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第一矩阵的初等变换备课讲稿 第一节矩阵的初等变换扬州大学数学科学学院本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大.引例)1( 一、消元法解线性方程组求解线性方程组?,97963,42264,42,224321432143214321x x x xx x x xx x x xx x x x1342分析用消元法解下列方程组的过程2?解解)(1B)1()(2B?2?132?,97963,232,22,424321432143214321x x x xx x x xx x x xx x x x13422?132?33?14?,3433,6355,0222,424324324324321x x xx x xx x xx x x x1342于是解得?33443231xx xx x.3为任意取值中其中x方程组的解可记作或令,3c x?,3344321?cxxxxx.为任意常数中其中c?30340111c x即（ （2）小结1上述解方程组的方法称为消元法2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（ （1）交换方程次序；（ （2）以不等于的数乘某个方程；（ （3）一个方程加上另一个方程的k倍ij（与相互替换）（以替换）i k?ij（以替换）i k?i3上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换j i)(A若),(B?)(B则);(Aj i?k?)(A若),(Bj i)(A若),(Bi k?)(B则);(Ai k?)(B则).(Ak?j i因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，量并未参与运算若记?97963422644121121112)(b A B则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组 （1）的增广矩阵）的变换定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:?）；记作两行对调两行（对调j ir r j i?,1?;02乘以某一行的所有元素数以数?k）记作行乘（第k r k ii?,?.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的j ikr ri k jk? 二、矩阵的初等变换定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)j ir r?k ri?逆变换;j ir r?逆变换;)1(k rkri i?或j ikr r?逆变换.)(j i j ikr r rk r?或等价关系的性质；反身性）（A1?A;B,B A2?则若对称性）（C.A C,B B,A3?则若）传递性（等价，记作与就称矩阵，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵B A B AB A具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换解方程组 （1）?97963422644121121112B197963211322111241211B?21r r?23?r331000620000111041211B?979632113221112412111B13322r rr r?143r r?234330635500222041211B?13322r rr r?143r r?23252r rr?243r r?500000310003011040101B?310006200001110412113B43r r?342r r?400000310000111041211B?43r r?342r r?21r r?32r r?对应的方程组为5B?33443231xx xx x方程组的解可记作或令,3c x?3344321cxxxxx?30340111c.为任意常数中其中c.54都称为行阶梯形矩阵和矩阵B B特点（ （1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；500000310003011040101B?（ （2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.15的其他元素都为零列，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵B.,A n m和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵?注意行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形?000003100030110401015B214c c c?3215334c c c c?例如，F?00000001000001000001?0000030100310104100143c c?00000301003001040001.的标准形称为矩阵矩阵B F.为零阵，其余元素全的左上角是一个单位矩F标准形总可经过初等变换化为矩阵A n m?n mrOOO EF?.,的行数行阶梯形矩阵中非零行就是三个数唯一确定，其中此标准形由r r n m特点所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.AF 三、小结1.初等行(列)变换?;1j i j ic c r r?;2k c k rii?.3j i j ikc c kr r?初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同3.矩阵等价具有的性质?;1反身性?;2对称性?.3传递性2.A初等变换B.B A?思考题已知四元齐次方程组及另一?00:4221x xx xI四元齐次方程组的通解为?II?.,1,2,2,10,1,02121R k k k kT T?.,;,?说明理由有若没求出来若有是否有非零公共解与问问II I思考题解答解解?得的通解代入将I II?0202221212k k kk k k.21k k?的公共解为与故I II?T T Tk kk,11,2,2,10,1,0221?所有非零公共解为?.01,1,1,1?k kT第二节矩阵的秩扬州大学数学科学学院.,数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形，行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵n mA?.,12阶子式的称为矩阵阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义k Ak Ak nkm kkkA n m? 一、矩阵秩的概念矩阵的秩.)(0102等于零并规定零矩阵的秩的秩，记作称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于）全等阶子式（如果存在的话，且所有式阶子的中有一个不等于设在矩阵定义A R Ar ADr DkA?.)(子式的最高阶数中不等于零的是的秩矩阵A A R A n m?，对于TA).()(A R A RT?显有.个阶子式共有的矩阵knkm CCkA nm?例例1.174532321的秩求矩阵?A解解中，在在A，阶子式只有一个的又A A3?.03221?，且0?A.2)(?A R例例2.00000340005213023012的秩求矩阵?B解解行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，3B?.4阶子式全为零的所有B?,0400230312?而.3)(?B R例33，求该矩阵的秩已知?510231202231A,022031?102120231?502320231?解解计算A的3阶子式，,0?,0?510312223?512310221?,0?,0?.0?.2?A R做初等变换，对矩阵?510231202231A另解,000031202231510231202231?显然，非零行的行数为2，?.2?A R此方法简单！.,梯形等行变换把他变为行阶总可经过有限次初因为对于任何矩阵n mA?问题经过变换矩阵的秩变吗？?.,1B R A R B A?则若定理证证 二、矩阵秩的求法).()(B R A RB A?则，经一次初等行变换变为先证明若.0)(?rD r A r A R阶子式的某个，且设时，或当B A B Ak r r rij i?时，分三种情况讨论当B Aj ikr r?,.rrD DB相对应的子式中总能找到与在,rrrrrr kD D DDDD?或或由于.)(0r B R Dr?，从而因此行；行但不含第中含第）（行；行和第中同时含第）（行；中不含第）（j iDj iDi Drrr321.)(,0)2(),1(r B R DDD Brrr?故子式对应的中与两种情形，显然对，对情形)3(,?r r j i j irD kD rk rkr rD?,0?rD若,?非零子式阶行的中有不含第行知中不含第因r i A iDr.)(r B R?,0?rD若).()(B R A RB A?，则经一次初等行变换变为若,AB为也可经一次初等变换变又由于.)(,0r B R DDrr?也有则).()(B R A R?因此).()(A RB R?故也有经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变).()(,B R A RB A?也有经初等列变换变为设,B A经初等列变换变为设).()(),(,B R A RB AB A?则即经有限次初等变换变为若综上,T TB A经初等行变换变为则),()(T TB RA R?),()(),()(T TB RB RA RA R?且).()(B RA R?证毕初等变换求矩阵秩的方法把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4的一个最高阶非零子式秩，并求的求矩阵设AA A,41461351021632305023?阶梯形矩阵作初等行变换，变成行对对A解解?41461351021632305023A?0502335102163234146141r r?41461351021632305023A?050233510211340414614241r rr r?1281216011791xx34041461?41461351021632305023A4241r rr r?141332r rr r?84000840001134041461?00000840001134041461由阶梯形矩阵有三个非零行可知.3)(?A R233r r?244r r?34r r?.的一个最高阶子式求求A,3)(?A R?.3阶阶的最高阶非零子式为知知A阶子式共有的的3A.403534个?C C阶梯形矩阵为的行则矩阵记),(),(42154321a a a Ba a a a a A?的行阶梯形矩阵，察考察A?000400140161,3)(?B R?的前三行构成的子式算计算B.3阶非零子式中必有故故B.4个个且共有623502523?1106502523?116522?.016?则这个子式便是的一个最高阶非零子式.A，阶可逆矩阵设A n,0?A?,A A的最高阶非零子式为?,)(n A R?.,E A E A的标准形为单位阵故.为满秩矩阵，故称可逆矩阵可逆矩阵的秩等于阶数.奇异矩阵为降秩矩阵例55?4321,6063324208421221b A设.)(的秩及矩阵阵求矩阵b AB A?解解),(b AB B?的行阶梯形矩阵为设分析的行阶梯形矩阵，就是则A A).()(),(B RA Rb AB及中可同时看出故从?46063332422084211221B?13600512000240011221131222r rr r?143r r?100005000001xx1221?000001000001xx12212322r rr?243r r?53?r34r r?.3)(,2)(?B RA R 三、小结 (2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法 (1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);思考题?)()(,是否相等与为任一实矩阵设A RA A R AT思考题解答答答相等.,0?x因为对于任一实向量,0时时当当?Ax,0?Ax AT必有有时当反之当,0?Ax AT0?Ax AxT T即?0?Ax AxT;0?Ax由此可知,00同解与与?Ax A AxT?.A RA A RT?故第三节线性方程的解扬州大学数学科学学院?.01n A Rx A nn m?矩阵的秩的充分必要条件是系数有非零解元齐次线性方程组定理 一、线性方程组有解的判定条件的解讨论线性方程组的秩，和增广矩阵如何利用系数矩阵b AxB A?问题证证必要性.?,n Dn A n A R阶非零子式中应有一个则在设设?,根据克拉默定理个方程只有零解所对应的n Dn从而有非零解，组设方程组0?Ax这与原方程组有非零解相矛盾，?.n A R?即即不能成立n A R?)(充分性.?,n r A R?设设.个自由量从而知其有r n?任取一个自由量为，其余自由量为，即可得方程组的一个非零解.个非零行，的行阶梯形矩阵只含则r A证证必要性,有解设方程组b Ax?,B RA R?设设则B B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，?.,2的秩阵的秩等于增广矩矩阵的充分必要条件是系数有解元非齐次线性方程组定理b ABAb xA nn m?这与方程组有解相矛盾.?.B RA R?因此并令个自由量全取00，r n?即可得方程组的一个解充分性.?,B RA R?设设?,n r r B RA R?设设证毕个非零行，的行阶梯形矩阵中含则r B其余个作为自由量,r n?把这行的第一个非零元所对应的量作为非自由量,r小结有唯一解b Ax?n B RA R?n B RA R?有无穷多解.b Ax?方程组的通解性程组任一解，称为线定义含有个参数的方齐次线性方程组系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；例例11求解齐次线性方程组.034022202432143214321?x x x xx x x xx x x x解解?341122121221A?463046301221 二、线性方程组的解法施行初等行变换对系数矩阵A13122r rr r?0000342101221)3(223?rr r212r r?00003421035201即得与原方程组同解的方程组?,0342,0352432431x x xx x x?,342,3522413222221c xc xc c xc cx).,(43可任意取值x x由此即得?,342,352432431x x xx x x形式，把它写成通常的参数令2413,cxcx?.1034350122214321?c cxxxx例求解非齐次线性方程组?.3222,2353,132432143214321x x x xx x x xx x x x解解对增广矩阵B进行初等变换，?322122351311321B13122r rr r?10450104501132123r r?200001045011321,3)(,2)(?B RA R显然，故方程组无解例求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321?x x x xx x x xx x x x解解对增广矩阵B进行初等变换?2132111311101111B?2121001420001111.00000212100211011?,2?BRA R由于故方程组有解，且有?2122143421x xx xx?424423422421021xx1xxxx xxx xxx xx.02102112000011424321?x xxxxx.,42任意中其中xx所以方程组的通解为例求出它的一切解在有解的情况下，是有解的充要条件证明方程组.054321515454343232121?a a a a aa xxa xxa xxa xxa xx解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为?543211000111000011000011000011aaaaaB?5143210000011000011000011000011iiaaaaa?051?iiaB RAR?.051?iia是方程组有解的充要条件由于原方程组等价于方程组?454343232121a xxa xxa xxa xx由此得通解?544543354322543211x a xx a a xxa a a xxa a aax?.5为任意实数x例设有线性方程组?23213213211?xxxx xxx xx?,有无穷多个解有解取何值时问?解解?21111111?B?11111112?作初等行变换，阵对增广矩阵),(b AB?2222111011011?322221xx1011?22112100111011?,11时当当?000000001111B?.,3方程组有无穷多解?BRAR其通解为?33223211xxx xx xx?.,32为任意实数xx?,12时当当?221xx1011?B这时又分两种情形?:,3,2)1方程组有唯一解时?BRAR?.21,21,212321?xxx?.,故方程组无解BRAR?,2)2时?300063304211B?n BRAR?n BRAR?有无穷多解.b Ax?非齐次线性方程组b Ax?齐次线性方程组0?Ax?n AR?;0只有零解?Ax?n AR?.0有非零解?Ax 三、小结;有唯一解b Ax?思考题.,?,12105,3153,363,1324321432143214321求出一般解况下情在方程组有无穷多解的有无穷多解有唯一解方程组无解取何值时当讨论线性方程组t ptxxxxx xpxxxxxxxxxx?思考题解答?tpB121051315133163113211解解?19126006640224xx211tp?5300042xx121013211tp;,4)()(,2)1(方程组有唯一解时当?BRARp?1000021000112101321153000420001121013211t tB有时当,2)2(?p;,4) (3)(,1方程组无解时当?BRARt?0000021000302108000100000210001121013211B且.,3)()(,1方程组有无穷多解时当?BRARt组为与原方程组同解的方程).(203801204321R kkxxxx?,2,32,84321xxxx故原方程组的通解为第四节初等矩阵扬州大学数学科学学院定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.E三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 一、初等矩阵的概念?行（列）上去乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；kk.30.2.1，得初等方阵两行，即中第对调)(,j ir r j i E?对调两行或两列、1?1101111011),(?j i E行第第i?行第第j?，得左乘阶初等矩阵用nmij maA j i Em?)(),(?mn mmin iijn j jnma a aa a aa aaa aaA j i E?21212111211),(行第第i?行第第j?).(j ir rj i AA?行对调行与第的第把施行第一种初等行变换相当于对矩阵，右乘矩阵阶初等矩阵以类似地，A j i Enn),(?mn mimj mni jni jnaaaaa aaaa aaaj i AE?12222111111),().(j ic c ji AA?列对调列与第的第把施行第一种初等列变换相当于对矩阵02乘某行或某列数、以数?k).()(0k i Ek r i ki矩阵，得初等行乘单位矩阵的第以数?1111)(?kk i E行第第i?；行的第乘数相当于以数)(k r iA ki?mn mmin iinma aaka ka kaa aaA k iE?212111211)(行第第i?类似地，左乘矩阵以A k i Em)().()(k ciA kA ki Ein?列的第乘相当于以数，其结果矩阵右乘以上去列加到另一行列乘某行、以数)()(03?k，列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以)()(i jjikc c jiE kkr r i j E k?1111)(?kk ij E行第第i?行第第j?，左乘矩阵以A k ij Em)(?mn mmjn jjjn inji j inmaaaa aaa a ka aka aaaaA k ij E?2121221111211)().(j ikr rikjA?行上加到第行乘的第把).()(i jnkc c jkiAA kijE?列上加到第列乘的第把，其结果相当于右乘矩阵类似地，以?mn mjmj mimn jj injjina aka aaaakaaaaakaaak ijAE?1222221111111)(定理1设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.nm?mnAAAAA 二、初等矩阵的应用初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵),(),(1；则的逆变换是其本身，变换jiE ji Er rj i?);1()(11ki EkiEkr k rii?则，的逆变换为变换.)()()(1kijEkij Erk rkr rjiji?则，的逆变换为变换定理2设A A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵.,2121l lP P P A P P P?使证证,E A?使即存在有限个初等方阵,21lP P P?A EP P P Pl r r?121.P P P Al?21?即即.,:B PAQQ nP mB A nm?使阶可逆方阵及阶可逆方阵存在的充分必要条件是矩阵推论,A E经有限次初等变换可变故利用初等变换求逆阵的方法，有时，由当lP P P A A?210?,11111E A P PPl l?,111111?A E PPPl l?及?EPPP APPPl lll1111111111?1?A E?E APPPl l11111?.)(21?A EE AE A n n就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对.,3431223211?A A求设解例?1036xx2520001321?10034301012xx321E A122r r?133r r?21r r?23r r?1111000125xx1xx1r r?23rr?111100563020231001312rr?325rr?312rr?325rr?）（22?r）（13?r.111253232311?A?11110025323010231001）（22?r）（13?r.1B A?矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵E)()(11B A E B A A?)(B AB A1?即即初等行变换例.341352,343122321,?B AB AX X，其中使求矩阵解.1B A X A?可逆，则若?343431312252321)(B A?1226209152052321?311009152041201?311006402023001122rr?133rr?21rr?23rr?312rr?325rr?，?311003xx23001.313223?X）（22?r）（13?r?311006402023001312rr?325rr?.1?CA Y即可得作初等行变换，也可改为对),(T TC A,1作初等列变换，则可对矩阵如果要求?CACA Y,CA1?CAE列变换),)(,(),1T TT TC A ECA?（列变换TT1C)(?A YT即可得,C)(T1?TA.Y即可求得.,1000110011102222A1,?nj iijA An式之和中所有元素的代数余子求方阵已知?解例33,02?A?.可逆A?.1*?A A A且?10001000010011000010111000012222?E A?100010001100010001100010001210001?,100011000110001211?A,21*?A A?nj iijA1,故.1)1()1(212?nn 三、小结1.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是:?;1?EAE A或或构造矩阵?.,(,211?A EE AEAA EE AE A对应部分即为后划为单位阵将变换施行初等列或对对应部分即为右边后化为单位矩阵将施行初等行变换对对?思考题.01010xx的乘积表示成有限个初等方阵将矩阵?A思考题解答解可以看成是由3阶单位矩阵经4次初等变换,AE?3331321,1,2,c rc c rr?而得.而这4次初等变换所对应的初等方阵为:,0101000011?P,10xx0012?P,1000100013?P.1000100014?P由初等方阵的性质得4213EP PPA?.4213PPPP?第三章习题课扬州大学数学科学学院);(),( r rjiji?记作列对调矩阵的两行);(,)(0k c k rkii?记作中的所有元素列乘某一行以数).(,)()(c k c rk rkjiji?记作对应的元素上去列倍加到另一行所有元素的列把某一行初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换)(rrjiji?)(rrjiji?)(k c krii?)1(1kckr ii?)(ckcrk rjiji?)()(ckcrk rjiji?.,B AB ABA记作等价与称矩阵就矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵反身性传递性对称性;AA;,ABBA则则若.,CAC BBA则若矩阵的等价三种初等变换对应着三种初等矩阵初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵E).(:,)(),(rrji AAa AjiE mjiijn mm?行对调行与第的第把施行第一种初等行变换当于对矩阵相左乘阶初等矩阵用（）换法变换对调两行（列），得初等矩阵).(:,),(,j iAAA jiEnj in?列对调列与第第的把施行第一种初等列变换相当于对矩阵右乘矩阵阶初等矩阵用类似地),(jiE（）倍法变换以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵);(,)(kriA kA ki Eim?行第的乘相当于以数左乘矩阵以).(,)(kciA kA ki Ein?列第的乘相当于以数右乘矩阵以k)(kiE（）消法变换以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵);(,)(rkrikj AAkij Ejim?行上加到第以行乘的第相当于把左乘矩阵以).(,)(ckcjki AAkij Eijn?列上加到第以列乘的第相当于把右乘矩阵以k)(kijE经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是可画出一条阶梯线，线的下方全为00；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元例如?00000310000111041211行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是非零行的第一个非零元为11，且这些非零元所在列的其它元素都为00例如?00000310003011040101行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是左上角是一个单位矩阵，其余元素都为00例如?00000310003011040101 c214433215334?00000001000001000001矩阵的标准形.,),(,数梯形矩阵中非零行的行就是行阶其中三个数完全确定此标准形由化为标准形换和列变换行变总可以经过初等变换矩阵任何一个rrn mOOOE rFnmn m?所有与AA等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵F定义.,2阶子式的称为矩阵阶行列式的位置次序而得到的中所处不改变它们在个元素行列交叉处的位于这些列行和任取中矩阵在kA kAkk kAnm?矩阵的秩定义.0).(,0)(1,0并规定零矩阵的秩等于记作的秩称为矩阵数的最高阶非零子式称为矩阵那么全等于如果存在的话阶子式且所有阶子式的中有一个不等于设在矩阵A RArADrD rA?;)(,1rAR rA?则阶子式都为零中所有如果);()(ARA RT?定理);()(,BRARBA?则若行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数矩阵秩的性质及定理;)(,rAR rA?则阶子式中有一个非零的如果.)4(;)3(;)()2(;)1(E AE An ARA A的标准形为单位矩阵的最高阶非零子式为?则阶可逆矩阵为若,n A定理定理.)(0n ARx Annm?阵的秩充分必要条件是系数矩有非零解的元齐次线性方程组.),(的秩的秩等于增广矩阵分必要条件是系数矩阵有解的充元非齐次线性方程组b ABAb xAnnm?线性方程组有解判别定理齐次线性方程组把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解非齐次线性方程组把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解10线性方程组的解法定理.,;,阶初等矩阵相应的的右边乘以相当于在施行一次初等列变换对阶初等矩阵左边乘以相应的相当于在变换施行一次初等行对矩阵