直线与方程的知识点解析.doc

直线与方程的知识点解析倾斜角与斜率1.当直线l与x轴平行或重合时, 规定它的倾斜角为0. 则直线l的倾斜角的范围是.2. 倾斜角不是90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即.直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当=90时，斜率k=0；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为、，有：（1）；（2）.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；.直线的点斜式方程1. 点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为.2. 斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或. 4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线经过两点，其方程为， 2. 截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4. 线段中点坐标公式.两点间的距离1. 平面内两点，则两点间的距离为：.特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；点到直线的距离及两平行线距离1. 点到直线的距离公式为.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即. 这时点到直线的距离为直线系方程及其巧妙应用 1、斜率问题的应用 在求过圆外一点的圆的切线方程，或直线与圆锥曲线的位置关系及两直线的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论而应用直线系方程，可以避免对斜率的讨论，确保求解的完整性和正确性例过点作圆的切线l，求切线l的方程解：设所求直线l的方程为（其中不全为零），则整理有， 直线l与圆相切，圆心到直线l的距离等于半径1，故，整理，得，即（这时），或故所求直线l的方程为或 2、截距问题的应用 当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的倍（）”等条件时，采用截距式就会漏掉“零截距”的情况，从而丢解而应用直线系方程，可以避免对直线的截距的分类讨论，确保求解的完整性和正确性 例2求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程 解：设所求直线方程为（其中不全为零） 显然当或时，所得直线方程不满足题意故均不为零 当时，；当时， 根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等， 则， 令，则， 整理，得， 解得，或， 则，或， 故所求直线方程为，或 总结 ：利用过点的直线系方程（其中不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性下面我们用这个方法来做两道相关的题目练习：1求过原点且与直线成30角的直线方程l2在过点的所有直线中，求到原点的距离最远的直线方程答案：1，或2 直线系与对称问题点关于轴的对称点的坐标为；关于轴的对称点的坐标为；关于的对称点的坐标为；关于的对称点的坐标为.点关于直线的对称点的坐标的求法： 设所求的对称点的坐标为，则的中点一定在直线上.直线与直线的斜率互为负倒数，即直线关于直线的对称直线方程的求法： 到角相等；在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；轨迹法(相关点法)；待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，点关于定点的对称点为，曲线：关于定点的对称曲线方程为.直线系方程：直线（为常数，参数；为参数，位常数）.过定点的直线系方程为及与直线平行的直线系方程为（）与直线垂直的直线系方程为过直线和的交点的直线系的方程为：（不含）直线方程的四大问题及易错题解析一 定点问题1.若kR时，直线y-2=k(x-1)总通过一个定点，这个定点是（ ）A（1，-2） B（-1,2） C（-2,1） D（1,2）2.方程y=k（x-2），xR表示（ ）A通过点（-2,0）的一切直线 B通过点（2,0）的一切直线C通过点（2,0）且不垂直x轴的一切直线 D通过点（2,0）且除去x轴的一切直线3.已知直线l的方程为：（2m-3）x+y-m+6=0，则对于任意的mR，直线l恒过定点_二 截距问题1.直线mx+ny=1(mn0)与两坐标轴围成的面积是（ ）A B C D 2.过点P（2,3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是：_3.过点（5,2）且在x轴上截距是y轴上截距两倍的直线方程是：_4.过点（5,2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为（ ）A x-y-3=0 B x-y+3=0或2x-5y=0 C x-y+3=0 D x-y-3=0或2x-5y=05.已知直线L与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线L的方程。三 最值问题1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求的面积最小时直线l的方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有（ ）条A 1 B 2 C 3 D 4 （变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|PB|取最小值时直线l的方程.4已知点M(1,3),N(5,-2),在x轴上取一点P，使得|PM|-|PN|最大，则P点坐标是（ ）A （5,0） B （13,0） C （0,13） D （3.4,0）变式：若使|PM|+|PN|最小呢？四、对称问题1.点A（4,5）关于直线l的对称点为B（-2,7），则l的方程为_2.点A（1,2）关于直线x-2y-2=0的对称点B的坐标是_3.已知M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为（ ）A （a，b） B （b，a） C（-a，-b） D （-b，-a）4. 直线上有一点，它与两定点的距离之差最大，则点的坐标是_.五、易错题1.已知直线L的横截距为a，纵截距为b，斜率为k，则下列命题正确的是（ ）A 直线与坐标轴围成的面积是 B 直线的方程是： C 斜率k= D 以上都不对2.若直线L过点（1,2）且两截距相等，则直线L的斜率k是（ ）A k=-1或k=2 B k=1或k=2 C k=-1 D k=1或k=23. 下列四个命题中属于真命题的是 （ ）A、经过定点的直线都可以用方程B、经过任意两个不同点的直线都可以表示成以用 C、不经过原点的直线都可以用表示；D、经过点的直线都可以用方程表示4.直线的倾斜角是（ ）A B C D 5.若与只有一个公共点则（）A B C D 6.过（x1，y1）和（x2，y2）两点的直线方程是（ ）A B C