第七章一维波动方程的傅氏解.doc

第七章 一维波动方程的傅氏解（20）一、内容摘要1二阶线性偏微分方程可以分为如下四类：抛物型、双曲型、椭圆型和超双曲型方程。 抛物型： 传导和扩散方程； 椭圆型： Laplace方程，稳态问题； 双曲型： 波动或弦振动方程。2一般地，要完全描写一个具有确定解的物理问题，在数学上就是要构成一个定解问题。除了微分方程之外，构成定解问题还必须有边界条件和初始条件。 (1)初始条件：初始条件用于确定体系的历史状况，当所考察的物理现象是随时间变化的时候，需要确定体系的初始条件来唯一确定地描述该现象。 (2)边界条件：体系的边界会影响体系的物理状态, 体系的边界情况由边界条件确定.边界条件反应体系和外界的界面上的情况。常见的边界条件可以分为三类：第一类边界条件：第二类边界条件：第三类边界条件：上述三类边界条件,当函数时,分别称为第一、第二、第三类齐次边界条件。3定解问题问题的分类：数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件一起构成了定解问题。根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类：初值问题：定解条件仅有初值条件；边值问题：定解条件仅有边值条件；混合问题：定界条件有初值条件也有边值条件。 4分离变量法：（1）分离变量法的基本思想：将偏微分方程的问题转化为常微分方程的问题，先从中求出一些满足边界条件的特解，然后利用叠加原理，作出这些解的线性组合，令其满足余下的初始条件，从而得到定解问题的解。（2）分离变量法的特点：把偏微分方程化为常微分方程,从而使问题的求解得以简化。（3）分离变量法的适用范围：适用于波动问题，输运问题和稳定场问题。（4）分离变量法处理问题的步骤：对方程和边界条件分离变量，如果边界条件 是非齐次的，还要对边界条件进行处理。求解常微分方程的本征值问题。构造变量分离形式的特解。叠加特解，利用初始条件确定叠加系数 。 5确定弦的运动方程:（1）要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移 ； (2) 被研究的物理量遵循的物理定律:牛顿第二定律；(3) 按物理定律写出方程。6弦的自由振动：, ；弦的受迫振动：，(1) 有界弦的自由振动(泛定方程和边界条件都是齐次的情形), 一条两端固定的弦的自由振动，其定解问题为：通过分离变量法可解得：，.解的物理意义：这样，该定解问题的解可以看作一系列（频率、振幅、位相各异的）驻波波函数的叠加。所以分离变量法又称为驻波法。各驻波的振幅、相位由初始条件决定；频率则和初始条件无关，称为弦的本征频率。这种解又称为付氏解。（2）有界弦的受迫振动：其付氏解为：7本征值问题： 通过讨论我们知道，仅当 0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；方程相应于不同值的非零解称为本征函 函数。求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。8非齐次边界条件的处理：解边界条件的齐次化：为了采用分离变量法,我们需要把边界条件齐次化。引入新的未知函数和辅助函数，令如果可以找到一个函数，具备如下性质：则新的未知函数满足齐次边界条件：。辅助函数的选取： 我们的任务转化为寻找一个辅助函数，使它通过两点.满足要求的最简单的函数即： 这样一来，原来的定解问题便转化为关于的定解问题：二、习题1求定解问题： 2将下列方程分离变量：（1）（2）3求解下列各本征值问题。(1) (2) (3) (4) 4求上端固定，下端自由的弹簧，在自重作用下的纵向振动解。 5求处于一维无限深势阱中的粒子状态： 6长为的均匀杆，两端受压从而长度缩为，放手后自由振动，求解杆的这一振动。7把定解问题： 转化为带有齐次边界条件的定解问题。8设有一均匀细弦，其线密度为. 若端为自由端，端固定.初始速度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为. 求此弦的振动。 9设两端固定的轻弦，在初始时刻在弦的点处，轻轻拨开位移高度，然后让其自振动，试求其解的形式。10 已知一条两端固定的弦长10(),弦上各点初速度为零,初位移为,(此数由弦的材料决定)求弦做微小振动时的波函数。11化简偏微分方程 ，其中为已知常数，提示：令.12试用分离变量法求解混合问题 其中为已知函数，为充分光滑的已知函数。三、参考答案1解：(1) 令， 设则原定解问题可变为： 又令，其中 ，解之得： 其中(2) 令特解满足齐次方程和齐次边界条件，则，代入边界条件得从而得到决定的如下常微分方程边值问题，通解带入边界条件有：因为系数行列式所以即，无非零解。，通解带入边界条件有即，无非零解。，通解所以带入边界条件有所以特征函数为 再代入初始条件得：由正交性知所以，得到的常微分方程初值问题解得代入初始条件得所以因此(3) 当时由知识点6，并利用下面的积分等式： 就得到上述问题的解当（其中为某一整数）时，同样按照知识点6，以及利用下面的积分等式：就得上述定解问题的解：(4) 该定解问题所对应的齐次问题 的本征函数，即分离变量后所得本征值问题 的本征函数，亦即是，所以令其中由上面的式子可得：，解这个常微分方程的初值可得其解为：于是得：(5) 其中, 为常数此定解问题的泛定方程和边界条件是非齐次的,应先将边界条件化成齐次的。方程的自由项和边界条件都与变量无关,可通过变换将方程和边界条件都化成齐次的.令 将上式代入(0)式得 (4)为将方程和边界条件都化成齐次的,令满足条件,.这是一个二阶常系数线性非齐次常微分方程的边值问题。其解是 (5)于是有 ,; (6); (7). (8)用分离变量法,得到方程(6)式的满足边界条件(7)式的解: . 由(8)式中第二式可得于是有. (9)由(8)式中第一式和(15)式可得 其中的Fourier系数 所以原定解问题的解是 2解：（1） 令代入方程可得：因，所以可以用除等式两边，即得：，式中是任意常数，这是因为前面两个等式分别为两个独立变量的函数，二者相等只能是同时等于同一个常数，则分离出了两个常微分方程：（2） 先作变换，这里 ，则有 将上述结果代入原方程中，并乘以，则得：其中令，代入上式可得 因为，所以可以用除等式两边，即得 ，式中时任意常数，这是因为前面两个等式中分别为相互独立的变量与的函数，二者相等只能是同时等于同一个常数，这就分离出了关于的常微分方程，关于的任然是偏微分方程： 再令,则有 式中是任意常数，则分离出了两个常微分方程： 3解：(1) 若，则方程有解为，代入边条件得：任意，取，即是本征值，相应的本证函数为. 若，则方程有解为： ，代入边界条件得： ，当时，为零解。只有为任意常数，而时才有非零解，这时有：，解的本征值为：，相应的本证函数为：，已取任意常数，且因时，与时的解是线性相关的，故只取的正整数部分。（2）若，则方程有解为，代入边条件得： 解得，。即不是本征值。若，则方程有解为： ，代入边界条件得： 要求非零解，不能同时为零，只有系数行列式为零：即： 解的本征值为： 由方程还可解为： ，解得本征函数为:,已取任意常数，且因时，与时的解是线性相关的，故只取的正整数部分。（3）若，则方程有解为： 代入边界条件得：，解得：.即不是本征值。 若，则方程有解为：，代入边界条件，因所以，于是得到： .要求非零解，则有： ，此方程的所有正跟即为本征值，本征函数为：.（4）若，则方程有解为： 代入边界条件得：，解得：.即不是本征值。若，则方程有解为：，代入边界条件得到：，给出：，要求非零解，则有：，得方程： ，它的所有正根即为本征值，本征函数为：.4解：该定解问题为： 期中，为重力加速度。这是有界弦的纯振动当的情况，故套用相应公式立即可得该定解问题的解为： 期中为：代入解的表达式中，于是得：5解：这是量子力学中的一个问题。在量子力学中，微观粒子的状态是用波函数来描述，决定粒子状态变化的不再是Newton运动方程，而是薛定谔方程：，期中是势场。本题的定解问题可以直接用分离变量法来求解：(1) 令 则式变为即： 于是得： 将式代入边界条件，则由式可得： 若令，则式变为（2）解本征值问题、可得其本征值为： 这是能量本征值，相应的本征函数为： 这是第个定态（即不含时的）波函数。（3）将求得的本征值代入的方程并求解得： 由以上可得： 代入初始条件可得： 所以： 原定解问题的解为： 6解：本题的定解问题为： 我们可以得出其解为： 其中： 所以 而，于是： 7解：令使 即由此可解得 故有 （5）于是定解问题（1）-（4）便化为如下带有齐次边界条件的关于未知函数的定解问题： 8解: 所求定解问题为 （1）利用特征函数法求解该问题. 情形1 非共振问题，即. 该定解问题的特征值问题为 （2）其解为 ， ， 将按特征函数展开成Fourier级数得, （3）.令 （4）对于任意满足下面问题 （5）初值问题（5）中齐次方程的通解为，而非齐次方程的一个特解为因此，（5）的通解为（6）由初始条件可确定出.最后将所得到的代入到（4）中便得（1）的解.情形2 共振问题，即存在某个使得. 不妨假设. 此时，在情形1中求解所得到的不变. 当时，要求解以下问题 （7）（7）中齐次方程通解为. 为求得非齐次方程的一个特解，要将（7）中方程的自由項换为，而求以下问题的一个特解令并代入到上面非齐次方程中可得，故有，取其虚部便得（7）中方程的一个特解为. 结合以上所得结果便可得到（7）中方程的通解为，由初始条件确定出，由此可得. 将代入到（4）中便得在共振条件下（1）的解为可以证明: 是有界的. 而在的表达式中取，则中的基本波函数的振幅当逐渐变大时将趋于无穷大，最终要导致弦线在某一时刻断裂，这种现象在物理上称为共振. 注意到在上面求解过程中我们取周期外力的频率等于系统的第一固有频率，从而在第一波函数分量上发生共振. 一般地讲，当周期外力的频率很接近或等于系统的某个固有频率时，系统都会有共振现象发生，即弦线上一些点的振幅将随着时间的增大而不断变大，导致弦线在某一时刻断裂。9.解：上述问题等价于下下述定解问题:其中，是弦处于平衡位置时弦中的张力，是弦的线密度。则： 所以上述定解问题的解为： 10解: 设波函数为,相应的定解问题是,系数 =.所以.11解