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文档简介

10-6 1. 利用高斯公式计算曲面积分: (1), 其中S为平面x=0, y=0, z=0, x=a, y=a, z=a所围成的立体的表面的外侧; 解 由高斯公式 原式 (这里用了对称性). (2), 其中S为球面x2+y2+z2=a2的外侧; 解 由高斯公式 原式 . (3), 其中S为上半球体x2+y2a2, 的表面外侧; 解 由高斯公式 原式 . (4)其中S界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y29的整个表面的外侧; 解 由高斯公式 原式. (5),其中S为平面x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1所围成的立体的全表面的外侧. 解 由高斯公式 原式 . 2. 求下列向量A穿过曲面S流向指定侧的通量: (1)A=yzi+xzj+xyk, S为圆柱x+y2a2(0zh )的全表面, 流向外侧; 解 P=yz, Q=xz, R=xy, . (2)A=(2x-z)i+x2yj- xz2k, S为立方体0xa, 0ya, 0za,的全表面, 流向外侧; 解 P=2x-z, Q=x2y, R=-xz2, . (3)A=(2x+3z)i-(xz+y)j+(y2+2z)k, S是以点(3, -1, 2)为球心, 半径R =3的球面, 流向外侧. 解 P=2x+3z, Q =-(xz+y), R=y2+2z, . 3. 求下列向量A的散度: (1)A=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2+xy)k; 解 P=x2+yz, Q=y2+xz, R =-z2+xy, . (2)A=exyi+cos(xy)j+cos(xz2)k; 解 P=exy, Q=cos(xy), R=cos(xz2), . (3)A=y2zi+xyj+xzk; 解 P=y2, Q=xy, R=xz, . 4. 设u (x, y, z)、v (x, y, z)是两个定义在闭区域W上的具有二阶连续偏导数的函数, , 依次表示u (x, y, z)、v (x, y, z)沿S的外法线方向的方向导数. 证明 ,其中S是空间闭区间W的整个边界曲面, 这个公式叫作林第二公式. 证明 由第一格林公式(见书中例3)知 , . 将上面两个式子相减, 即得 . 5. 利用高斯公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中所受液体的压力的合力(即浮力)的方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体的重力. 证明 取液面为xOy面, z轴沿铅直向下, 设液体的密度为r, 在物体表面S上取元素dS上一点, 并设S在点(x, y, z)处的外法线的方向余弦为cosa, cosb, cosg, 则dS所受液体的压力在坐标轴x, y, z上的分量分别为 -rzcosadS, -rzcosb dS, -rzcosg dS,S所受的压力利用高斯公式进行计算得 , , , 其中|W|为物体的体积
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