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文档简介

二、矩阵的秩1定义2.10 mn阶矩阵A的行秩、列秩，统称为矩阵A的秩，记作r(A)注10r(A)min 2r(A)=m称A为行满秩矩阵r(A)=n称A为列满秩矩阵行满秩或列满秩，统称为满秩矩阵。3看例1，只要将A化为阶梯形，知道行秩即可得矩阵的秩，即 由B的行向量值，知道行秩为2， 2矩阵秩的判断定理引 n个n维向量的相关与无关，可以通过构成的n阶行列式是否为零来判断。矩阵的秩是否也可以通过矩阵中元素构成的行列式来讨论呢？这就是下面要阐述的判断定理。(1)矩阵A的k阶子式行列式的k阶子式的概念同样可以运用到矩阵上来。即：在矩阵 中，任取k行，k列，位于这些行列交叉处的 个元素按原来顺序组成的一个k阶行列式N，称为矩阵A的一个k阶子式。(2)引理矩阵A有r阶子式不为零，则r(A)r证明 不妨设A的前r行、r列构成的r阶子式 则 线性无关又 为 ， ， 增维所得。由“无关增维仍无关”，则 线性无关。 r(A)r(3)定理2.12 证明 1设 A的行向量中一定有r个线性无关，设为 ，由其构成矩阵 则 的列秩为r，必有r个列向量线性无关。不妨设 线性无关所以 即至少有一个r阶子式不为0。2仅证 r+1阶子式都为0设有r+1阶子式不为0，由引理r(A)=r+1，矛盾。 首先 所有r+1阶子式都为0，由行列式展开定理，任意大于r+1阶的子式也为0。 有r阶子式不为0由引理 r(A)r如果 ，由“ ”的证明必有 阶子式不为0，矛盾。 * 一个矩阵通过初等变换，化阶梯形来确定矩阵的秩的方法，可以从定理2.12处再次找到依据。看例1 分析B，阶梯为2，必有2阶子式不为0 为上三角行列式，必不为0。又第三行元素全为0，则任意3阶子式都为0 下面举例说明如何借助矩阵研究向量组。例2 从向量组中选出一个极大无关组，将其余向量用极大无关组线性表示，并求向量组的秩。 解 方法1以向量作为行构成矩阵A并对矩阵施以初等行变换，化阶梯形为B记录行的变换 线性无关，即极大无关组。 =0 方法2以向量作为列构成矩阵 对 施以初等行变换 线性无关 线性无关，即极大无关组。仍然通过初等行变换，将 变为基本单位向量。 注1方法2的依据是定理2.10，对矩阵施以初等行变换，列向量间的线性关系不变，所以自始
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