对称——重要的物理思维方法

对称思维大千世界千差万别、千变万化，却又和谐统一、协调。上下、左右、阴阳、正负互相对应，构成一个对立统一的整体反映客观世界的这种内在一致性、规律的不变性,这种平衡的美感,这就是对称。这种对称可以帮助我们认识物理世界的规律性,探索未知世界的奥秘,学好物理学。一、对称性普遍存在于物理学中对称性普遍存在于各种物理现象、过程和规律之中，它反映了物理世界的和谐与优美。概括起来说，中学物理中的对称主要表现为时空对称、数学对称和抽象对称。、时空对称时空对称表示物理现象（或系统）在时空变换下的不变性。主要包括：空间对称、时间对称、时间和空间同时对称。杠杆的平衡、平面镜的成像、磁场的两极、电荷的正负、光的可逆性等表现物质的直观形象在空间的对称；做匀速运动的物体，通过空间任一位置的速度都相等，相干光在干涉空间任一区域都保持相等的条纹亮度。做匀加速直线运动的物体，通过空间任一位置的加速度都相等，表现了物质在运动过程中的空间对称。物体沿光滑斜面上滑和下滑、竖直上抛和下落等表现出了时间的对称，弹簧振子的振动则同时表现出了时间和空间的对称：振子在平衡位置两侧任意相对称的位置上受到的合外力、具有的速度和加速度的大小相同，通过对称轨迹的时间、位移大小、合外力的冲量、合外力所做的功相同，等等。我们不难看出，物质运动对时空表现出的对称，其含义已大大超出轴对称、中心对称等几何对称的概念，它是对运动时空中的某一点或某一时刻表现出某种重复或特定的序，例如量值的恒定、周期性的复现、过程的可逆、互斥的存在等等。、数学对称数学对称表示物理内容在数学形式（图与式）上的对称性或不变性。例如，简谐运动的振动图象、交变电流的图象都是正弦图象，它们具有的对称性表现为物理内容在数学图形上的对称。动量定理与动能定理k之间，万有引力定律与库仑定律之间具有的对称性以及机械能守恒定律EK1 + EP1 = EK2 + EP2具有的对称性表现为物理内容在数学表达式上的对称性。、抽象对称抽象对称则以抽象的方法反映出物理内容的对称。例如：处于平衡状态的气体分子的热运动在三维空间各个自由度上发生运动的几率相等；气体对容器器壁的压强处处相等；当实验次数趋近于无限时绝对误差的代数和为零等等，都体现了物理内容的抽象对称。二、对称思维在物理学的研究与发展中起着重要作用1、对称思维在物理学发展中曾起着重要作用在人们认识客观的认识史上，对称性曾给予人们许多有益的启示。人们通过对称性思考，作出假设，揭示未知的规律、预言未知事件及其基本特性，并从对称性特征上去研究、分析遵循对称的条件或破坏对称的原因。所以，对称性在物理学中有着极为重要的作用，而且其重要性正随着近代物理的发展与日俱增。这里略举几例。电磁感应的发现 1820年，丹麦物理学家奥斯特在实验中发现了电流的磁效应，这一实验使法拉第从对称性上诱发了一连串思考：这一现象的逆效应是否存在？能不能用磁体使导线中产生出电流来呢？等等。在1822年的日记里，他记下了一个大胆设想：由电产生磁，由磁产生电。并使用了“感应”这个词，从此，他开始了长达数十年的实验探索，终于在1831年8月29日发现了电磁感应现象，完成了名副其实的“磁生电”的对称性设想。法拉第这一划时代的发现，找到了把机械能转化为电能的方法，开创了电的时代，发动了又一次工业革命，对整个世界产生了极其深远的影响。物质波假设的提出 1923年到1924年间，德布罗意从完全符合对称性的思考上提出这样问题：既然光有波动性，也具有粒子性，那么具有粒子性的实物粒子（原子、电子、质子等）是否也具有波动性呢？他通过对原子、电子等实物粒子的性质和光的性质进行深刻的研究后，于1924年在博士论文答辩中提出了一个大胆的假设：“一般的物质也具有波粒二象性”。他假设每一个运动的粒子都有一个波与之对应，这个粒子的质量E和动量P与它所对应的波的频率和波长之间，也象光子一样遵从下面的关系：Eh，/。与某种这个实物粒子所对应的波就称为物质波或德布罗意波。这种假设后来为戴维森和汤姆生用实验予以证实。德布罗意从对称性思考提出的物质波假设，揭开了“自然界巨大面罩的一角”。宇称不守恒定律的发现 许多事实表明：对于一个多粒子系统，不论经过怎样的相互作用（如中子、质子、介子等之间的强相互作用或电磁相互作用）和发生怎样的变化（包括可能会使粒子数发生变化），系统的总宇称保持不变，这就是曾被奉为金科玉律的“宇称守恒定律”。可是，杨振宁、李政道经过仔细的分析和研究后，对宇称守恒定律在弱作用过程中是否成立提出了质疑：他们指出：“和一般所确信的相反，在弱相互作用中实际上并不存在左右对称的任何实验依据。如果左右对称在弱相互作用中并不存立，则宇称的概念就不能应用于和粒子的衰变机构中，因此和可以是同一粒子。”他们并提出了用实验进行验证的方案。后来得到了吴健雄的实验所证实。杨振宁、李政道因此获得了1956年的诺贝尔物理学奖。弱相互作用过程中宇称的不守恒，开创了粒子物理的新局面。宇称不守恒定律的发现给我们一个启示：对称能给人一种圆满、匀称、均衡的美感，对称破缺则体现了物理世界的多姿多彩，有时还可能意味着新的更高层次的对称性的建立，同时还会导致物理理论的重大突破。2、对称思维巧妙地运用在实验设计中库仑做钮秤实验的时候，当时还不知道怎么测量电量，电量的单位也还没有确定，库仑运用对称思想,把一个带电小球与另一个大小、形状、材料完全相同的不带电小球接触，则该小球所带的电量变为原来的，依此下去，就巧妙地将带电金属小球的电量分为原来的、 ，终于发现了点电荷间的作用定律。托马斯扬在解决光的相干性问题时，用单色光照射小孔S，如图1，再由S发散的光照射相邻的另外两个小孔S1和S2，于是在屏上就观察到了从S1和S2发出的两束光的干涉图象。这里他正是运用了对称思想巧妙地将点光源发出的一束光分为两束，从而获得了相干光源，观察到了干涉现象，验证了光的波动性。 对称曾启发了物理学家，它所发挥的巨大作用已在物理学上树立了丰碑。今后，对称还将继续推动物理学的发展，指导人们从更深层次上去探索物质结构及客观世界之谜。三、对称对物理学习的作用、利用对称启发直觉思维对称在我们学习和应用物理知识上最突出的功能是启发直觉思维，我们运用对称就是运用物体在时空上表现出的对称性，启发我们直觉地、正确地感受一些物理问题。例如：电荷在球形导体表面呈均匀分布，当其与等大中性球接触时，两球带的电荷相等。许多问题，有时不必去作论证，可以借助对称直接作出判断。例 如图，四只完全相同的电池串联在一起构成一个闭合回路，若每只电池的电动势为，内电阻为r，则a、b、c、d四点的电势为（ ）(A)aVbVcVd； (B)aVbVcVd；(C)aVbVcVd； (D) 无法确定。 图2解析：由于a、b、c、d在闭合回路中是完全对称的，根据对称性使立即可得正确答案为（C）。我们还可以把这个问题进一步推广为：有n个相同的电池，首尾相接构成闭合回路，根据对称性，同样可判知一个电池两端之间的电势差必定为零。因为既然每个电池都相同，取出的两点的位置对任何一个电池都是等价的，结果也必然相同。、运用对称思维方法巧解习题运用对称思维方法分析和解答物理问题，往往可以避免繁冗的数学推导，一下子抓住问题的物理本质，使分析问题的思路变得清晰，解决问题的步骤变得简捷。例 一物体以米/秒2的加速度做匀减速直线运动至停止，求物体在停止运动前第秒内的位移大小？解析：本题若按常规思路去求解，似乎显得条件不够，而利用运动的时间对称性去思考，则该题就转换成求初速度为零的匀加速直线运动的物体在第秒内的位移大小了。根据 at2 得1 at12 = 0.5米又SSS 135 得 SS 17 SS3.5(米)也就是物体在停止运动前第4秒内的位移是3.5米。例2 如图4所示，一条长为L的细绳，上端固定，下端拴着一个质量为m的带电小球，置于场强大小为E、方向水平的匀强电场中，且细绳偏离竖直方向时，小球平衡如果使偏角由增大到，然后将小球由静止开始释放，则应为多大，才能使小球到达最低点时速度刚好为零？解析：小球最初静止的位置（），就是小球发生振动的平衡位置。根据小球在振幅位置处的速度为零，且两振幅位置和具有时空对称性,即偏离平衡位置的角度相等。故为使小球到达最低点时的速度刚好为零，应使角等于2倍的角，即=2，显然，这里运用对称法比用功能关系和三角函数变换关系来计算更简便。 图4 图5例3 如图5所示，凸透镜的焦距f =20厘米，在垂直主轴且距透镜u = 60厘米的平面上物点S以半径R = 5厘米，速度v = 1米/秒绕主轴做匀速圆周运动。求像点s的运动轨迹和运动加速度?解析:根据透镜成像具有共轭对称的特性，不论物点如何运动（或者透镜的位置如何变化），物点S、光点O和像点S总是同时相应地变化,并且三点始终保持在同一直线上,即具有“三点共线”的特点。所以，当物点S做匀速圆周运动时，像点S也以同样的角速度做圆周运动，且角速度大小为：= v / R = 20弧/秒根据放大率公式:K = r /R = f / u-f ，则像点的轨道半径为：r = f R / u-f = 2.5厘米所以，像点的加速度为a = 2r = 10米/秒2例4、当两条通电直导线通以同向电流时，分析它们的之间的相互作用力怎样？可用右手定则先判断1导线产生的磁场，再用左手定则判断对2导线的作用力，再由作用力与反作用力的对称性，可直接判断2对1导线的受力，由此判断它们之间是相互吸引的。同理通以反向电流时，也可由对称性分析它们之间的相互作用的排斥。二、许多运动，如简谐运动、竖直上抛，都有对应点的速度、位移和动量大小相等、方向相反，对应点动能、势能，对应段的时间大小相等；斜抛运动（对称轴两侧的对应点速度和动量大小相等，方向对称，但不相反；动能、势能、对应段的时间大小相等）等，都是具有对称性的，如果用对称性处理问题就可以迎刃而解了。例5、如图所示，一劲度系数为k的轻质弹簧，直立在地面上，在其上端轻放一个质量为m的物体，则弹簧的最大压缩量为多大？解析：物体放在弹簧上后，在竖直方向做简谐运动，设物体运动到平衡位置的距离为h，则由平衡条件得kh=mg，所以h=mg/k，由再简谐运动的对称性知，物体下降的最大高度，即弹簧最大压缩量为x=2h=2mg/k。例6、如图所示的直线是真空中某电场的一条电场线，A、B是这条直线上的两点，一电子以速度vA经过A点向B点运动，经过一段时间后，电子以速度vB经过B点，且vB与vA的方向相反，则AvABvBA.A点的场强一定大于B点的场强B.A点的电势一定低于B点的电势 C.电子在A点的速度一定小于在B点的速度D.电子在A点的电势能一定小于在B点的电势能解析：电子受到电场力的作用先向右，再向左运动。来回对应点具有对称性，速度大小相等、方向相反，电势能相等等特点，向右运动时电场力做负功，电子在A点的电势能一定小于在B点的电势能，则可知选D。三、对称性图形在物理学中也是常见的。如：点电荷、带等量异种电荷、带等量同种电荷的电场分布，条形磁铁、通电螺线管、通电直导线周围的磁场分布，等等都具有对称性，若运用对称法解题常很容易。在电磁学中，带电粒子在磁场中的运动，要注意圆周运动中有关对称规律，如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出；在光学中，光的反射定律，平面镜成像，光路可逆；简谐运动、交流电的正弦、余弦规律变化的图象等等例7、如图所示，A、B是两个等量异号的点电荷，其中A带正电荷的电量为QA、B两点电荷相距L在两点电荷连线上距中点O，L/4处有a、b两点，在连线中垂线上有距两点电荷均为L的c、d两点，点的位置如图所示，则下列结论中正确的是()A场强Ea=EbB场强Ec=EdC电势Ua=Ub D电势Uc=Ud解析：由带等量异种电荷电场分布对称性知： Ea=Eb，Ec=Ed（注意方向），Uc=Ud；Ua=Ub 是错的，因沿着电场线电势降低。 所以ABD对。例8、如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速度沿与x轴成30角从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动时间之比为 。解析：如图由带电粒子运动轨迹的对称性，可知正、负电子在磁场中偏转角分别为1200和600而正、负电子在磁场中周期一样，所以运动时间之比为2:1例9、电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，此时磁场的磁感应强度B应为多少？解析：画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）,偏角可由 求出。经历时间由 得出 由对称性知射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。221qtanemUrB=四、化不对称为对称。不具对称性的问题转化成具有对称性的问题来解决。例10、如图所示，相对两上斜面，倾角分别为37和53，在顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在足够长的斜面上。若不计空气阻力，则两个小球在空中运动的时间之比（sin37=0.6，cos37=0.8）B解析：对称地补上一条辅助线，两个平抛运动具有对称性知，假如A落在辅助线上两个小球在空中运动的时间相等，而落在题目所示斜面上两个小球在空中运动的时间之比tAtB五、非用对称法解不可。例11、（