导数在微观经济学中边际问题的应用

导数在微观经济学中边际问题的应用导数在微观经济学中边际问题的应用 云南农业大学云南农业大学 关键词 导数 变化率 边际 边际分析 前言 导数在现代经济领域中的应用非常广泛 特别是在微观经济学中有着很多具体 的例子 掌握和应用导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要 把经济学中很多 现象进行分析和归纳到数学领域中 用我们所学的数学知识进行解答对很多经营决策者起 了非常重要的作用 高等数学的主要内容是微积分 微分学则是微积分的重要组成部分 而导数又是微分 学中的基本概念之一 所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要 导数的应用 范围非常广泛 比如在物理学中的应用 在工程技术上的应用 在经济学中的应用等等 今天我就导数在经济中边际问题的应用略做讨论 一 导数的概念一 导数的概念 从数量关系而言 导数反映函数的自变量在变化时 相应的函数值变化的快慢程度 变化率 瞬时变化率 从数学表达式而言 研究的是函数的增量与自变量的增量比的极 限问题 二 经济学中常用的函数二 经济学中常用的函数 导数在经济领域中的应用 主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系 因此必须 了解一些经济分析中常见的函数 一 价格函数 一般说来 价格是销售量的函数 生活中随处可见 例如 当购买的东西越多 消费 者的消费额度就可以小些 二 成本函数 成本包括固定成本和变动成本两类 固定成本是指厂房 设备等固定资产的折旧 管 理者的固定工资等 记为 X 变动成本是指原材料的费用 工人的工资等 记为 Y 这两 类成本的总和称为总成本 记为 Z 即 Z X Y 假设固定成本不变 X 为常数 变动成本 Y 是产量 Q 的函数 Y C Q 则成本函 数为 Z X C Q 三 需求函数 作为市场上的一种商品 其需求量受到很多因素影响 如商品的市场价格 消费者的 喜好等 为了便于讨论 我们先不考虑其他因素 假设商品的需求量 Q 仅受市场价格 x 的 影响 即 Q f x 例 某厂家从促进消费的需求考虑 对某空调的价格从 3000 元 台降到 2500 元 台 相应的需求量从 3000 台增到 5000 台 求需求函数 四 收益函数 在商业活动中 一定时期内的收益 就是指商品售出后的收入 记为 Y 销售某商品 的总收入取决于该商品的销售量 p 和价格 q 因此 收入函数为 Y pq 五 利润函数 利润是指收入扣除成本后的剩余部分 记为 L L R C 其中 R 表示收入 C 表示成本 总收入减去变动成本称为毛利润 再减去固定成本称为纯利润 三 导数在经济分析中的应用举例三 导数在经济分析中的应用举例 导数是函数关于自变量的变化率 在经济学中 也存在变化率的问题 因此我们可以 把微观经济学中的很多问题归结到数学中来 用我们所学的导数知识加以研究并解决 在此我们就经济学中的边际和边际分析问题加以稍作讨论 边际概念边际概念 表示当 x 的改变量 x 趋于 0 时 y 的相应改变量 y 与 x 的比值的变化 即当 x 在某 一给定值附近有微小变化时 y 的瞬时变化 若设某经济指标 y 与影响指标值的因素 x 之间成立函数关系式 y f x 则称导数 f x 为 f x 的边际函数 随着 y x 含义不同 边际函数的含义也不一样 边际的实质边际的实质 反映了一种经济变量随另一种经济变量变化的快慢程度 反映了一种经济变量随另一种经济变量变化的快慢程度 现实生活中 经常需要考虑一种经济变量随多个经济变量变化的情况 例如 某种品 牌的电视机的销售情况 除了受本品牌电视机的价格影响外 还受其他品牌同类型电视机 的价格的影响 边际的概念也可推广到多元函数的情形 设生产某产品 q 单位时所需要的总成本函数为 C C q 则称 MC C q 为边际成本 边际成本的经济含义是 当产量为 q 时 再生产一个单位产品所增加的总成本为 C q 类似可定义其它概念 如边际收入 边际产量 边际利润 边际销量等等 经济活动的目的 除了考虑社会效益 对于一个具体的公司 决策者更多的是考虑经 营的成果 如何降低成本 提高利润等问题 例例 1 某种产品的总成本 C 万元 与产量 q 万件 之间的函数关系式 即总成本函数 为 C C q 100 4q 0 2q2 0 01q3 求生产水平为 q 10 万件 时的平均成本和边际成本 并从 降低成本角度看 继续提高产量是否合适 解 当 q 10 时的总成本为 C 10 100 4 10 0 2 102 0 01 103 130 万元 所以平均成本 单位成本 为 C 10 10 130 10 13 元 件 边际成本 MC C q 4 0 4q 0 03q2 MC q 10 4 0 4 10 0 03 102 3 元 件 因此在生产水平为 10 万件时 每增加一个产品总成本增加 3 元 远低于当前的单位成 本 从降低成本角度看 应该继续提高产量 例例 2 某公司总利润 L 万元 与日产量 q 吨 之间的函数关系式 即利润函数 为 L L q 2q 0 005q2 150 试求每天生产 150 吨 200 吨 350 吨时的边际利润 并说明经济含义 解 边际利润 ML L q 2 0 01q ML q 150 2 0 01 150 0 5 ML q 200 2 0 01 200 0 ML q 350 2 0 01 350 1 5 从上面的结果表明 当日产量在 150 吨时 每天增加 1 吨产量可增加总利润 0 5 万元 当日产量在 200 吨时 再增加产量 总利润已经不会增加 而当日产量在 350 吨时 每天 产量再增加 1 吨反而使总利润减少 1 5 万元 由此可见 该公司应该把日产量定在 200 吨 此时的总利润最大为 L 25 2 200 0 005 2002 150 50 万元 从上例可以发现 公司获利最大的时候 边际利润为零 例例 3 某企业生产过程中需使用某种原材料 到外地采购一次这种原材料 要开销采购人员 的工资 旅差费 手续费 运输费 检验费等 但每次采购的总的采购费用基本相同 原 材料被采购回来后 除了被使用外 存放在仓库里 要开销保管费用 保管费用通常是采 购批量 采购价格 保管费率三者乘积的一半 试求总费用最小的采购批量 解 设每年使用原材料的总量为 Q 每次采购的批量为 q 每次采购费用为 k 则年采 购次数为 Q q 每年的采购费用为 Q q k 又设该原材料的价格为 p 保管费率是 i 则 库存费用为 1 2 q p i 因此总费用为 C q Q q k 1 2 q p i 求导得 C q Q q k 1 2 p i 令 C q 0 得 这是所求的唯一值 根据生活的实际情况定有最小值 这唯一的点就是最小值点 所 以当每次采购批量为时 总费用最小 上例的结果是理想化的瞬时送货的最佳库存模型 这个模型被广泛地应用于生产实际 下面我们看实际的例子 例例 4 某企业生产使用某原材料 100 吨 年 每次采购的费用是 1000 元 每吨原材料的年库 存费 材料价格与保管费率之积 为 500 元 如果材料消耗是均匀的 问应分几批采购 使总费用最小 解 设每次采购原材料 q 吨 则总费用为 C q 100 q 1000 1 2 q 500 C q 100000 q2 1 2 500