简单的线性规划问题.doc

第十五课时 简单的线性规划【知识与技能】了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解、最优解等概念，能根据约束条件建立线性目标函数了解并初步应用线性规划的图解法解决一些实际问题【重点难点】重点：理解和用好图解法；难点：如何用图解法寻找线性规划的最优解【教学过程】一、 问题与探究已知不等式组表示的平面区域如图所示1在平面区域中，A，B，C的坐标分别是什么？2对于函数z2xy，当直线2xyz0经过A、B、C三点时，z的值分别是多少？提示：直线经过A(3,8)时，z的值为2；直线经过B(3,2)时，z的值为8，直线经过C(3，4)时，z的值为10.3当直线2xyz0经过平面区域时，z的最大值是多少？最小值呢？提示：z的最大值为10，最小值为8.4z值的大小与直线2xyz0的纵截距有何关系？提示：z随直线的纵截距的增大而变小知识归纳：名称意义约束条件由变量组成的线性约束条件由的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量的函数解析式线性目标函数关于的一次解析式可行解满足 的解可行域所有 组成的集合最优解使目标函数取得 的可行解线性规划问题在 条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题二、合作与探究类型1 求线性目标函数的最值 【例1】设z2xy，式中变量x，y满足条件求z的最大值和最小值小结：1本题中，z2xy变形为y2xz，z代表直线在y轴上的截距，所以越向上平移，z越大，反之则越小，解决这种题目，首先要搞清z 的几何意义2(1)解二元线性规划问题的一般步骤是：画：在直角坐标平面上画出可行域和直线axby0(目标函数为zaxby)；移：平行移动直线axby0，确定使zaxby取得最大值或最小值的点；求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；答：给出正确答案(2)一般地，对目标函数zaxby，若b0，则纵截距与z同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_小结：1本题属逆向思维类型，解答时要画出图形，使用数形结合的方法2解答此类问题首先要熟练线性规划问题的求解程序和确定最优解的方法，还要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，对边界直线的斜率与目标函数对应的直线的斜率要认真对照分析【练习】在本例条件下，若目标函数zaxy(a0)取得最大值的点有无数个，求a的取值范围类型3 非线性目标函数的最优解问题 【例3】变量x，y满足(1)设z，求z的最小值； (2)设zx2y2，求z的取值范围小结：1本题巧妙地运用目标函数z的几何意义，结合可行域把问题解决，这种方法值得借鉴2非线性目标函数求最值的常见模型：距离模型和斜率模型(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；表示点(x，y)与点(a，b)的距离(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键【练习】实数x，y满足条件则z的取值范围是_类型4 利用线性规划解决实际问题【例4】某公司计划同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表：电子琴(架)洗衣机(台)月供应量成本(百元)3020300劳动力510110单位利润(百元)68试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？小结：1本题的关键是建立线性规划的数学模型，这也是求解这类应用题的难点2线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按作图、平移、求值的步骤完成即可3要准确画图，尤其是多条直线斜率相当时，一定要画准，才能准确地找到最优解【练习】某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A，B两种规格的金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格的金属板可造甲，乙两种产品各6个问A，B两种规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？三、课时小结1用图解法求线性目标函数的最值时，由于关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图一定要准确；其次要弄清z的含义，z总是与直线的纵截距有关；平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，以确定最优解2解决非线性目标函数问题时，要首先考虑目标函数的几何意义，再结合图形解决3在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析四、课时作业1已知，是方程x2ax2b0的两根，