浅谈中学数学的归纳与类比[2].doc

浅谈中学数学的归纳与类比 摘要：归纳与类比是中学数学中的两种重要思维方法，类比是根据事物间的相似关系预见性地提出假设和猜想，把已知事物的性质、特征和解决方法推广到其它类似事物上，因此它不仅是一种常用的解题思想，同时也是数学科学的发现和发明的重要工具之一。归纳法，从具体、特殊的事例中探究其存在的规律，把隐含在表面现象中的本质找出来，当规律被找出后并以证明，即完成一个创新过程，归纳法应用在教学和学习中，对培养同学们的创新和实践能力有着重要的意义 。数学家拉普拉斯说过：“甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳和类比。”关键词：归纳法，类比法，数学教学，数学学习类比是人们发现新问题，探索新知识，创造新事物的手段。通过类比能深入人们的直观认识，丰富想象，从而有助于人们创造性思维的形成。传说我国古代的巧匠鲁班从一种能划破皮肤和衣服的茅草，得到启示而发明了锯子，这说明类比可以引发新的创造。现在来具体谈谈类比的几点运用。1、运用类比法探究新知数学中有些概念是难以让学生理解和接受的，我们要根据教材内容特点，帮助学生掌握类比，提高学生创造性思维能力。比如，我们在学习新知识时，要引导学生在新旧知识类比的基础上学习新知识，通过复习原有知识，再给出一个新的类似情景，启发学生通过类比得到新知识，再加以验证，沟通原有知识形成新的知识结构。这样将能让学生更加理解知识，同时也能突破难点，降低教学难度。在初中数学中有许多知识是可以通过与前面的知识进行类比的而得出的，比如分式的性质可与分数的性质进行类比，因式分解与因数分解可进行类比，二次根式的加减可与整式的加减进行类比，直线与圆的位置关系可与圆与圆的位置关系进行类比等。1、案例1，整式加减法类比教学案例在教学中，可以将二次根式的加减与整式的加减进行类比。11复习为了更好的将二次根式的加减与整式加减的知识进行横向联系、本质属性上的类比，在学习二次根式的加减之前先复习整式的加减例1计算：（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面整式的加减结果，实际上是同类项合并同类项合并就是字母及其指数不变，系数相加减1.2 思考出示问题以引起同学们的思考从而进行新知识的探索 学生活动：例2 计算下列各式 （1）2+3 （2）2-3+5 （3）3 -2 + 老师点评： （1）如果我们把当成x，不就转化为上面的问题吗？ 2+3=（2+3） =5 （2）把当成y； 2-3+5=（2-3+5） =4 =8 （3）看为x，看为y 3 -2 + =（3-2） + = + 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的 3 + =3 +2 =5 3 + =3 +3 =6 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并1例3计算： （1） + （2）+分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并 解：（1）+ =2 +3 =（2+3） =5 （2）+=4 +8 =（4+8） =12 点评：二次根式的加减法首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变，同类二次根式类似同类项案例2，全等三角形类比教学案例再比如在学习相似三角形的性质时可类比全等三角形的性质。相似三角形是指两个三角形之间的一种互相关系，但它与前面学过的全等三角形不同，这两个三角形仅仅是形状相同，其中一个三角形可以看作是另一个三角形按一定比例放大或缩小而成的，当放大或缩小的比为1 时，这两个三角形就是全等三角形，因此我们在学习相似三角形的性质时，可采用类比讨论引入新课。先回忆全等三角形的性质:全等三角形的性质：对应角相等、对应边相等、对应线段（高、中线、角平分线）相等及周长相等，面积相等。再现两个三角形相似的定义，加深对相似比的理解，根据定义得到相似三角形的对应边角相等，对应边的比等于相似比，类比全等三角形的性质定理提出问题：相似三角形的对应高线，对应中线，对应角平分线有什么关系呢？两个相似三角形的周长比和面积比有什么关系呢？这时我们可以以多媒体手段为辅助教学，课件演示，引导观察两个相似三角形在形状，大小不断变化的过程中，对应高线，对应中线，对应角平分线的比有什么变化？两个相似三角形的周长比和面积比又及有什么变化呢？根据变化情况经过测量计算归纳出相似三角形的性质定理：相似三角形对应角相等、对应线段（边、高、角平分线、中线）的比等于相似比两个相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。最后推理论证性质定理。从以上可以知道，类比在数学中起着非常重要的作用，它启发学生思考问题，发现问题，培养培养学生逻辑思维能力，引导学生进行积极的探索问题。2又如在两个三角形中，如果具备有两边相等和其中一边的对角相等，两个三角形不一定全等，这是同学们在学习过程中经常出错的地方，这个结论可以通过作图进行探索验证。如：如图（1）图（2）已知ABC，具备和ABC两边AB、BC相等和其中一边的对角C相等三角形可以画出两个来。作E=C DE=BC， 以B为圆心，BA为半径作弧与E的另一边交于点F、G，所以DEF和DEG都满足和ABC两边AB、BC相等和其中一边对角C相等，但只有DEF与ABC全等，所以如果具备有两边相等和其中一边的对角相等，两个三角形不一定全等。CBA图（1）DEFG图（2） 那么在两个三角形中，如果有两边对应成比例和其中一边的对角相等两三角形是不是也不一定相似呢？我们同样可以用作图法进行探索结论。如图（3）（4）已知ABC，具备和ABC两边AB、BC对应成比例和其中一边的对角C相等三角形可以画出两个来。作E=C DE：BC=m， 以B为圆心，BA为半径作弧与E的另一边交于点F、G，所以DEF和DEG都满足和ABC两边AB、BC对应成比例和其中一边对角C相等，但只有DEF与ABC相似，所以如果具备有两边对应成比例和其中一边的对角相等，两个三角形不一定相似。CBA图（3）DEFG图（4）这其实是类比在启发我们的思维。2、运用类比寻求解题思路在证明三角形全等时，我们的思路是根据三角形全等的判定，我们想法去找全等的条件：角、边相等，NN类似，我们在证相似时，我们的思路是是想法去找相似的条件，角相等，对应边成比例，在三角形中证线段相等时，我们常想到的是通过证全等得出，在三角形中，已知线段的长，求未知线段的长，常想到用相似，因为相似可以通过对应边成比例将未知线段的长求出，如： 例4如图（5），己知点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，AC=BD，A=NCD，NMDBCA图（5） 求证：BM=DN分析:要证BM=DN,只需证得AMB和CND全等，接下来找全等的条件,条件1、AM=CN，条件2、A=NCD最后只要证得AB=CD即可,因为AC=BD,所以有AC+CB=BD+CB,即AB=CD,所以AMB和CND全等,从而得出结论BM=DN。证明：AC=BD AC+BCBD+BC ABDC 又AM=CN A=NCD AMBCND BM=DNABCED图（6）例5如图（6）,梯形ABCD中,ABCD，B=90，E为BC上一点,且AEED,若BC=12,DC=7,BE:EC=1:2,求AB的长。 分析:AB的长可通过ABEACD,然后利用相似比求出,要证ABEACD,就得找出相似的条件,AEB+BAE=90 AEB+BAE=90得出条件1、BAE=BAE 由题意可得条件2、B=C ABEACD 最后由AB：EC=BE：CD求出AB的长证明：ABCD，B=90B=C=90AEB+BAE=90 AEB+BAE=90BAE=BAEABEACDAB：EC=BE：CD 又 BC=12,BE:EC=1:2 BE+EC=BC2EC+EC=12EC=8 BE=4AB：8=4：7AB=这是思维与方法上的类比，这样的类比能让我们很快地掌握解题的思路，可使学生加深对概念的理解、法则的掌握和运用。能将所学知融会贯通，更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的效果3、运用类比法巧解题例6 计算:。3分析： 原式的结构很容易使我们联想到数值计算中类似的“裂项相消法”，结构上的这种相似性是解题思路的源泉所在。解： = + + = = 综上所述可以看出运用类比，能拓宽学生的视野，启发学生思维；运用类比，多方纵横联想，从而达到搭桥开路的作用；运用类比，使学生借助于过去的经验、知识技能和思想方法，对新旧知识进行分析比较、探索、研究、发现其共同特点。抓住知识之间的内在联系，顺理成章，使学生有“瓜熟蒂落，水到渠成”之感，又创设了情境，发人深思，兴味无穷。此外，类比还可以使学生的思维由此及彼，举一反三，使各部分知识相互变通，起到触类旁通的作用。归纳是通过对某类数学对象中若干特殊情形的分析得出一般性结论的思维方式。归纳分为不完全归纳法和完全归纳法。前者属于数学证明的方法，后者是数学发现中常用的方法。完全归纳法，它是根据每一个Mi(i=1，2，n)均具有某种属性而推出M也具有这种属性，因而所得到的结论必定正确。例如，在证同弧所对的圆周角和圆心角的关系时，将圆心分为在圆周角内部和圆周角外部及圆心在圆周角一边上这三种情况，每一种情况均得出同弧所对的圆周角是圆心角的一半，从而确定结论：“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”正确。不完全归纳法仅考察了事物的部分对象，就得出了关于事物的一般结论，因此结论带有猜测成分，前提与结论之间的联系就不一定真实、可靠，所得的猜想还必须经过严格的论证。但是这一方法的主要意义在于发现问题，是数学创造性思维的一种基本方法，同时它在数学解题中发挥着启发思路的重要作用。4在中学数学教学中，经常使用归纳法来培养学生的创造性思维，提出猜想，选择最有希望的证题路径（也是猜想），作“合情推理”，以便求得问题的最后解决。QAEFBCDP图7 例7如图（7），（8），已知E、F为平行四边形ABCD对角线DB的三等份点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，分析AQ、BQ之间的关系，并证明 QABDPCE图8解：这个问题我们可以通过几次画图测量，从测量结果中归纳猜测出AQ、BQ之间的关系，最后进行证明AQ长度BQ长度图（1）中 AQ长度BQ长度图（2）中 从以上测量的结果中我们可以归纳猜测AQ、BQ之间的关系是：AQ=3BQ 证明：在平行四边形ABCD中，DCAB DPAB DP：AB=DE：EB DP：QB=DF：FBE、F为对角线DB的三等份点DE：EB=1：2 DF：FB=2：1DP：AB=1：2 DP：QB=2：1AB：QB=4：1AQ：QB=3：1AQ=3QB以上归纳的基本过程是 ：从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。 高斯也提到过，他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续。运用归纳法由特殊性推导出公式所具有的一般性，在探究规律过程中能增进学生对知识的理解培养学生运用已有知识探索新知识的热情体现学生的主体作用这样能发展学生观察、归纳猜想、验证等能力，发展推理能力和有条理的表达能力，培养他们解决问题的能力，进而培养他们积极的学习态度。5案例3 幂的乘法案例。下面以初中数学教材中同底数幂的乘法运算为例，21复习导入。首先可创设问题情境：老师提问：an表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么？ 学生回答：（a叫底数，n 叫指数，an 叫做幂）提问：25 表示什么？可以写成什么形式？_答案：2222222观察分析请同学们先根据自己的理解，观察下列运算：2322=（222）（22）=22222=25；103102=（101010）（1010）=1010101010=1052223=（22）（222）=22222=25a3a2=(aaa) (aa)=aaaaa=a5;从以上的运算我们发现什么？（让学生归纳）学生回答：两个幂的运算，只要底数相同，结果就是底数不变指数相加。计算以下几个题看是否也有这样的规律呢？(1) ()3 ()4 (2) 5453(3) 2m 2 n (4)( )m()n (m,n是正整数)学生完成后回答：具有同样的性质23、导向深入，揭示规律那么aman，当m、n都是正整数时，如何计算呢？am an =(aaaaa)(aaa)=(aaa)=am+n m个a n个a (m + n)个a教师：将中间过程省略，就得到am an =am+n(m、n都是正整数）我们可以归纳出结论：两个同底数幂相乘，底数不变，指数相加。提出问题：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？计算：555453 ()2 ()3()4 ()5am an aP学生通过练习完成回答：具有最后学生通过上述的计算过程，观察、比较，归纳出同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加经历用归纳法探索同底数幂相乘法则的过程，让学生自己发现问题，这样能发展学生观察、