曲边梯形的面积与定积分.doc

高二数学 理 学而不思则罔 思而不学则殆 选修 2 2 导数 1 课题 曲边梯形的面积与定积分课题 曲边梯形的面积与定积分 学案编号 学案编号 2201322013 制作人 马中明制作人 马中明 审核 高二数学审核 高二数学 时间 时间 2012 3 62012 3 6 学习目标学习目标 知识与技能 知识与技能 通通过过求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积和和变变速速直直线线运运动动的的路路程程 了了解解定定积积分分的的背背景景 借借助助于于几几何何直直观观体体会会定定积积分分的的基基本本思思想想 了了解解定定积积分分的的概概念念 能能用用定定积积分分法法求求简简单单的的定定 积积分分 3 3 理解掌握定积分的几何意义和性质 理解掌握定积分的几何意义和性质 过程与方法 过程与方法 通过问题的探究体会逼近 以直代曲的数学思想方法通过问题的探究体会逼近 以直代曲的数学思想方法 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过分割 逼近的观点体会定积分的来历 使学生从本质上理解定积分的几何意义 从而激发通过分割 逼近的观点体会定积分的来历 使学生从本质上理解定积分的几何意义 从而激发 学生学习数学的兴趣 学生学习数学的兴趣 学习重点学习重点 定定积积分分的的概概念念 用用定定义义求求简简单单的的定定积积分分 定积分的几何意义 定积分的几何意义 学习难点学习难点 定定积积分分的的概概念念 定积分的几何意义定积分的几何意义 学习过程学习过程 一 一 情景引入 情景引入 我们在小学 初中就学习过求平面图形面积的问题 但基本是规则的平面图形 如矩形 三角我们在小学 初中就学习过求平面图形面积的问题 但基本是规则的平面图形 如矩形 三角 形 梯形 而现实生活中更多的是不规则的平面图形 对于不规则的图形我们该如何求面积 形 梯形 而现实生活中更多的是不规则的平面图形 对于不规则的图形我们该如何求面积 比如我们山东省的国土面积 比如我们山东省的国土面积 二 二 合作探究 合作探究 例题 对于由例题 对于由 y xy x2 2与与 x x 轴及轴及 x 1x 1 所围成的面积该怎样求 所围成的面积该怎样求 该图形为曲边三角形 是曲边梯形的特 该图形为曲边三角形 是曲边梯形的特 殊情况 殊情况 探究探究 1 1 分割 怎样分割 分割成多少个 分成怎样的形状 有几种方案 分割 怎样分割 分割成多少个 分成怎样的形状 有几种方案 探究探究 2 2 采用哪种好 把分割的几何图形变为代数的式子 采用哪种好 把分割的几何图形变为代数的式子 高二数学 理 学而不思则罔 思而不学则殆 选修 2 2 导数 2 特别帮助 特别帮助 12 22 32 n2 n n 1 1 6 2n 1 探究探究 3 3 如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多 如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多 探究探究 4 4 采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样 其意义是什么 采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样 其意义是什么 变式训练 求直线变式训练 求直线 x 0 x 1 y 0 x 0 x 1 y 0 与曲线与曲线 y xy x2 2所围成的曲边梯形的面积 所围成的曲边梯形的面积 小结 小结 1 1 对于一般曲边梯形 如何求面积 对于一般曲边梯形 如何求面积 2 2 求曲边梯形面积的方法步骤是什么 求曲边梯形面积的方法步骤是什么 x y O y x2 图 3 高二数学 理 学而不思则罔 思而不学则殆 选修 2 2 导数 3 三 三 概念形成 概念形成 定积分的概念定积分的概念 从前面求曲边图形面积的过程发现 可以通过从前面求曲边图形面积的过程发现 可以通过 分割 近似代替 求和 取极限得到解决 且分割 近似代替 求和 取极限得到解决 且 都归结为求一个特定形式和的极限 都归结为求一个特定形式和的极限 i n i n n i i x f n xfS 11 0 1 limlim 事实上 许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限事实上 许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限 一般地 设函数一般地 设函数在区间在区间上连续 用分点上连续 用分点 f x a b 0121iin axxxxxxb 将区间将区间等分成等分成个小区间 在每个小区间个小区间 在每个小区间上取一点上取一点 作和式 作和式 a bn 1 ii xx 1 2 i in i n i n i i f n ab xf 11 当当 时 上述和式无限接近某个常数 这个常数叫做函数 时 上述和式无限接近某个常数 这个常数叫做函数在区间在区间上的定积分 上的定积分 n f x a b 记为 记为 即即 b a f x dx b a f x dx i n i n f n ab 1 lim 其中函数其中函数叫做叫做 叫做叫做 变量 区间变量 区间为为 区间 区间 积分积分 积分积分 f xx a bba 说明 说明 1 1 定积分 定积分是一个常数是一个常数 b a f x dx 2 2 用定义求定积分的一般方法是 用定义求定积分的一般方法是 分割 分割 等分区间等分区间 近似代替 取点近似代替 取点 n a b 1 iii xx 求和 求和 取极限 取极限 1 n i i ba f n 1 lim n b i an i ba f x dxf n 3 3 曲边图形面积 曲边图形面积 b a Sf x dx 定积分的几何意义定积分的几何意义 从几何上看 如果在区间从几何上看 如果在区间 a b a b 上的函数上的函数连续且恒连续且恒 f x 有有 那么定积分 那么定积分表示表示由直线由直线 0f x b a f x dx 和曲线和曲线所围成的曲边所围成的曲边 xa xb ab 0y yf x 高二数学 理 学而不思则罔 思而不学则殆 选修 2 2 导数 4 梯形的面积 梯形的面积 四 四 典例分析 典例分析 例例 1 利用定积分定义 证明利用定积分定义 证明 其中 其中 a b 均为常数且均为常数且 a b abdx b a 1 例例 2 2 用定积分表示阴影部分的面积 不要求计算 用定积分表示阴影部分的面积 不要求计算 例例 3 1 计算定积分 计算定积分 2 2 2 1 1 xdx 2 2 1 xdx 五 五 巩固提高 巩固提高 1 1 定积分 定积分 c c 为常数 的几何意义是为常数 的几何意义是 b a cdx 2 2 由 由 y sinx y sinx x 0 x x 0 x y 0 y 0 所围成图形的面积写成定积分的形式是所围成图形的面积写成定积分的形式是 2 3 3 定积分 定积分的大小的大小 b a dxxf A A 与与和积分区间和积分区间有关 与有关 与的取法无关 的取法无关 B B 与与有关 与区间有关 与区间及及的取法无关 的取法无关 xf ba i xf ba i C C 与与和和的取法有关 与积分区间的取法有关 与积分区间无关 无关 D D 与与 区间 区间和和的取法都有关的取法都有关 xf i ba xf ba i 4 下列等式成立的个数是 下列等式成立的个数是 1 0 1 0 dx