抽象函数模型化总结(珍藏版).doc

高三数学总复习抽象函数所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。常见的抽象函数对应的初等函数模型如下:初等函数模型抽象函数性质正比例函数一次函数幂函数 二次函数（a0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c指数函数 对数函数 或f(xm)=mf(x)余弦函数正切函数 下面从这一认识出发，例谈七种类型的抽象函数及其解法。（备注：解小题可参对应的具体函数，解大题得赋值，可在草纸上借助具体函数验证赋值所得结果是否正确。另并不是所有的抽象函数都能找到中学阶段所学的初等函数，此时，只能通过赋值解决问题。）一以正比例函数为模型的抽象函数正比例函数是满足函数恒等式的最常见的模型。若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。例1、已知函数对任意实数，均有，且当时，求在区间2，1上的值域。分析：由题设可知，函数是的抽象函数，因此求函数的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域为4，2。二、以一次函数为模型的抽象函数一次函数y=ax+b是满足函数恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常见的模型。例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y）2 + f（xy），且当x0时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 分析：由题设条件可猜测：f（x）是yx2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，当，则， 即，f（x）为单调增函数。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解为1 a 3。三、以幂函数为模型的抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。由幂函数的运算法则知是我们最熟悉的满足恒等式的函数。例3、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，当时，。（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在0，）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在0，）上是增函数。解：（1）令y1，则f（x）f（x）f（1）， f（1）1，f（x）f（x）， f（x）为偶函数。（2）设，时，f（x1）f（x2），故f（x）在0，）上是增函数。（3）f（27）9，又，又，故。四、二次函数型的抽象函数例4.定义在的函数满足，则等于（ ） A2 B3 C6 D9解：法一;设函数为，由得到，又由，知，；法二：所以法三： 5、以指数函数为模型的抽象函数由指数函数的性质知是满足恒等式的重要函数之一。例5、已知函数对于一切实数、满足(0)0，且当0时，1 （1）当0时，求的取值范围（2）判断在R上的单调性分析：由可知f（x）是指数函数的抽象函数，从而可猜想解：（1）对于一切、R，且(0)0令=0，则(0)=1，现设0，则-0，f(-) 1又(0)=(-)= =1 = 101（2）设，、R，则 f (9) f (x)是定义在R+上的增函数 解得：七、以三角函数为模型的抽象函数如满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）或f（x）+f（y）的函数便是以余弦函数为模型的抽象函数；而满足f（x+y）的抽象函数，则常以正切函数为模型进行联想。例8、设函数满足，且()=0，、R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。分析：由和=2coscos知，本题应是以余弦函数为模型的函数解：令=+，= 则=0为周期函数且2是它的一个周期。例9、已知函数满足，若，试求(2005)。分析：由和(+)=可知，本题应是以正切函为模型的函数解=-(+4)=是以4为周期的周期函数 又f(0)=2004=-f(2005)=-综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象具体抽象”的模型化思考方法，借此可帮助同学们捕捉到有益的解题信息，可使抽象函数问题顺利获解。练习：1、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（ B ） A . 2005 B. 2 C.1 D.0提示：先令2. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 （ ） 3. 。（2000）4对任意整数函数满足：，若，则（c ）A.-1 B.1 C. 19 D. 435.定义在的函数满足，则（ ） A2 B3 C6 D96设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x0时f(x)0.求证:()f(x)是奇函数； （）解:(1)易证f(x)是奇函数。（2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数.参考答案（仅供参考）一、选择题：1 解：（1）特例：满足条件的函数，如；（2），是将函数的图象关于轴对称，再右移一个单位得到，单调递减，是将函数向左移动一个单位得到，在关于轴对称，单调递减，故选。2、解：因为函数是定义在上的奇函数，所以， 关于点（1，0）对称. 因此，关于（0，1）对称 即 故3、解：有，知中有一个小于2，一个大于2，不妨设，又由知以为对称中心，且当时，单调递增，所以，所以，故选。4、解：， 二、填空题：5、解：（1）令 再令，（2）令，略。6、解：由函数的图象关于点中心对称，得，又由，所以，为偶函数 ，令，由，得；令，由，得，7、解：由，得,8、解：，把2x-3看成函数的自变量，则得函数的一个周期为9； 所以，函数的一个周期为.9、解： 三、解答题：10、解：（1）令 再令令，得 为偶函数（2）又且在上是单调递增函数 解得故不等式的解集为11、解：（1）令（2）任取 令令（或）函数在上单调递减。（4）如函 数 图 象 变 换 一 览 表平移横向纵向伸缩横向纵向对称中心对 称两条曲 线即与关于点对称一条曲 线若，则关于点对称轴对称斜率为1点点斜率为-1点点一条曲线若对满足,则关于直线对称注:由求得两条曲线函数与函数关于直线对称注:由解得对称轴对称两条曲线与关于对称与关于轴对称与关于轴对称与关于对称（反函数内容酌情！）与关于原点对称翻 折是保留轴上方图像，并将轴下方图像向上翻折所得；（因为y0）是保留轴右方图像，并将其向左翻折所得（为偶函数）一、填空：1、平移（）向左平移个单位所得的函数为 ；向右平移个单位所得的函数 向上平移个单位所得的函数 ；向下平移个单位所得的函数 2、对称（1）两个函数的对称与关于 对称； 与关于 对称；与关于 对称； 与关于 对称；与关于 对称； 与关于 对称。（2）函数自身的对称若，则关于 对称；若，则关于 对称；二、例题：1 （1）为奇函数，当时，若的图像向左平移一个单位得，求的解析式。（2）若的图像向右平移二个单位，向下平移一个单位，得到函数，求。2 （1）描述的图像经过怎样的变化得到和。（2）描述的图像经过怎样的变化得到，并求出的对称中心。（3）描述的图像经过怎样的变化得到和。3 （1）将函数的图像按平移得到的图像，求。（2）若函数的图像按平移得到，求。4 图像经平移或翻转后仍不能与的图像重合的是 （ ）A B. C. D. 5根据，作出、的图像。6（1），求关于对称的函数。（2）求的对称轴和对称中心。7若对任何实数都成立，则的图像 （ ）A关于直线对称 B. 关于直线对称C关于点对称 D. 关于点对称8 .分别求(1) (2)的单调增区间。9.分别画出函数和的图像。10 .把函数的反函数图像向右平移2个单位就得到曲线，函数的图像与曲线C关于直线成轴对称，求。三、巩固练习 1、函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为 。2、直线与直线关于直线对称，则_，_。3、已知函数的对称中心是，则 。4、设函数的图像关于直线对称且时，有，则当时，的解析式为 。5、设函数的图象关于直线对称，则 。6、定义在上的函数满足条件：不是常数函数，且与对任意成立，则对于下述命题中：（1）是周期函数；（2）的图像关于直线成轴对称；（3）的图像关于轴成轴对称；（4）的图像关于原点成中心对称。正确命题的序号是 。7、定义在上的函数，对任何都有，这个函数的图象的几何特征是 （ ）关于原点对称 关于轴对称关于点对称 关于点对称8、函数的图象向左平移个单位得图象，再将向上平移一个单位得图象，关于直线的对称图象是，则的解析式为 （ ） 9、已知图中的图象对应的函数，则图对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是（ ）10、函数的图象大致是 （ ）11、设函数。（1）作出在区间上画出函数的图像；12、设是定义在上的偶函数，它的图像关于直线对称，已知时，求当上的解析式。13、已知函数（1）求的单调区间；（2）若直线与有四个交点，求的取值范围；（3）讨论关于的方程解的情况。参考答案：一、 略二、 例题答案1（1）；（