几何体中的截面问题

1 S T F E C AB D A1 C1 B1 D1 Q P R C A1 D BA C1 B1 D1 Q P R M I C1 B1 D1 C A1 D B A P Q R 几何体中的的截面问题 1 定义及相关要素 定义及相关要素 用一个平面去截几何体 此平面与几何体的交集 叫做这个几何体的截面 此平面与用一个平面去截几何体 此平面与几何体的交集 叫做这个几何体的截面 此平面与 几何体表面的交集几何体表面的交集 交线交线 叫做截线 此平面与几何体的棱的交集叫做截线 此平面与几何体的棱的交集 交点交点 叫做截点 叫做截点 2 作多面体的截面方法 作多面体的截面方法 交线法交线法 该作图关键在于确定截点 有了位于多面体同一表 该作图关键在于确定截点 有了位于多面体同一表 面上的两个截点即可连结成截线 从而求得截面 面上的两个截点即可连结成截线 从而求得截面 题型一 截面的形状题型一 截面的形状 1 P Q R 三点分别在直四棱柱 AC1的棱 BB1 CC1和 DD1上 试画出过 P Q R 三点的截面 1 解答 1 连接连接 QP QR 并延长 分别交并延长 分别交 CB CD 的延长线于的延长线于 E F 2 连接连接 EF 交交 AB 于于 交 交 AD 于于 S 3 连接连接 RS TP 则多边形 则多边形 PQRST 即为所求截面 即为所求截面 2 已知 P Q R 分别是四棱柱 ABCD A1B1C1D1的棱 CD DD1和 AA1上的点 且 QR 与 AD 不平行 求作过这三点的截面 C1 B1 D1 C A B D A1 P Q R 2 解答 1 连接连接 QP 并延长交并延长交 DA 延长线于点延长线于点 I 2 在平面在平面 ABCD 内连接内连接 PI 交交 AB 于点于点 M 3 连接连接 QP RM 则四边形 则四边形 PQRM 即为所求 即为所求 注 若已知两点在同一平面内 只要连接这两点 就可以得到截面与多面体的一个 面的截线 若面上只有一个已知点 应设法在同一平面上再找出第二确定的点 若两个已知点分别在相邻的面上 应找出这两个平面的交线与截面的交点 3 一个正方体内接于一个球 过这个球的球心作一平面 则截面图形不可能是 AC B D 2 3 答案 D 解析 考虑过球心的平面在转动过中 平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆 的内接正方形 故选 D 题型二 截面面积 长度等计算题型二 截面面积 长度等计算 4 过正方体的对角线的截面面积为 S Smax和 Smin分别为 S 的最 1111 DCBAABCD 1 BD 大值和最小值 则的值为 min max S S A B C D 2 3 2 6 3 32 3 62 4 答案 C 解析 设 M N 分别为 AA1 CC1的中点 易证截面 BMD1N 是边长为的菱形 正方体棱 5 2 长设为 1 其面积 S min 而截面 BB1D1D 是矩形 其面积 S max 6 2 2 5 如图 已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1的内切 球 则平面 ACD1截球 O 的截面面积为 5 答案 解析 平面 ACD1是边长为的正三角形 且球与以点 D 为公共 点的三个面的切点恰为三角形 ACD1三边的中点 故所求截面的 面积是该正三角形的内切圆的面积 则由图得 ACD1内切圆的半径是 tan30 则 所求的截面圆的面积是 6 已知球的半径为 相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆 若两圆的公共弦长2 为 则两圆的圆心距等于 2 A B C D 1232 6 答案 C 解析 与的公共弦为 AB 球心为 AB 中点为 C 1 O 2 O 则四边形为矩形 COOO 2112 OOOC 2 OA 所以 22 1 3ACACOCOCOAAC 7 已知正四棱锥 P ABCD 的棱长都等于 侧棱 PB PD 的中点分别为 M N 则截面a AMN 与底面 ABCD 所成二面角大小的正切值为 2 3 7 答案 1 2 解析 过 A 在平面 ABCD 内作直线 连接 AC BDl BD 交于 O 连接 PO MN 记 PO MN 交于 O 因为 PB PD 的中点分别为 M N 所以 MN BD 因为 所以 所以平面 AMN l BD l MN Al l 平面 AMN 平面 ABCD 易知即为面 AMNl O AO 与底面 ABCD 所成二面角的平面角 221 tan 242 AOPOaOOaOAO 8 如图 正方体的棱长为 1 P 为 BC 的中点 Q 为线段上的动点 1111 ABCDABC D 1 CC 过点 A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S 则下列命题正确的是 当时 S 为四边形 1 0 2 CQ 当时 S 为等腰梯形 1 2 CQ 当时 S 与的交点 R 满足 3 4 CQ 11 C D 11 1 3 C R 当时 S 为六边形 3 1 4 CQ 当时 S 的面积为1CQ 6 2 8答案 解析 CQDTPQATPQATTDD22 1 且 则相交于设截面与 对 则所以截面S为四边形 且S为梯形 所以为真 时当 2 1 0 CQ 1 0 DT 对 截面S为四边形截面1 DT 2 1 时当 CQ重合与 1 DT 11 QDAPAPQD 所以 S为等腰梯形 所以为真 对 所时当 4 3 CQ 3 1 2 1 2 3 4 1 1111 RCTDDTQC利用三角形相似解得 以为真 对 截面S与线段相交 所以四边形S为五边2 DT 2 3 1 4 3 时当CQ 1111 CD DA 形 所以为假 对 对AGAPCGDASCCQ 111111 Q1 即为菱形相交于中点与线段截面重合与时 当 角线长度分别为 2 6 32的面积为 和S 所以为真 4 9 如图 为正方体 任作平面与对角 1111 DCBAABCD 线 垂直 使得与正方体的每个面都有公共点 记这样得C A 到 的截面多边形的面积为 S 周长为 则 l A S 为定值 不为定值 B S 不为定值 为定值ll C S 与 均为定值 D S 与 均不为定值ll 9 答案 B 解析 将正方体切去两个正三棱锥与后 得到一个以平行平面AABD CDB C 与为上 下底面的几何体 V V 的每个侧面都是等腰直角三角形 截面多边ABD DB C 形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行 将 V 的侧面沿棱剪开 展平在一AB 张平面上 得到一个平行四边形 而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 11 ABB A 平行的线段 如图中 显然 故 为定值 1 AA 1 EE 11 AAEE l 当位于中点时 多边形 W 为正六边形 而当移至处时 W 为正三角形 E AB E A 易知周长为定值 的正六边形与正三角形面积分别为与 故 S 不为定值 l 2 3 24 l 2 3 36 l 题型三 截面图形的计数题型三 截面图形的计数 10 设四棱锥 的底面不是平行四边形 用平面去截此四棱锥 使得截面四PABCD 边形是平行四边形 则这样的平面 A 不存在 B 只有 1 个 C 恰有 4 个 D 有无数多个 10 答案 D 解析 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m n 直线 m n 确定了平面 作与 平 行的平面 与四棱锥侧棱相截 则截得的四边形是平行四边形 这样的平面 有无数多 个 11 过正四面体的顶点做一个形状为等腰三角形的截面 且使截面与底面ABCDA 成角 问这样的截面可作几个 BCD75 11 答案 6 个 解析 可以证明正四面体的棱 侧面与底面成角均小于 75 度 这样过顶点与底面成 75 度 5 角 且平行与底面一条边的 截面也就是符合题意的截面 有两个 三条边就是 6 个 题型四 截面图形的性质题型四 截面图形的性质 12 如图 4 在透明的塑料制成的长方体 ABCD A1B1C1D1容器内灌进一些水 固定容器底 面一边 BC 于地面上 再将容器倾斜 随着倾斜程度的不同 有下列四个命题 水的部分始终呈棱柱状 水面 EFGH 的面积不改变 棱 A1D1始终与水面 EFGH 平行 当容器倾斜到如图 4 2 时 BE BF 是定值 其中正确的命题序号是 12 答案 解析 当长方体容器绕 BC 边转动时 盛水部分的几何体始终满 足棱柱定义 故 正确 在转动过程中 EH FG 但 EH 与 FG 的距离 EF 在变 所以水面 EFGH 的面积在改变 故 错误 在转动过程中 始终有 BC FG A1D1 所以 A1D1 面 EFGH 正确 当容器转动到水部 分呈直三棱柱时如图 5 2 因为是定值 又 BC 是定值 所以BCBFBEV 2 1 水 BE BF 是定值 即 正确 13 有一容积为 1 立方单位的正方体容器 ABCD A1B1C1D1 在 棱 AB BB1及对角线 B1C 的中点各有一小孔 E F G 若此容 器可以任意放置 则该容器可装水的最大容积是 A B C D 2 1 8 7 12 11 48 47 13 答案 C 解析 本题很容易认为当水面是过 E F G 三点的截面时容器 可装水的容积最大图 6 1 最大值为立方 8 7 1 2 1 2 1 2 1 1 V 单位 这是一种错误的解法 错误原因是对题中 容器是可以任意 放置 的理解不够 其实 当水平面调整为图 6 2 EB1C 时容 器的容积最大 最大容积为 12 11 11 2 1 2 1 3 1 1 V 14 08 年江西 如图 1 一个正四棱柱形的密闭容器底部 镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块 容器内盛有升a 水时 水面恰好经过正四棱锥的顶点 P 如果将容器倒置 水面也恰好过点 图 2 有下列四个命题 P A 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B 将容器侧面水平放置时 水面也恰好过点P C 任意摆放该容器 当水面静止时 水面都恰好经过点 A B C H A1 B1 C1 D1 E F G D A B C D A1 B1 C1 D1 E F G H 图 4 2 图 4 1 C1 A B C D A1 D1 B1 E G F 图 2 C1 AB C D A1 D1 B