 At time sec 0 255 System sys Peak amplitude 0 584 Overshoot 16 7 At time sec 0 852 System sys Peak amplitude 0 583 Overshoot 16 7 At time sec 2 52 图 2 6 0 7 时不同的单位阶跃响应 n 由图 2 5 可以验证 当 0 1 后 随阻尼比的增大 响应越来越迟钝 对于给定的 阻尼比越小 响应的速度越快 如图 2 6 所示 但 n 阶跃响应的快速性指标 调节时间在 0 1 时随阻尼比的减小而增 ts 大 可以看出 阶跃响应的快速性与 密切相关 对于给定的阻 n 尼比 越大 响应越快 而超调量基本不变 n 2 3 2 过阻尼二阶系统动态性能指标分析 过阻尼二阶系统单位阶跃响应为 1 t0 h t 1 T T T e 1 2 t 1 1 T T e 2 1 t 2 T 过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线 令 取不同值 可分别 TT21 求解出相应的无量纲调节时间 如图 3 7 所示 图中为参变量 Tts1 2468101214161820 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 5 T1 T2 Ts T1 图 2 7 过阻尼二阶系统 与的关系曲线 微机测试技术综合训练设计说明书 第 8 页 共 36 页 2 3 3 欠阻尼二阶系统动态性能指标分析 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应为 1 sin t arctan h t 2 1 e n t 2 1 n 2 1 如图 2 8 所示 响应曲线位于两条包络线 1 之间 e n t 2 1 包络线收敛速度取决于 特征根实部之模 响应的阻尼振荡频率 n 取决于 特征根虚部 响应的初始值 h 0 0 初始斜率 2 1 n h 0 0 终值 h 1 00 511 522 533 54 0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 5 nt h t 图 2 8 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应及包络线 Im Re 0 图 2 9 系统极点轨迹 微机测试技术综合训练设计说明书 第 9 页 共 36 页 对典型欠阻尼二阶系统动态性能而言 当固定 增加 减 n 小 时 系统极点在 s 平面按图中所示的圆弧轨迹 移动 对应系 统的超调量 减小 同时由于极点远离虚轴 增加 调节时间 n 减小 ts 当固定 增加时 系统极点在 s 平面按图所示的射线轨迹 n 移动 对应的系统超调量 不变 由于极点远离虚轴 增加 调节时间减小 nts 一般实际系统中 T0 是系统的固定参数 不能随意改变 而开环增 益 K 是各环节总的传递系数 可以调节 K 增大时 系统极点在 s 平面 按图所示的垂直线 移动 阻尼比变小 超调量 会增加 综上所述 要获得满意的系统动态性能 应当适当的选择参数 使 二阶系统的闭环极点位于 45 线附近 使系统具有合适的超调量 并 根据情况尽量使其远离虚轴 以提高系统的快速性 2 3 4 附加闭环零 极点对系统动态性能的影响 对系统附加闭环零点不会影响闭环极点 因而不会影响单位阶跃响 应中的各模态 但它会改变单位阶跃响应中各模态的加权系数 由此影 响系统的动态性能 附加闭环零点时通过改变单位阶跃响应中各模态的加权系数影响闭 环系统动态性能的 若二阶系统闭环传递函数为 s 在其 1 1 s 2 s 基础上附加闭环零 极点和同时附加闭环零 极点后 得出系统阶跃响 应的变化趋势 如图 2 10 所示 由图 a 可以看出 闭环零点的引入带来了系统超调量的增加 使 系统的平稳性变差 同时上升时间缩短 响应速度加快 零点值越接近 闭环极点实部 对响应的影响就越小 由图 b 可以看出 当在闭环传递函数极点右侧增加极点时 系统 的响应由周期性响应转变为非周期响应 响应平稳性变好 但过渡过程 微机测试技术综合训练设计说明书 第 10 页 共 36 页 调节时间变长 快速性下降 随着增加的极点越来越靠近虚轴 对系统 响应逐渐起主导作用 02468101214161820 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 overshoot 16 6753 tp 3 4s tr 2 3s ts 0 2s overshoot 19 0976 tp 3s tr 1 9s ts 0 2s overshoot 29 8385 tp 2 4s tr 1 3s ts 0 2s overshoot 69 929 tp 1 8s tr 0 7s ts 0 2s overshoot 171 219 tp 1 5s tr 0 3s ts 0 2s t s h t a 附加闭环零点对系统阶跃响应的影响 02468101214161820 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 overshoot 15 9212 tp 3 8s tr 2 4s ts 0 2s overshoot 13 8994 tp 4 2s tr 2 7s ts 0 2s overshoot 8 1443 tp 4 9s tr 3 3s ts 0 2s overshoot 0 0033713 tp 20s tr 4 8s ts 0 2s overshoot 0 82823 tp 20s tr 10 2s ts 0 2s t s h t b 附加闭环极点对系统阶跃响应的影响 微机测试技术综合训练设计说明书 第 11 页 共 36 页 024681012 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 t s h t c 同时附加闭环零 极点时系统的阶跃响应 图 2 10 附加零 极点对系统的影响 2 4 高阶系统的阶跃响应 动态性能及近似 高阶系统传递函数一般可以表示为 s R s Y s n i i i m i i i sa sb rn j r k kk k j m i i i ss ss sb 2 1 22 2 其单位阶跃响应为 s s h s 1 s A rn j j j s A s 2 r k kk k k kkk k k s s s CB 22 2 2 1 0 s A Aj 式中 分别是与闭环复数极点 BkCks2 1 处的留数有关的常系数 对上式进行拉式逆变换 2 1 k kk k j 后 得到高阶系统在零初始条件下的单位阶跃响应为 A h t 2r n j jA e t sj 微机测试技术综合训练设计说明书 第 12 页 共 36 页 r k kkkk t tt CBe k k 1sin1cos 22 可以看出 高阶系统的单位阶跃响应实际上是由一阶惯性环节 二 阶振荡环节的响应叠加而成 当所有极点均具有负实部时 除常数项外 其他各项随时间 t 而衰减为零 对于系统极点而言 如果负实部远离虚轴 及或值较大 Sj k k 则该极点对应的响应衰减快 对系统整个过渡过程的影响小 因此响应 的主要特征取决于靠近虚轴的极点 经验证明 若极点与虚轴的距离大 于最靠近虚轴的极点与虚轴距离的 5 倍以上时 该极点称为远极点 对 应的瞬态分量对过渡过程的影响可忽略 对稳定的闭环系统 远离虚轴的极点对应的模态因为收敛较快 只 影响阶跃响应的起始段 而距虚轴近的极点对应的模态衰减缓慢 系统 动态性能主要取决于这些极点对应的响应分量 此外 各瞬态分量的具 体值还与起系数的大小有关 系数大而且衰减慢的分量在瞬态响应中起 主要作用 因此 距离虚轴最近而且附近没有零点的极点对系统的动态 性能起主导作用 称相应极点为主导极点 Time sec Amplitude 02468101214161820 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 System sys Peak amplitude 1 21 Overshoot 20 6 At time sec 2 21 System sys Peak amplitude 1 1 Overshoot 10 4 At time sec 2 4 System sys Peak amplitude 1 03 Overshoot 3 35 At time sec 2 6 System sys Peak amplitude 1 Overshoot 0 175 At time sec 6 2 图 2 11 三阶系统单位阶跃响应曲线 微机测试技术综合训练设计说明书 第 13 页 共 36 页 Time sec Amplitude 024681012141618 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 System sys Peak amplitude 0 977 Overshoot 95 5 At time sec 0 141 System sys Peak amplitude 0 834 Overshoot 66 8 At time sec 0 141 System sys Peak amplitude 0 652 Overshoot 30 5 At time sec 0 15 System sys Peak amplitude 0 524 Overshoot 4 88 At time sec 0 194 图 2 12 四阶系统单位阶跃响应曲线 一般规定 若极点的实部大于主导极点实部的 5 6 倍以上时 则可 以忽略相应分量的影响 若两相邻零 极点间的距离比他们本身的模值 小一个数量级时 则称该零 极点为 偶极子 其作用近似抵消 可以 忽略相应分量的影响 闭环主导极点常取共轭复数极点 于是相应的系 统近似为二阶系统 但应注意的是 应使简化后的系统与高阶系统具有 相同的闭 环增益 以保证阶跃响应终值相同 第三章第三章 控制系统的频域分析与校正控制系统的频域分析与校正 3 1 概述 时域响应法是一种直接法 它以传递函数为系统的数学模型 以拉氏 变换为数学工具 直接求出变量的解析解 这种方法虽然直观 分析时 域时十分有用 但是方法的应用需要两个前提 一是必须已知控制系统 的开环传递函数 另外系统的阶次不能很高 如果系统的开环传递函数 未知 或者系统的阶次较高 就不能采用上述方法进行分析 频域分析 法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环性能的分析方法 而且当 系统的数学模型未知时 还可以通过实验的方法建立 此外 大量丰富 微机测试技术综合训练设计说明书 第 14 页 共 36 页 的图型方法使得频域分析法分析高阶系统时 分析的复杂性并不随阶次 的增加而显著增加 当线性系统受正弦信号作用时 其输出特性随正弦信号的频率变化而 变化 这种描述系统性能与正弦信号频率之间关系的方法就称为频率特 性法 或称频域响应法 之所以将正弦信号作为研究信号 是因为周期 信号可以通过傅里叶级数展开成正弦信号的叠加 而非周期信号可将其 看做周期 T 的周期信号 为了进一步弄清楚频率特性的概念 看一个实验 图 3 1 所示为一个 线性系统 传递函数为 G s 当给系统输入一个正弦信号时 系统的 输出稳定后是与输入同频率的正弦信号 如果记输入信号为 r t sin wt 则稳态输出信号可表示为 Ar c t sin wt 与输入信号相比 输出信号的幅值和相位发生了变 Ac 化 当输入信号幅值不变而频率变化时 输出信号的幅值和相位也会随 频率变化而变化 频率特新就是指输出 输入信号幅值比 A Ac 和 Ar r t r t Arsin wt G s C s c t sin wt Ac Ar 0 t Ac c t 0 R s 图 3 1 正弦信号作用下的系统输入输出 相位差随频率变化的规律 微机测试技术综合训练设计说明书 第 15 页 共 36 页 定义 正弦信号作用下 线性定常系统输出稳态分量与输入的幅 值比和相位差随频率变化的规律称为频率特性 其中幅值比的变化规律 A w 称为频率特性 相位差的变化规律 w 称为相频特性 或者定义为 正弦信号作用下 线性定常系统 稳态输出与输入的复数比为系统的频率特性 记为 G j 3 2 频率特性的表示方法 由于频率特性是复变函数 因此既可以表示为实部 虚部的形式 G j U jV 也可以将幅频和相频分别表示为 A G j jV U G j arctan U V 当以矢量形式表示时 有 G j A e j 频率特性是频率的函数 如果在相应的坐标纸上绘制成曲线 就 可以直观地分析系统的输出和输入之比相位随频率变化的情况 并且可 以通过分析这些曲线的某些特点来判断系统的稳定性与动态品质 并对 系统进行分析和综合 通常频率特性采用下面三种曲线形式表示 1 幅相频率特性 当频率由零变化到无穷大时 式表示的矢量末端在复数平面内变 化的轨迹为幅相频率特性曲线 也称为极坐标图或乃奎斯特曲线 由式 可知 向量 G j 的长度 A 等于 由正实轴方向逆时针绕原 G j 点转动的角度 等于 G j 2 对数频率特性 对数频率特性是由对数幅频特性曲线与对数相频特性曲线两条曲线 组成 横坐标采用对数坐标 即频率按对数分度 单位是 rad s 纵坐 标线性分度 幅频值以 L 20lgA 即 dB 为单位 相频以度 微机测试技术综合训练设计说明书 第 16 页 共 36 页 或 rad 为单位 是目前应用较为广泛的一种频率响应图 又称伯德图 采用伯德图表示对数频率特性时 具有以下优点 1 化乘除运算为加减运算 当系统由多个环节构成时 利用渐进 幅频的概念 系统的幅频特可以由各环节的幅频特性折线叠加而成 简 洁方便 2 对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围 3 如果系统或环节的频率特性互为倒数时 其对数频率特性曲线 关于零分贝线对称 相频特性曲线关于零度线对称 4 将实验获得的频率特性数据绘制成对数频率特性曲线 可以方 便地确定系统的出传递函数 3 对数幅相频率特性 在所需要的频率范围内 以频率作为参变量来表示的对数幅值和相 位关系的图 称为对数幅相频率特性 也称为尼克尔斯图 3 3 频率特性的性能指标 采用频域方法进行线性控制系统设计时 时域内采用的诸如超调量 调整时间等描述系统性能的指标不能直接使用 需要在频域内定义频域 性能指标 1 谐振峰值Mr 谐振峰值为幅频特性曲线的 A 的最大值 一般说来 Mr 的大小表明闭环控制系统相对稳定性的好坏 越大 表明系统 MrMr 对某个频率的正弦信号反映强烈 有共振倾向 系统的平稳性较差 相 应阶跃响应的超调量越大 对应的为谐振频率 r 2 带宽 b 幅频特性下降至零频幅比的 70 7 或下降 3dB 时对应的频率称为 带宽 也成为闭环截止频率 带宽用于衡量控制系统的快速性 带宽越 宽 表明系统复现快速变化信号的能力越强 阶跃响应的上升时间和调 微机测试技术综合训练设计说明书 第 17 页 共 36 页 节时间就越短 带宽是控制系统及控制元件的重要性能指标 3 相频宽 b 相频宽为相频衰减 90 时对应的频率 与一样 也用 b b b 于衡量系统的快速性 相频宽高 表明输入信号的频率越高 变化较快 是输出才能落后 90 即系统反映快速 快速性好 4 零频幅比 A 0 零频幅比 A 0 为频率为零时的振幅比 零频信号为直流或常值信 号 A 0 1 表明系统阶跃响应的终值等于输入值 即系统的静差为 0 A 0 1 则表明系统有静差 其与 1 的差值大小反映了系统的稳态精 度 因此 A 0 越接近于 1 系统的精度越高 谐振峰值小 带宽宽 相频宽高 系统的过渡过程性 Mr b b 能好 A 0 越接近于 1 系统的精度高 这是频域法分析系统性能的一 般准则 90 Mr A 0 r 0 707 A 0 b b 图 3 2 系统幅频 相频特性曲线及性能指标 3 4 典型环节的频率特性 微机测试技术综合训练设计说明书 第 18 页 共 36 页 3 4 1 比例环节 比例环节的传递函数为 s K 频率特性为 j K 于是幅相特性为 j K Ke 0j 对数幅频特性与相频特性分别为 L j 20LgK 0 39 39 2 39 4 39 6 39 8 40 40 2 40 4 40 6 40 8 41 Magnitude dB 10 0 10 1 1 0 5 0 0 5 1 Phase deg Bode Diagram Gm Inf Pm Inf Frequency rad sec 图 3 3 比例环节的伯德图 于是伯德图如图 3 3 所示 3 4 2 积分环节 5 0 5 10 15 20 Magnitude dB 10 1 10 2 10 3 91 90 5 90 89 5 89 Phase deg Bode Diagram Gm Inf Pm 90 deg at 100 rad sec Frequency rad sec 图 3 4 积分环节的伯德图 积分环节的传递函数为 G 其频率特性为 j s 1 j 1 微机测试技术综合训练设计说明书 第 19 页 共 36 页 于是幅相特性为 j j 1 1 e 2j 对数幅频特性与相频特性为 L j 20lg 90 于是伯德图如图 3 4 所示 在伯德图中 积分环节的对数幅频特性曲线每 十倍频程衰减 20dB 常表示为 20dB dec 3 4 3 微分环节 微分环节的传递函数为 G s s 频率特性为 j j 其幅相特性为 j j e 2j 对数幅频特性与相频特性为 L j 20lg 90 伯德图如图 3 5 所示 微分环节的对数幅频特性曲线每十倍频程增加 20dB 故表示为 20dB dec 与积分环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线 对称 微分环节的对数相频曲线与积分环节的对数相频曲线关于 0 线 对称 20 15 10 5 0 5 Magnitude dB 10 1 10 2 10 3 89 89 5 90 90 5 91 Phase deg Bode Diagram Gm Inf Pm 90 deg at 100 rad sec Frequency rad sec 图 3 5 微分环节的伯德图 3 4 4 惯性环节 一阶惯性环节的传递函数为 G s 频率特性为 1Ts 1 G j 1Tj 1 微机测试技术综合训练设计说明书 第 20 页 共 36 页 其幅相特性为 G j A 1Tj 1 1 1 T 22 e Tj arctan e j 对数幅频特性和相频特性分别为 L 20lgA 20lg 1 T 22 arctan T 由于对数幅频特性曲线 L 为曲线 实际分析中常采用简化的 渐近曲线来近似 渐近的原则是以 点为界 即 T 1 当 即T 即T 1 时 有 T 1 L 20lgA 20lg 20lg T 1 T 22 即 L 为 lg的线性函数 可以证明 对数相频曲线关于 45 线具 有奇对称性 以直线代替曲线 给作图带来较大方便 对于惯性环节而 言 采用渐进对数幅频曲线代替理论曲线 最大误差点出现在转折频率 处 误差值为 3dB T 1 60 50 40 30 20 10 0 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 90 45 0 Phase deg rad sec rad sec 图 3 6 惯性环节的伯德图 微机测试技术综合训练设计说明书 第 21 页 共 36 页 3 4 5 一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为 G s s 1 频率特性为 G j j 1 0 10 20 30 40 50 60 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 0 45 90 Phase deg rad sec rad sec 图 3 7 一阶微分环节伯德图 其幅相特性曲线为 G j j 1 1 22 e jarctan 对数幅频特性和相频特性分别为 L 20lgA 20lg 1 22 arctan 一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数 根据对数频率特性 的特点 一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称 相频特性曲线关于 0 线对称 3 4 6 二阶振荡环节 二阶振荡环节的传递函数为G s 其频率特性 12 1 22 T Ts s 为G j Tj2 1 1 22 T 其幅频特性和相频特性分别为 微机测试技术综合训练设计说明书 第 22 页 共 36 页 A 2 T 1 2 2 22 1 T 1 1 2 arctan 1 1 2 arctan 22 22 T T T T T T 012345678910 0 1 2 3 4 5 6 rad sec dB 0 10 1 012345678910 200 150 100 50 0 rad sec deg 0 1 2 0 0 1 2 0 图3 8 二阶振荡环节的伯德图 可以看出 当由0趋于无穷变化时 幅值A 由1衰减为0 相位 由0 滞后为 180 由3 8可见 当较小时 由于曲线存在谐振 对数幅频特性渐近线 与实际幅频特性曲线存在较大的误差 当渐近误差不超过3dB 可直接使 用渐近线近似对数幅频特性 否则应使用准确的对数幅频曲线 3 4 7 高阶系统的伯德图 高阶系统的伯德图 随各指标的变化呈现不稳定的状态 图 3 9 3 10 3 11分别表示出了三阶 四阶 五阶的伯德图 以做参考 微机测试技术综合训练设计说明书 第 23 页 共 36 页 012345678910 0 0 5 1 1 5 2 2 5 rad sec dB 012345678910 300 250 200 150 100 50 0 rad sec deg 图3 9 三阶系统的伯德图 10 1 10 0 10 1 100 80 60 40 20 0 20 dB 10 1 10 0 10 1 350 300 250 200 150 100 图3 10 四阶系统的伯德图 Gm 2 2222 Pm 38 8302 wcg 0 8164 wcp 0 4530 微机测试技术综合训练设计说明书 第 24 页 共 36 页 200 150 100 50 0 50 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 450 360 270 180 90 Phase deg Bode Diagram Gm 22 8 dB at 0 309 rad sec Pm 85 2 deg at 0 528 rad sec Frequency rad sec 图3 11 五阶系统的伯德图 第四章第四章 结论结论 对控制系统进行分析 时域响应法是一种直接法 它以传递函数为 系统的数学模型 以拉氏变换为数学工具 直接可以求出变量的解析解 这种方法虽然直观 分析时域性能十分有用 但是方法的应用需要两个 前提 一是必须已知控制系统的闭环传递函数 另外系统的阶次不能很 高 如果系统的开环传递函数未知 或者系统的阶次较高 就需采用频 域分析法 频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递 函数性能的分析方法 而且当系统的数学模型未知时 还可以通过实验 的方法建立 此外 大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统 时 分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加 固在进行控制系统分析时 可以根据实际情况 针对不同数学模型 选用最简洁 最合适的方法 从而使用相应的分析方法 达到预期的实 验目的 微机测试技术综合训练设计说明书 第 25 页 共 36 页 课程设计总结课程设计总结 三周短暂的课程设计已然结束 此次微机测试技术综合训练是测控技术与仪器专业非常重 要的一项教育环节 是对我们所学 自动控制原理 课程的进一步提高与总结 虽然很多知识 尚还一知半解 但其中的收获对我而言还是受益匪浅 首先 非常感谢我们的指导老师张立强老师对我们的悉心指导 课设期间张老师始终寸步 不离的陪伴我们进行完了所有的实验课程 为我们精心的答疑解惑 使我们的课设进行的非常 顺利 在张老师为我们指导的过程中 我被他的学识渊博和人格魅力所深深折服 张老师对自 动控制这门课程的理解与研究甚是深入 我们对这门课程的学习只是蜻蜓点水般停留在应试的 层面上 经过张老师的指点 使我对控制系统的动态性能与其影响参数的关系有了一个台阶式 的飞跃 其次 此次课设的完成得益于我们小组成员的共同合作 大家明确分工 使得整个课设的 过程有序而有效率 课程设计的题目是 控制系统的时域 频域分析 我们主要通过 Matlab 实现了分析的全过 程 通过查阅网络资料 借阅相关的书籍 以及向老师请教 掌握了简单的 Matlab 软件的使用 方法 使用 Matlab 做时域分析时 使用了求取连续系统的单位阶跃响应函数 step 绘制出了相 应的阶跃响应曲线 从得到的曲线中研究了阻尼比和固有频率对系统动态性能的影响 同时还 扩展到附加零点 极点对系统动态性能的影响 对时域分析基本有了很全面的认识与体会 在 做频域分析时 使用了 margin sys mag pha bode num den w 等函数 绘制出了相应的 Bode 图 由 Bode 图可以编程计算出其相对应的幅值裕度和相角裕度 通过对相同系统下时域 法和频域法的对比 最终得出了对各种情况所要使用的分析方法 邓志杰 2011 年 1 月 12 日 参考文献参考文献 1 卢京潮 自动控制理论 西北工业大学出版社 2009 年 2 张若青 控制工程基础及 Matlab 实践 高等教育出版社 2008 年 3 黄忠霖 控制系统 Matlab 计算及仿真 国防工业出版社 2009 年 微机测试技术综合训练设计说明书 第 26 页 共 36 页 4 刘振全 Matlab 语言与控制系统仿真实训教程 化学工业出版社 2009 年 5 何衍庆 控制系统分析 设计和应用 Matlab 语言的应用 化学工业出版社 2004 年 附录附录 程序 2 1 t 0 0 1 10 T 1 0 for i 1 4 num 0 1 微机测试技术综合训练设计说明书 第 27 页 共 36 页 den i T 1 c x t step num den t plot t c k hold on end xlabel t ylabel h t title 一阶系统阶跃响应随T的变化趋势 grid on gtext T 1 gtext T 2 gtext T 3 gtext T 4 程序 2 2 T 0 1 0 1 1 2 figure 2 hold on for i T num 1 den i 0 H tf num den Step H hold on end title 一阶积分环节阶跃响应 grid on 程序 2 5 wn 4 kosai 0 1 0 1 1 2 figure 1 hold on for i kosai 微机测试技术综合训练设计说明书 第 28 页 共 36 页 num wn 2 den 1 2 i wn wn 2 Gk tf num den sys feedback Gk 1 1 step sys end title 二阶系统单位阶跃响应 gtext kosai 0 1 gtext kosai 0 2 gtext kosai 0 3 gtext kosai 0 4 gtext kosai 0 5 gtext kosai 0 6 gtext kosai 0 7 gtext kosai 0 8 gtext kosai 0 9 gtext kosai 1 0 gtext kosai 2 0 程序 2 6 wn 4 kosai 0 1 0 1 1 2 figure 1 hold on for i kosai num wn 2 den 1 2 i wn wn 2 Gk tf num den sys feedback Gk 1 1 step sys 微机测试技术综合训练设计说明书 第 29 页 共 36 页 end title 二阶系统单位阶跃响应 gtext kosai 0 1 gtext kosai 0 2 gtext kosai 0 3 gtext kosai 0 4 gtext kosai 0 5 gtext kosai 0 6 gtext kosai 0 7 gtext kosai 0 8 gtext kosai 0 9 gtext kosai 1 0 gtext kosai 2 0 程序 2 7 Tb Ts t 0 0 01 50 T2 10 T1 T2 0 1 T2 20 T2 for j 1 length T1 Tb Tb T1 j T2 num 1 T1 j T2 den 1 1 T1 j 1 T2 1 T1 j T2 y step num den t for k length y 1 1 if abs y k 1 0 05 Ts Ts k 0 01 T1 j break end end end plot Tb Ts grid on xlim 1 20 微机测试技术综合训练设计说明书 第 30 页 共 36 页 xlabel T1 T2 ylabel Ts T1 gtext title 过阻尼二阶系统的调节时间特性 程序 2 8 wn 2 5 xi 0 4 t 0 0 05 4 t1 acos xi ones 1 length t a1 1 sqrt 1 xi 2 h1 1 a1 exp xi wn t sin wn sqrt 1 xi 2 t t1 bu a1 exp xi wn t 1 b1 2 bu plot t h1 k t bu t b1 t ones size t legend 阶跃输入 上包线 下包线 阶跃响应 xlabel omega nt ylabel h t grid on 程序 2 10 a t 0 0 1 20 r ones size t lamd 5 2 1 0 5 0 25 h l size lamd num0 1 den0 1 1 1 tf0 tf num0 den0 c step tf0 t plot t r b t c r hold on for i 1 l tf1 tf 1 lamd i 1 1 tfa tf0 tf1 c step tfa t 0 plot t c g hold on y c r 1 while y r 0 95end ts r 1 0 1 plot tr tr 0 0 1 plot tp tp 0 ymax 微机测试技术综合训练设计说明书 第 31 页 共 36 页 plot 0 20 1 05 1 05 plot 0 20 0 95 0 95 plot ts ts 0 0 95 b num2str overshoot 100 ot char overshoot b b num2str tp tpchar char tp b s b num2str tr trchar char tr b s b num2str ts tschar char ts b s text tp 0 2 ymax ot text tp 0 5 ymax 0 1 tpchar text tr 0 2 0 8 trchar text ts 0 2 0 9 tschar end xlabel t s ylabel h t title 附加闭环零点的影响 b t 0 0 1 20 r ones size t im 1 xi 0 5 z 5 2 1 0 5 0 25 h l size z num0 1 den0 1 1 1 tf0 tf num0 den0 c step tf0 t figure plot t r b t c r hold on for i 1 l tf1 tf z i 1 z i tfa tf0 tf1 c step tfa t plot t c g hold on grid on y c r 1 while y r 0 95end ts r 1 0 1 plot tr tr 0 0 1 plot tp tp 0 ymax 微机测试技术综合训练设计说明书 第 32 页 共 36 页 plot 0 20 1 05 1 05 plot 0 20 0 95 0 95 plot ts ts 0 0 95 b num2str overshoot 10