2014秋华师本科《数学分析选论》作业.doc

2014春华师本科数学分析选论作业1.计算，其中为四分之一的边界，依逆时针方向.解 设，则 原式 .2. 设 是某可微函数的全微分，求的值.解 不妨设该可微函数为，则按定义可得 ，由此知. 从而又得 .联系到上面第一式，有 或 ,从而 .3. 设, 求.解 方程组两边对求偏导得到 , 因此有，。方程组两边对求偏导得到, 因此 4. 设由方程 所确定，试求.解 对原方程取对数，得，并该式两端对求导，有，即 ，再对上式两端对求导，得 .5. 求椭圆面在处的切平面方程与法线方程.解 设. 由于在全空间上处处连续, 在处 于是, 得切平面方程为,即 .法线方程为 6. 设是由矩形区域，围成, 试求的值.解 由于 则 7. 计算, 其中为由平面, , , , 与所围成.解 在平面上的投影区域为, 于是8. 计算 ， 其中L是摆线 的一段 （ ）.解 由, , 可得, , 则 =9. 求曲面被平面截下部分之曲面面积S.解 由得 ，从而 。注意到该曲面上的点关于平面对称，且其上半部分在平面上的投影为区域，从而有 .10. 试讨论函数 在处的可微性.解. 因为, 所以, ,其中 , ， 由此知在处可微.11. 求, 其中是点A(2,0)到点O(0,0)的上半圆周.解 用轴上直线段, 使上半圆周和直线段构成封闭曲线. 设, .有.于是,由格林公式知=.其中在直线段上, 有, , 则.因此 12. 计算曲面积分, 其中为圆锥面被曲面所割下的部分.解 对于圆锥面，则 ，在平面上投影区域为：，于是 13.求, 其中S是边长为的正方体的外侧.解 利用高斯公式, 得14 设 , 而 , . 求, . 和解. 由于 , , , , 于是, .15. 设是由方程，求.解 方程两边对求偏导，有, 因而 . 方程两边对求偏导，有 ,因而 . 故 .16. 设由方程 所确定，试求.解 对原方程两端对求导，可得 ，从而知. 17 试求椭球面内接最大长方体的体积.解 易知，此内接长方体的六个面必分别平行于坐标平面。设此内接最大长方体在第一象限中的坐标为，由对称性可知该长方体的体积为，从而问题转化为求函数在条件下的最值问题。设辅助函数为 , , 则有 .从中可得出唯一解 ， 。根据几何性质不难推知，该椭球面之内接长方体在第一象限的顶点为时达到最大体积 18 设是由直线 和 围成, 试求 的值.解 先对积分后对积分 .由分部积分法, 知 .19 设=, 试求的值.解 利用极坐标变换20. 求曲面被柱面与平面所割下部分的面积.解 曲面方程表示为 , , , 于是所求面积S=.21 计算，其中为以，为顶点的正方形封闭围线.解 段：直线方程 ，.段：直线方程 ，.段：直线方程 ，段：直线方程 ，于是有， =0 .22 计算 ， 其中 S是由曲面与平面所围成立体表面的外侧.解 曲面S1取负侧，而投影区域为D1：，于是应用极坐标可得，曲面S2取正侧，而投影区域为D2：2，于是应用极坐标可得，于是, .23 试用变量代换计算下面的积分（1） , D由围成.（2）, .解 （1）令，则D变成，且积分成为（ （2） 令，则D变成，且原积分成为24计算下列积分（1） ， 是中的一条简单光滑闭曲线，在上连续可微. （2），是从点到点的直线段, 是上的连续函数.解 （1）由 可知 ， , 其中是所围区域，由格林公式, 可得 .（2）由 , 可知，当时，有 。 从而取点。 并作，使形闭曲线，记 所围区域为，于是25 判别下列表达式.是否某函数的全微分，若是的话，求出这个函数.解 设，因为, 则是某函数的全微分.且 .26 设 证明:.证明 对 由于 可知当时,便有 . 故27 证明： 方程所确定的隐函数 满足.证明 对方程两边分别对和求偏导数，有，分别解得 ，于是，得到 28 设 证明：不存在.证明 注意到,它随而异，因此不存在.29.设在上可微函数满足+，试证：在极坐标系里只是的函数.证 对于复合函数