《平移与旋转》竞赛辅导-.doc

平移与旋转竞赛辅导“平移与旋转”是继轴对称之后的另两种图形的基本变换图形的变换是义务教育阶段数学课程中“空间与图形”领域的一个主要内容，通过学生所熟悉的实际生活现象，认识平移与旋转，进而探索图形变换的一些基本性质，体验变换的理念与思想，利用轴对称、平移与旋转或它们的组合进行图案设计，认识和欣赏图形的这些基本变换在现实生活中的应用探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合）， 拓展学生的思考与探索的空间，给学生解决一些简单的几何证明提供一点方法。一、 基本概念：1、在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。2、在平移过程中，图形的形状与大小都没有变化，从而能将一些简单的平面图形按要求平移到适当的位置经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。平移线段与原线段平行且相等；平移的角与原来的角的两边分别平行且方向一致。3、为了寻求解题途径，可以把题目中的某些线段平移到某一适当的位置，作出辅助图形，使问题得到解决。4、将平面图形绕平面内一定点旋转一个定角，得到与原来图形的形状和大小都一样的图形，这样的变换叫旋转变换。5、一些绕着某一定点转动一定角度后能与自身重合的图形，这些图形都是旋转对称图形这样的图形有许多，例如线段、等边三角形、平行四边形、圆等6、经过旋转，图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向旋转了相同的角度。任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。7、设点A和B的连线被直线L所垂直平分，则A点叫做点B关于L的对称点，直线L叫这两点的对称轴。如果一点在对称轴上，那么它的对称点就是它本身。对称点的连线垂直于对称轴。二、典型例题1、平移例1 在ABC中，已知，BC=18，在边AB，AC上分别取一点D、E，使AD=CE，且DEBC，求DE的长。解：DEBC，作CE 平移到FD，连结AF则FCED为平行四边形FD=CE=AD 且DFEC1=2=3FA为BAC的角平分线BF: FC=AB:AC（18-FC）:FC=7:5 FC=7.5DE=7.5例2：P是平行四边形ABCD内的一点，且FAB=FCB，求证：FBA=FDA.证明：作ABF 平移到 DC F 则ABFDC F1=5 3=6 又F 平移到 F四边形BC FF与AD FF均为平行四边形7=4,2=8, 又已知1=25=8, P、C、F、D四点共图6=7,3=4, 故FBA=FDA由上面的例子可看出，当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而不易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分进行平移变换，是一种较凑效的方法。、旋转旋转变换如果集于定点有以定点为公共端点的相等线段，可以进行绕定点的旋转变换，例如在等腰三角形、正方形、圆等图形中，或出现线段中点条件时，都可考虑将图形或其部分进行旋转变换。例.如图，设P是三角形ABC的外角平分线上任一点(不包括A点),求证: PB+PCAB+AC.证明：延长CA到D，使AD=AB,连结D、P.AP是BAD的平分线BAPDAP PD=PB在CPB中，CP+PDCD PB+PCAB+AC.例4：在ABC中，C为等腰直角三角形，AB=BC，P为ABC内一点，若PA2+2PB2=PC2 求APB的大小。解：作ABP R（B，90） CPBAPB=CPB,PC=PA,PB=PB ,PBP=RTAPP=PB, 即 PB=又PA2+2PB2=PC2PC2+2（PP）2=PC2即PC2+PP2=PC2PPC为直角三角形。PPC=90APC=APBPC=90+45=135（结论中要求APB，而已知线段的条件分散，利用AB=BC作旋转变换）。例5、在ABC中，AB=AC，P是ABC内部一点，且APBAPC 求证：PBPC分析：要证PBPC，因为PB、PC集中在ABC中可以考虑设法证明PCBPBC，则AB=AC，PA=PA使有PBPC，而直接证明PCBPBC或PABPAC都十分困难。由于AB=AC，可考虑用旋转变换证：APB R（A，BAC） APC则APBAPBAP=AP PB=PC APB=APC连结PP， 1=2APC=APB=4 即PCPC又PB=PC PBPC证毕例6、设P为等边三角形ABC内一点，且PA=5，PB=4，PC=3，求此三角形的边长。证明：将APC绕C逆时旋转60到BDC的位置，则DPC是等边三角形。BD=PA=5，PB=4，PD=PC=3 DPB是直角三角形，DPC=90。BPE=180-90-60=30过B作CP的垂线，PB=4，则BE=2，EP=23在直角三角形BEC中，BC2= BE2+ EC2= 22+ （23+3）2=25+123BC=25+123例7、设O是等边三角形ABC内一点，已知AOB=115，BOC=125， 求以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角。解：将AOC绕C逆时旋转60到B OC的位置，则AO=B O ，COB=AOC=120DPC是等边三角形，OC=OO 则B OO是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形。O OB=120-60=60，O O B=125-60=65OB O=55三、练习：1、一个正方形要绕它的中心至少旋转_度，才能和原来的图形重合。 如图所示，将字母“V”向右平移_格会得到字母“W”。 2、时钟上的分针匀速旋转一周需要60min则经过10min，分针旋转了（ ）。 A、10B、20C、30D、603. 同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的。如图所示是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（ ）。 A、顺时针旋转60得到 B、顺时针旋转120得到 C、逆时针旋转60得到 D、逆时针旋转120得到 4、如图1,四边形,交BC延长线于N,线段AD沿着_的方向平移到BM,其平移的距离是_;线段AB沿着_的方向平移到DM,其平移的距离为_;线段AC沿着_的方向平移到DN,其平移的距离是_;线段CN沿着_的方向平移到AD,其平移的距离是_;线段BM沿着_的方向平移到CN,其平移的距离是_。,其平移的距离是_。(1) 2)5、如图2,如果把钟表的指针看成四边形AOBC,它绕着O点旋转到四边形DOEF位置,在这个旋转过程中：旋转中心是_,旋转角是_,经过旋转点A转到_,点C转到_,点B转到_。点A与点_,点C与点_,点B与点_是对应点。线段OA与线段_,线段OB与线段_,线段BC与线段_是对应线段。_,_,_,AOB与_是对应角,四边形OACB与四边形ODFE的形状、大小_。6.在ABC中,已知CD,BE分别是C, B的平分线,且CD=BE.求证: AB=AC.（提示：平移EB到DF,然后证明三角形全等）7.已知梯形两底的长分别是3cm和6cm,两腰的长分别是4cm和5cm, 则此梯形的面积是多大?8.在正方形ABCD内作EAF=45度,点E,F分别在BC,CD上,连结EF, 已知BE=2,CF=3,求EF及正方形ABCD的边长. 9、已知六边形ABCDEF的三双对边分别平行，且AB=ED，求证：BC=EF，CD=FA。10.在等腰直角三角形ABC,E,D分别为直角边BC,AC上的点,且CE=CD. 过C,D作AE的垂线交斜边AB于L,K,求证:BL=LK.（提示：将三角形ACE绕C旋转90度