2009年高考试题文科数学(重庆卷)

20092009 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题卷 文史类 数学试题卷 文史类 本试卷满分本试卷满分 150150 分 考试时间分 考试时间 120120 分钟分钟 第第 卷卷 考生注意 考生注意 1 答题前 务必将自己的姓名 准考证号 填写清楚 并贴好条形码 请认真核准 条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 本卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 4 所有题目必须在答题卡上作答 在试题卷上答题无效 5 考试结束后 将试题卷和答题卡一并交回 参考公式 参考公式 如果事件互斥 那么AB P ABP AP B 如果事件相互独立 那么AB P A BP A P B AA 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么次独立重复试验中恰好发生次的APnk 概率 1 01 2 kkn k nn P kC PPkn 以为半径的球体积 R 3 4 3 VR 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个备选项中 分 在每小题给出的四个备选项中 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 1 圆心在轴上 半径为 1 且过点 1 2 的圆的方程为 y A B 22 2 1xy 22 2 1xy C D 22 1 3 1xy 22 3 1xy 答案 A 解法解法 1 1 直接法 设圆心坐标为 则由题意知 解得 0 b 2 1 2 1ob 故圆的方程为 2b 22 2 1xy 解法解法 2 2 数形结合法 由作图根据点到圆心的距离为 1 易知圆心为 0 2 1 2 故圆的方程为 22 2 1xy 解法解法 3 3 验证法 将点 1 2 代入四个选择支 排除 B D 又由于圆心在轴上 y 排除 C 2 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 A 若一个数是负数 则它的平方不是正数 B 若一个数的平方是正数 则它是负数 C 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 D 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 答案 B 解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换 因此逆命题为 若 一个数的平方是正数 则它是负数 3 的展开式中的系数是 6 2 x 3 x A 20B 40C 80D 160 答案 D 解法 1 设含的为第 则 令 得 故展 3 x1r 1Tr 6 2 rrr n C x 63r 3r 开式中的系数为 3 x 33 6 2160C 解法 2 根据二项展开式的通过公式的特点 二项展开式每一项中所含的与 2 分得x 的次数和为 6 则根据条件满足条件的项按 3 与 3 分配即可 则展开式中的系 3 x 3 x 数为 33 6 2160C 4 已知向量若与平行 则实数的值是 1 1 2 x aba b 4b2ax A 2B 0C 1D 2 答案 D 解法 1 因为 所以由于 1 1 2 abx 3 1 42 6 42 abxbax 与平行 得 解得 ab 42ba 6 1 3 42 0 xx 2x 解法 2 因为与平行 则存在常数 使 即ab 42ba 42 abba 根据向量共线的条件知 向量与共线 故 21 41 ab ab2x 5 设是公差不为 0 的等差数列 且成等比数列 则的前项和 n a 1 2a 136 a a a n an n S A B C D 2 7 44 nn 2 5 33 nn 2 3 24 nn 2 nn 答案 A 解析 设数列的公差为 则根据题意得 解得 n ad 22 22 25 dd 或 舍去 所以数列的前项和 1 2 d 0d n an 2 1 17 2 2244 n n nnn Sn 6 下列关系式中正确的是 A B 000 sin11cos10sin168 000 sin168sin11cos10 C D 000 sin11sin168cos10 000 sin168cos10sin11 答案 C 解析因为 由sin160sin 18012 sin12 cos10cos 9080 sin80 于正弦函数在区间上为递增函数 因此 sinyx 0 90 sin11sin12sin80 即 sin11sin160cos10 7 已知 则的最小值是 0 0ab 11 2 ab ab A 2B C 4 D 52 2 答案 C 解析因为当且仅当 且 1111 2222 4ababab ababab 11 ab 即时 取 号 1 ab ab ab 8 12 个篮球队中有 3 个强队 将这 12 个队任意分成 3 个组 每组 4 个队 则 3 个强队 恰好被分在同一组的概率为 A B C D 1 55 3 55 1 4 1 3 答案 B 解析 因为将 12 个组分成 4 个组的分法有种 而 3 个强队恰好被分在同一 444 1284 3 3 C C C A 组分法有 故各强队恰好被分在同一组的概率为 3144 3984 2 2 C C C C A 314424443 9984212843 3 C C C C A C C C A 55 9 在正四棱柱中 顶点到对角线和到平面的距离分别 1111 ABCDABC D 1 B 1 BD 11 ABCD 为和 则下列命题中正确的是 hd A 若侧棱的长小于底面的变长 则的取值范围为 h d 0 1 B 若侧棱的长小于底面的变长 则的取值范围为 h d 2 2 3 23 C 若侧棱的长大于底面的变长 则的取值范围为 h d 2 3 2 3 D 若侧棱的长大于底面的变长 则的取值范围为 h d 2 3 3 答案 C 解析 设底面边长为 1 侧棱长为 过作 在 0 1 B 1111 B HBD BGAB 中 由三角形面积关系得 11 Rt BB D 2 111 2 2B DB D 设在正四棱柱中 由于 111 1 2 1 2 2 B D BB hB H B D 1 BCAB BCBB 所以平面 于是 所以平面 故BC 11 AAB B 1 BCBG 1 BG 11 ABCD 为点到平面 的距离 在中 又由三角形面积关系得 1 BG 11 ABCD 11 Rt AB B 于是 111 1 2 11 AB BB dBG AB 2 2 2 211 21 2 2 h d 于是当 所以 所以1 2 2 21 23 11 32 2 3 1 3 h d 10 把函数的图像向右平移个单位长度 再向下平移个单位长度后 3 3f xxx 1 Cuv 得到图像 若对任意的 曲线与至多只有一个交点 则的最小值为 2 C0u 1 C 2 Cv A B C D 2468 答案 B 解析 根据题意曲线 C 的解析式为则方程 3 3 yxuxuv 即 即 33 3 3xuxuvxx 23 3 3 0ux uuv 对任意恒成立 于是的最大值 令 3 1 3 4 vuu 0u 3 1 3 4 vuu 则由此知 3 1 3 0 4 g uuu u 2 33 3 2 2 44 g uuuu 函数在 0 2 上为增函数 在上为减函数 所以当时 g u 2 2u 函数取最大值 即为 4 于是 g u4v 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 把答案写在答题卡相应位置上 分 把答案写在答题卡相应位置上 11 若是小于 9 的正整数 是奇数 是 3 的倍数 Un n AnU n BnU n 则 U AB 答案 2 4 8 解析 则所以 1 2 3 4 5 6 7 8 U 1 3 5 7 3 6 AB 所以 1 3 5 6 7 AB 2 4 8 U AB 12 记的反函数为 则方程的解 3 log 1 f xx 1 yfx 1 8fx x 答案 2 解法 1 由 得 即 于是由 3 log 1 yf xx 1 3yx 1 31fxx 解得318x 2x 解法 2 因为 所以1 8fx 3 8 log 8 1 2xf 13 5 个人站成一排 其中甲 乙两人不相邻的排法有 种 用数字作答 答案 72 解析 可分两个步骤完成 第一步骤先排除甲乙外的其他三人 有种 第二步将甲 3 3 A 乙二人插入前人形成的四个空隙中 有种 则甲 乙两不相邻的排法有 2 4 A 种 32 34 A A72 14 从一堆苹果中任取 5 只 称得它们的质量如下 单位 克 125 124 121 123 127 则该样本标准差 克 用数字作答 s 答案 2 解析 因为样本平均数 则样本方差 1 125 124 121 123 127 124 5 x 所以 222222 1 10313 4 5 s 2s 15 已知椭圆的左 右焦点分别为 若椭圆上存 22 22 1 0 xy ab ab 12 0 0 FcF c 在一点使 则该椭圆的离心率的取值范围为 P 1221 sinsin ac PFFPF F 答案 21 1 解法 1 因为在中 由正弦定理得 12 PFF 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知 得 即 1211 ac PFPF 12 aPFcPF 设点由焦点半径公式 得 00 xy 1020 PFaex PFaex 则 00 a aexc aex 记得由椭圆的几何性质知 0 1 1 a caa e x e cae e 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得解得 2 210 ee 2121 0 1 eee 或 又 故椭圆的离心率 21 1 e 解法 2 由解析 1 知由椭圆的定义知 12 c PFPF a 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 20 a PFacaccca ca 则既 所以以下同解析 1 2 210 ee 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 小问 7 分 小问 6 分 设函数的最小正周期为 22 sincos 2cos 0 f xxxx 2 3 求的最小正周期 若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到 求 yg x yf x 2 的单调增区间 yg x 解 22 sincos 2cosf xxxx 22 sincossin212cos2xxxx sin2cos222sin 2 2 4 xxx 依题意得 故的最小正周期为 22 23 3 2 依题意得 5 2sin 3 22sin 3 2 244 g xxx 由 解得 5 232 242 kxkkZ 227 34312 kxkkZ 故的单调增区间为 yg x 227 34 312 kkkZ 17 本小题满分 13 分 问 7 分 问 6 分 某单位为绿化环境 移栽了甲 乙两种大树各 2 株 设甲 乙两种大树移栽的成活率 分别为和 且各株大树是否成活互不影响 求移栽的 4 株大树中 5 6 4 5 至少有 1 株成活的概率 两种大树各成活 1 株的概率 解 设表示第株甲种大树成活 设表示第 株乙种大树成活 k Ak1 2k l Bl 1 2l 则独立 且 1212 A A B B 1212 54 65 P AP AP BP B 至少有 1 株成活的概率为 22 12121212 11899 1 1 1 65900 P A AB BP AP AP BP B 由独立重复试验中事件发生的概率公式知 两种大树各成活 1 株的概率为 11 22 5 14 11084 6 65 5362545 PCC 18 本小题满分 13 分 问 7 分 问 6 分 如题 18 图 在五面体中 ABCDEFABDC 四边形为平行四边形 2 BAD 2CDAD ABFE 平面 求 FA ABCD3 7FCED 直线到平面的距离 ABEFCD 二面角的平面角的正切值 FADE 解法一 平面 AB 到面的距离 ABDC DC AEFCD EFCD 等于点 A 到面的距离 过点 A 作于 G 因 故EFCDAGFD 2 BAD ABDC 又平面 由三垂线定理可知 故 CDAD FA ABCDCDFD CDFAD 面 知 所以 AG 为所求直线 AB 到面的距离 CDAG EFCD 在中 RtABC 22 945FDFCCD 由平面 得AD 从而在中 FA ABCDFA Rt FAD 22 541FAFDAD 即直线到平面的距离为 22 5 55 FA AD AG FD ABEFCD 2 5 5 由己知 平面 得AD 又由 知 FA ABCDFA 2 BAD ADAB 故平面 ABFEAD 所以 为二面角的平面角 记为 DAAE FAE FADE 在中 由得 从RtAED 22 743AEEDAD ABCDAFEBAA 而 2 AFE 在中 故RtAEF 22 3 12FEAEAF tan2 FE FA 所以二面角的平面角的正切值为 FADE 2 解法二 如图以 A 点为坐标原点 的方向为的正方向建立空间直 AB AD AF x y z 角坐标系数 则 A 0 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 设可得 由 00 0 0 0 Fzz 0 2 2 FCz 3FC 即 解得 222 0 223z 0 0 1 F AB DC 面 所以直线 AB 到面的DC EFCDEFCD 距离等于点 A 到面的距离 设 A 点在平面上的射影点为 则EFCDEFCD 111 G xy z 因且 而 111 AGxy z 0AG DF 0AG CD 0 2 1 DF 此即 解得 2 0 0 CD 11 1 20 20 yz x 1 0 x 知 G 点在面上 故 G 点在 FD 上 yoz 故有 GFDF A 111 1 GFxyz 1 1 1 2 y z 联立 解得 2 4 0 5 5 G 为直线 AB 到面的距离 而 所以 AG EFCD 2 4 0 5 5 AG 2 5 5 AG A B C D E F x y z G 因四边形为平行四边形 则可设 由ABFE 00 0 1 0 E xx 0 2 1 EDx 得 解得 即 故 7ED 22 0 217x 0 2x 2 0 1 E 2 0 1 AE 由 因 故为二面角 0 2 0 AD 0 0 1 AF 0AD AE 0AD AF FAE 的平面角 又 所以FADE 2 0 0 EF 2EF 1AF tan2 EF FAE FA 19 本小题满分 12 分 问 7 分 问 5 分 已知为偶函数 曲线过点 2 f xxbxc yf x 2 5 g xxa f x 求曲线有斜率为 0 的切线 求实数的取值范围 yg x a 若当时函数取得极值 确定的单调区间 1x yg x yg x 解 为偶函数 故即有 2 f xxbxc fxf x 解得 22 xbxcxbxc 0b 又曲线过点 得有 yf x 2 5 2 25 c 1c 从而 曲线 32 g xxa f xxaxxa 2 321g xxax 有斜率为 0 的切线 故有有实数解 即有实数解 此时 yg x 0g x 2 3210 xax 有解得 2 4120a A 所以实数的取值范围 33 a a 33 a 因时函数取得极值 故有即 解得1x yg x 1 0g 3210a 2a 又 令 得 2 341 31 1 g xxxxx 0g x 12 1 1 3 xx 当时 故在上为增函数 1 x 0g x g x 1 当时 故在上为减函数 1 1 3 x 0g x g x 1 1 3 当时 故在上为增函数 1 3 x 0g x g x 1 3 20 本小题满分 12 分 问 5 分 问 7 分 已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为 离心O 5 5 x 率 5e 求该双曲线的方程 如题 20 图 点的坐标为 是圆A 5 0 B 上的点 点在双曲线右支上 求 22 5 1xy M 的最小值 并求此时点的坐标MAMB M 解 由题意可知 双曲线的焦点在轴上 故可设双曲线的方程为x 设 由准线方程为得 由 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 cab 5 5 x 2 5 5 a c 5e 得 解得 从而 该双曲线的方程为 5 c a 1 5ac 2b 2 2