小学奥数知识点梳理-全(大字)

精品文档 1欢迎下载 学而思小学奥数知识点梳理学而思小学奥数知识点梳理 一 计算 4 1 四则混合运算繁分数 4 2 简便计算 4 3 估算 5 4 比较大小 5 5 定义新运算 6 6 特殊数列求和 6 7 大数计算 6 9 重复数字 324324324324 324 1001001001 6 10 头同尾和十 6 11 452 2025 6 12 7 11 13 1001 6 37 3 111 6 13 7 的秘密 6 14 位值原理 7 二 数论 7 1 奇偶性问题 7 2 位值原则 7 3 数的整除特征 7 4 整除性质 7 5 带余除法 7 精品文档 2欢迎下载 6 唯一分解定理 8 7 约数个数与约数和定理 8 8 两数的约数也是两数差的约数 8 9 同余定理 8 10 弃九法 8 11 完全平方数性质 8 12 孙子定理 中国剩余定理 见下 8 13 余数应用 8 14 辗转相除法 根本在于辗转相减 9 15 质数 9 16 求最大公因数 最小共倍数 9 17 数论解题的常用方法 9 三 几何图形 12 1 平面图形 12 2 立体图形 长方体 正方体 14 3 周长 15 4 图形计数 15 5 图形分割和拼接 15 6 一些特殊图形 15 7 勾股定理 15 8 曲线形图形 16 9 一些特殊的图形 16 四 典型应用题 17 精品文档 3欢迎下载 1 植树问题 17 2 方阵问题 17 3 列车过桥问题 18 4 年龄问题 18 5 鸡兔同笼 18 6 牛吃草问题 18 7 平均数问题 18 8 盈亏问题 18 9 和差问题 18 10 和倍问题 18 11 差倍问题 18 12 逆推问题 18 13 代换问题 19 五 行程问题 19 1 相遇问题 19 2 追及问题 19 3 流水行船 19 4 多次相遇 19 5 环形跑道 19 6 行程问题中正反比例关系的应用 19 7 钟面上的相遇与追及问题 20 8 结合分数 工程 和差问题的一些类型 20 9 行程问题时常运用 时光倒流 和 假定看成 的思考方法 20 精品文档 4欢迎下载 10 发车间隔问题 20 11 接送问题 20 12 火车过桥 20 13 电梯问题 20 14 猎狗追兔 20 六 计数问题 21 1 枚举法 21 2 标数法 21 3 加法原理 分类 21 4 乘法原理 分步 21 5 排列组合 21 6 容斥原理 21 7 对应法 21 8 抽屉原理 22 9 握手问题 22 10 22 11 染地图 22 七 分数问题 22 1 纯循环小数 混循坏小数 互换 22 2 量率对应 22 3 以不变量为 1 22 4 利润问题 23 5 浓度问题 23 精品文档 5欢迎下载 6 工程问题 23 7 按比例分配 23 8 分百问题 23 9 在比的问题中 23 八 方程解题 23 1 等量关系 23 2 二元一次方程组的求解 就是消元的过程 23 3 不定方程的分析求解 24 4 不等方程的分析求解 24 5 未知数 24 九 找规律 操作与策略 24 周期性问题 也叫循坏问题 24 数列问题 24 3 最值问题 25 十 算式谜 25 十一 数阵问题 26 1 相等和值问题 26 2 数列分组 含数独 26 3 幻方 26 十二 进制 27 十三 一笔画 27 1 一笔画定理 27 2 哈密尔顿圈与哈密尔顿链 27 精品文档 6欢迎下载 3 多笔画定理 27 4 怎么把不能一笔画的变成可以的 27 5 一笔画的实际问题 27 6 最值问题 4 最值问题 27 十四 逻辑推理 27 1 等价条件的转换 27 2 假设法 27 3 列表法 27 4 对阵图 28 5 逆推法 28 十五 火柴棒问题 28 十六 游戏与对策问题 28 十七 智力问题 29 十八 构造与论证 29 十九 解题方法 29 前言前言 小学奥数知识点梳理 对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要 不过 小学奥数知识点梳理 对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要 不过 对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象 为此 本人参考了单对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象 为此 本人参考了单 尊主编的尊主编的 小学数学奥林匹克小学数学奥林匹克 中国少年报社主编的 中国少年报社主编的 华杯赛教材华杯赛教材 华杯华杯 赛集训指南赛集训指南 以及学而思的以及学而思的 寒假班系列教材寒假班系列教材 和华罗庚学校的教材共五套教和华罗庚学校的教材共五套教 材 力图打破原有体系 重新整合划分 构建十七块体系 其第十七为解题方材 力图打破原有体系 重新整合划分 构建十七块体系 其第十七为解题方 精品文档 7欢迎下载 法汇集 可补充相应杂题 法汇集 可补充相应杂题 原则上简明扼要 努力刻画小学奥数知识的主树 原则上简明扼要 努力刻画小学奥数知识的主树 干 干 1 1 把条件翻成数学表达 图 式子等 把条件翻成数学表达 图 式子等 2 2 代数的思想 翻不出来用字母代 代数的思想 翻不出来用字母代 3 3 不会做的时候怎么吧 能做啥做啥 不会做的时候怎么吧 能做啥做啥 概述概述 遇到让找出所有数 不要害怕 肯定不是很多 找规律 静下心 代数思想 逆推思想 归纳思想 猜证思想 分类分步思想 数形结合思想 我们告诉快速提分策略 不知该怎么办时 枚举找规律 一 计算一 计算 必考题目必考题目 一般需要速算巧算一般需要速算巧算 要先观察 看准了再动手 和 差 积的个位都只和每个数的个位有关 能大巧算就大巧 不能大巧就小巧 实在不行来狠的 数少或小的时候 有时数少或小的时候 有时 也许可以硬算 也许可以硬算 精品文档 8欢迎下载 数多或大时 硬算会出人命的 此时大都需要找规律数多或大时 硬算会出人命的 此时大都需要找规律 1 1 四则混合运算繁分数 四则混合运算繁分数 1运算顺序 运算顺序 2分数 小数混合运算技巧分数 小数混合运算技巧 一般而言 一般而言 加减运算中 能化成有限小数的统一以小数形式 加减运算中 能化成有限小数的统一以小数形式 带分数的加减法常常整数和分数分开写 带分数的加减法常常整数和分数分开写 乘除运算中 统一以分数形式 乘除运算中 统一以分数形式 乘法变成假分数 乘法变成假分数 带分数与假分数的互化带分数与假分数的互化 如果有大量的假可以化带 如果有大量的带 可以化假 如果有大量的假可以化带 如果有大量的带 可以化假 繁分数的化简繁分数的化简 5 5 要考虑整体约分 连续约分的概念 要考虑整体约分 连续约分的概念 2 2 简便计算 简便计算 凑整思想凑整思想 互补就加 尾同就减 配对凑整 借来还去互补就加 尾同就减 配对凑整 借来还去 分组凑整 分组凑整 1 1 好多数 且中间有省略 好多数 且中间有省略 2 2 甚至可能打乱顺序 重组 甚至可能打乱顺序 重组 3 3 带着前面的符号 带着前面的符号 基准数思想基准数思想 裂项与拆分裂项与拆分 裂和 目的 两两相消 凑整裂和 目的 两两相消 凑整 精品文档 9欢迎下载 a b a b b a a b b b a b b a2 b2 a b b a2 a b b b2 a b b a b b b a 裂差 目的 两两相消裂差 目的 两两相消 1 1 分子全部相同 最简单形式为分子全部相同 最简单形式为 1 1 不是 不是 1 1 提取公因数提取公因数 2 2 分母均为几个自然数的乘积形式 并且满足相邻分母均为几个自然数的乘积形式 并且满足相邻 2 2 个分母上的因个分母上的因 数首尾相接 数首尾相接 3 3 分母上的几个因数间的差是一个定值 分母上的几个因数间的差是一个定值 分数拆分 分数拆分 1 10 1 1 m m n n 是是 1010 的约数就可以 选取的约数就可以 选取 m m n n 的比不的比不 1 10 m n 10 m n n 10 m n 同就可以分成不同的两个分数相加 这里有 同就可以分成不同的两个分数相加 这里有 1 21 2 2 52 5 1 101 10 1 51 5 1 11 1 阶乘 考试考到阶乘通常是除法和逆运算乘法 乘法往上阶乘 考试考到阶乘通常是除法和逆运算乘法 乘法往上 5 5 想 想 6 6 5 5 6 6 6 6 除法考虑自己 想除法考虑自己 想 5 5 5 5 5 5 4 4 提取公因数提取公因数 公因数不会明白地告诉 需要用找出来公因数不会明白地告诉 需要用找出来 如何找 用拆分 也就是乘不变的方法 目的是找公因数如何找 用拆分 也就是乘不变的方法 目的是找公因数 迎春杯特点 迎春杯特点 精品文档 10欢迎下载 一定会考一题 一般是凑整求和 提取共因数 考提取公因数的可能比较大 一定会考一题 一般是凑整求和 提取共因数 考提取公因数的可能比较大 但不会那么明显地给出公因数 需要拆分找出来 实在不会 低年级可以硬但不会那么明显地给出公因数 需要拆分找出来 实在不会 低年级可以硬 算 算 商不变性质商不变性质 改变运算顺序改变运算顺序 运算定律的综合运用 交换率 结合率运算定律的综合运用 交换率 结合率 连减的性质连减的性质 连除的性质连除的性质 同级运算移项的性质 同级运算移项的性质 搬家带符号 加减括号 前面是 搬家带符号 加减括号 前面是 是一定要注意是一定要注意 增减括号的性质增减括号的性质 变式提取公因数变式提取公因数 形如 形如 1212 nn abababaaab 7 7 换元换元 8 8 通项归纳通项归纳 找规律 从简单情况入手找规律 从简单情况入手 目的 利用通项求解目的 利用通项求解 解题步骤 解题步骤 找最后一项 然后套公式 通常别算出来 当找不出规律时 再考虑算出来 找最后一项 然后套公式 通常别算出来 当找不出规律时 再考虑算出来 a a 1 1 或或 2 2 步上步上 1010 阶楼梯 有多上种上法 阶楼梯 有多上种上法 b b 几个圆或线或矩形吧平面分多少份几个圆或线或矩形吧平面分多少份 精品文档 11欢迎下载 方法 看多一个图形 多几个点 看多一个点把新的图形分成几个部分 方法 看多一个图形 多几个点 看多一个点把新的图形分成几个部分 就多几个部分就多几个部分 线和圆把平面分成多少份 第一条线有问题 其他恢复正常 线和圆把平面分成多少份 第一条线有问题 其他恢复正常 3 3 估算 估算 求某式的整数部分 扩缩法求某式的整数部分 扩缩法 4 4 比较大小 比较大小 基本方法 通分通分 a a 通分母通分母 b b 通分子通分子 跟跟 中介中介 比 比如和比 比如和 1 1 比比 利用倒数性质利用倒数性质 若若 则 则 c b a c b a 形如 形如 则 则 111 abc 312 123 mmm nnn 312 123 nnn mmm 浓度法浓度法 是真分数 必有 a b a m b m a b 是假分数 且 a b 必有 向左划括号向左划括号 60 所以 274 60 4 34 就是所求的数 例 2 一个数被 3 除余 2 被 7 除余 4 被 8 除余 5 这个数最小是几 题中 3 7 8 三个数两两互质 则 7 8 56 3 8 24 3 7 21 3 7 8 168 为了使 56 精品文档 23欢迎下载 被 3 除余 1 用 56 2 112 使 24 被 7 除余 1 用 24 5 120 使 21 被 8 除余 1 用 21 5 105 然后 112 2 120 4 105 5 1229 因为 1229 168 所以 1229 168 7 53 就是所求的数 例 3 一个数除以 5 余 4 除以 8 余 3 除以 11 余 2 求满足条件的最小的自然数 题中 5 8 11 三个数两两互质 则 8 11 88 5 11 55 5 8 40 5 8 11 440 为了使 88 被 5 除余 1 用 88 2 176 使 55 被 8 除余 1 用 55 7 385 使 40 被 11 除余 1 用 40 8 320 然后 176 4 385 3 320 2 2499 因为 2499 440 所以 2499 440 5 299 就是所求的数 例 4 有一个年级的同学 每 9 人一排多 5 人 每 7 人一排多 1 人 每 5 人一排多 2 人 问这个年级至少有多少人 幸福 123 老师问的题目 题中 9 7 5 三个数两两互质 则 7 5 35 9 5 45 9 7 63 9 7 5 315 为了使 35 被 9 除余 1 用 35 8 280 使 45 被 7 除余 1 用 45 5 225 使 63 被 5 除余 1 用 63 2 126 然后 280 5 225 1 126 2 1877 因为 1877 315 所以 1877 315 5 302 就是所求的数 例 5 有一个年级的同学 每 9 人一排多 6 人 每 7 人一排多 2 人 每 5 人一排多 3 人 问这个年级至少有多少人 题中 9 7 5 三个数两 两互质 则 7 5 35 9 5 45 9 7 63 9 7 5 315 为了使 35 被 9 除余 1 用 35 8 280 使 45 被 7 除余 1 用 45 5 225 使 63 被 5 除余 1 用 63 2 126 然后 280 6 225 2 126 3 2508 因为 2508 315 所以 精品文档 24欢迎下载 2508 315 7 303 就是所求的数 例 5 与例 4 的除数相同 那么各个 余数要乘的 数 也分别相同 所不同的就是最后两步 关于 中国剩余定理 类型题目的另外解法 中国剩余定理 解的题目 其实就是 余数问题 这种题目 也可以用倍数和余数的方法解决 不懂 论坛上有没人发过 小学奥赛考试时学习过 也用过 现在把方法写出来 如果懂的也别笑我 呵呵 例一 一个数被5 除余 2 被 6 除少 2 被 7 除 少 3 这个数最小是多少 解法 题目可以看成 被5 除余 2 被 6 除余 4 被 7 除余 4 看到那个 被 6 除余 4 被 7 除余 4 了么 有同余数的 话 只要求出 6 和 7 的最小公倍数 再加上 4 就是满足后面条件的数了 6X7 4 46 下面一步试下 46 能不能满足第一个条件 一个数被 5 除余 2 不行的话 只要再 46 加上 6 和 7 的最小公倍数 42 一直加到能满足 一个数被 5 除余 2 这步的原因是 42 是 6 和 7 的最小公倍数 再怎 么加都会满足 被 6 除余 4 被 7 除余 4 的条件 46 42 8846 42 42 13046 42 42 42 172 这是一种形式的 它的 前提是条件中出现同余数的情况 如果遇到没有的 下面讲例二 一个班学 生分组做游戏 如果每组三人就多两人 每组五人就多三人 每组七人就多 四人 问这个班有多少学生 解法 题目可以看成 除3 余 2 除 5 余 3 除 7 余 4 没有同余的情况 用的方法是 逐步约束法 就是从 除 7 余 4 的数 中找出符合 除 5 余 3 的数 就是再 7 上一直加 4 直到所得 的数除 5 余 3 得出数为 18 下面只要在 18 上一直加 7 和 5 得最小公倍数 35 直到满足 除 3 余 2 4 7 1111 7 1818 35 53 这种方法也可以 解 中国剩余定理 解的题目 比 中国剩余定理 更好理解 我觉的速 度上会比那个繁琐的公式化的解题更快 大家可以试下 所以 一共有 5 精品文档 25欢迎下载 个 187 367 547 727 907 1818 最值问题 最值问题 考虑平均化和极端化 两数和一定 差小积大 两数积一定 差小和小 三 几何图形三 几何图形 几何出题特点及趋势 淡化几何几大模型的直接考察 勾股定理频繁现身几何题中 方程 组 作用非比寻常 欧拉公式欧拉公式 顶点顶点 区域区域 边数边数 维数维数 1 1 1 1 平面图形 平面图形 多边形的内角和多边形的内角和 N N 边形的内角和边形的内角和 N 2 180 N 2 180 等积变形 位移 割补 等积变形 位移 割补 三角形内等底等高的三角形三角形内等底等高的三角形 平行线内等底等高的三角形平行线内等底等高的三角形 精品文档 26欢迎下载 A C B D 公共部分的传递性公共部分的传递性 极值原理 变与不变 极值原理 变与不变 三角形面积与底的正比关系三角形面积与底的正比关系 S S1 1 S S2 2 a b a b S S1 1 S S2 2 S S4 4 S S3 3 或者或者 S S1 1 S S3 3 S S2 2 S S4 4 所谓蝴蝶模型 所谓蝴蝶模型 相似三角形性质 份数 比例 相似三角形性质 份数 比例 S S1 1 S S2 2 a a2 2 A A2 2 abch ABCH 即所谓梯形蝴蝶模型 即所谓梯形蝴蝶模型 精品文档 27欢迎下载 S S1 1 S S3 3 S S2 2 S S4 4 a a2 2 b b2 2 ab ab ab ab S S a ba b 2 2 燕尾定理燕尾定理 S ABGS ABG S AGCS AGC S BGES BGE S GECS GEC BEBE ECEC S BGAS BGA S BGCS BGC S AGFS AGF S GFCS GFC AFAF FCFC S AGCS AGC S BCGS BCG S ADGS ADG S DGBS DGB ADAD DBDB 6 6 共角定理共角定理 7 7 差不变原理差不变原理 知知 5 2 35 2 3 则圆点比方点多 则圆点比方点多 3 3 BC A F D G E 精品文档 28欢迎下载 8 8 隐含条件的等价代换隐含条件的等价代换 例如弦图中长短边长的关系 例如弦图中长短边长的关系 9 9 组合图形的思考方法组合图形的思考方法 化整为零化整为零 先补后去先补后去 正反结合正反结合 有时要求的无法求 可以用反面的方法 求外围然后减去有时要求的无法求 可以用反面的方法 求外围然后减去 求面积 直接求求面积 直接求 5 5 间接求 整体间接求 整体 部分 总部分 总 n n m m 不好求 放到一个大的图形中去求 方法不好求 放到一个大的图形中去求 方法 这个大的图形的面积好这个大的图形的面积好 6 6 求 或者这个大的图形可以放到再一个大的图形中求 而这个更大求 或者这个大的图形可以放到再一个大的图形中求 而这个更大 的图形的面积好求的图形的面积好求 容斥法求解容斥法求解 7 7 10 10 长方形长方形 a b d c a d b c a ca c b db d a a c c b b d d 1111 正方形 正方形 说到正方形 就要想到等腰三角形 反之亦然说到正方形 就要想到等腰三角形 反之亦然 1 1 精品文档 29欢迎下载 弦图 看到斜着放的正方形 就应该想到弦图弦图 看到斜着放的正方形 就应该想到弦图 2 2 变成 5 个小正方形 作一个面积为 5 的正方形 1212 海伦公式 海伦公式 三角形的三边长分别为 三角形的三边长分别为 a a b b c c p p 为半周长为半周长 a a b b c c 2 2 则三角形的面积则三角形的面积 S S cpbpapp 1313 如果六边形对边相等 相隔一个顶点相连成的三角形的面积是六边如果六边形对边相等 相隔一个顶点相连成的三角形的面积是六边 形面积的一半形面积的一半 1414 当求一部分比另一部分的面积大多少时 除了直接求出每部分相减当求一部分比另一部分的面积大多少时 除了直接求出每部分相减 外 应该可以考虑差不变得方法 外 应该可以考虑差不变得方法 2 2 立体图形 长方体 正方体 立体图形 长方体 正方体 精品文档 30欢迎下载 规则立体图形的表面积和体积公式规则立体图形的表面积和体积公式 几个面 几个棱等要记清 几个面 几个棱等要记清 圆柱体的体积和表面积圆柱体的体积和表面积 圆锥体的体积和表面积圆锥体的体积和表面积 三棱柱的体积和表面积三棱柱的体积和表面积 不规则立体图形的表面积不规则立体图形的表面积 整体观照法整体观照法 体积的等积变形体积的等积变形 水中浸放物体 水中浸放物体 V V升水 升水 V V物 物 要先判断是否水上升超过了侵入的物体 然后再算升高了多少 要先判断是否水上升超过了侵入的物体 然后再算升高了多少 测啤酒瓶容积 测啤酒瓶容积 V VV V空气 空气 V V水 水 三视图与展开图三视图与展开图 最短线路与展开图形状问题最短线路与展开图形状问题 求堆积体表面积的常见方法 三视图法 有些看不见的图要额外加上 求堆积体体积的常见方法 切片法 染色问题 含染色再切块 染色问题 含染色再切块 几面染色的块数与几面染色的块数与 芯芯 棱长 顶点 面数的关系 棱长 顶点 面数的关系 6 6 打洞题目打洞题目 3 3 周长 周长 1 1 规则图形 规则图形 2 2 不规则图形 平移 注意别有漏的 必要的时候要分析线段之间的关 不规则图形 平移 注意别有漏的 必要的时候要分析线段之间的关 精品文档 31欢迎下载 系 要加加减减 系 要加加减减 4 4 图形计数 图形计数 容易数不全 方法 会分类 特别的 特别的 6 5 4 3 2 16 5 4 3 2 1 4 3 2 14 3 2 1 5 5 图形分割和拼接 图形分割和拼接 1 1 割 从数量和对称点入手 特别是当要求面积一样时 割 从数量和对称点入手 特别是当要求面积一样时 2 2 拼 看每条边的长度 相同长度的往一起拼 当然有时候可以是一条 拼 看每条边的长度 相同长度的往一起拼 当然有时候可以是一条 长边等于多条短边长边等于多条短边 3 3 剪 拼 前后面积相等 要计算规划 剪 拼 前后面积相等 要计算规划 6 6 一些特殊图形 一些特殊图形 完美长方形 弦图完美长方形 弦图 对角线把长方形分成相等的两部分对角线把长方形分成相等的两部分 记一些图形规律记一些图形规律 7 7 勾股定理 勾股定理 两直角边的平方和等于斜边的平方 记的数据 记的数据 3 3 4 4 5 5 5 5 1212 1313 1 1 1 1 根号 根号 2 2 精品文档 32欢迎下载 A C B 1 在平面几何中应用 直线形 曲线形 两园相切 园心相连过切点 两园相交 折叠 1 利用对称 用尽量少得未知数表述图中的线段 2 勾股定理解方程 2 立体几何中的应用 对角线 AD2 AC2 BC2 BD2 A A B C A D A 8 8 曲线形图形 曲线形图形 圆 扇形的周长与面积 平移 割补 旋转 公式总结 圆的面积 扇形面积 2 r 2 360 n r 圆的周长 扇形周长 2 r 22 360 n rr 9 9 一些特殊的图形 一些特殊的图形 1 弓形 弓形通常只求面积 半圆是特殊的弓形 弓形面积 扇形面积 三角形面积 除了半圆 精品文档 33欢迎下载 2 弯角 弯角的面积 正方形 扇形 3 谷子 谷子 的面积 弓形面积 2 D C B A 5 圆环面积 环 6 7 谷子 精品文档 34欢迎下载 四 典型应用题四 典型应用题 迎春杯特点 迎春杯特点 不会那么明显 直接地出盈亏 鸡兔同笼 倍比关系 会有变形和复杂的关不会那么明显 直接地出盈亏 鸡兔同笼 倍比关系 会有变形和复杂的关 系或陷阱系或陷阱 画图时 对于卖掉 去掉 运走 增加一样多等从左边画 画图时 对于卖掉 去掉 运走 增加一样多等从左边画 高年级了 实在不好考虑 用方程做 一般求啥设啥为未知数 直接设 高年级了 实在不好考虑 用方程做 一般求啥设啥为未知数 直接设 还可以间接设还可以间接设 1 1 植树问题 植树问题 开放型与封闭型开放型与封闭型 间隔与株数的关系间隔与株数的关系 2 2 方阵问题 方阵问题 外层边长数外层边长数 2 2 内层边长数内层边长数 即不论哪一层 每往里一层 每边差 即不论哪一层 每往里一层 每边差 2 2 每相邻两层的总数差 每相邻两层的总数差 8 8 外层边长数 外层边长数 1 1 4 4 外周长数外周长数 即可以用螺旋法求每一层的总数 其他形状的队列也一样 即可以用螺旋法求每一层的总数 其他形状的队列也一样 精品文档 35欢迎下载 外层边长数外层边长数 2 2 中空边长数 中空边长数 2 2 实面积数 实面积数 即正方形 长方形的有时可以转换成面积 即正方形 长方形的有时可以转换成面积 3 3 列车过桥问题 列车过桥问题 车长车长 桥长桥长 速度速度 时间时间 车长车长甲 甲 车长 车长乙 乙 速度和 速度和 相遇时间相遇时间 车长车长甲 甲 车长 车长乙 乙 速度差 速度差 追及时间追及时间 列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长车长 速度和速度和 相遇时间相遇时间 车长车长 速度差速度差 追及时间追及时间 4 4 年龄问题 年龄问题 1 1 牢记 年龄差不变 如果变了 一定有特殊的年龄情况 一定要找问题 牢记 年龄差不变 如果变了 一定有特殊的年龄情况 一定要找问题 的关键 比如的关键 比如 XXXX 年没有某人没有出生等等 年没有某人没有出生等等 2 2 年龄增加数一样 年龄倍数是变的 年龄增加数一样 年龄倍数是变的 5 5 鸡兔同笼 鸡兔同笼 假设法的解题思想 方程的方法常常会更简单快 但解方程要准确 但可假设法的解题思想 方程的方法常常会更简单快 但解方程要准确 但可 以两种方法进行检验以两种方法进行检验 假设法 全都是一种动物 如果有多种动物 可根据动物的特点先分成两 种 砍足法 画图法 捆绑法 打包法 精品文档 36欢迎下载 换算法 6 6 牛吃草问题 牛吃草问题 原有草量原有草量 牛吃速度 牛吃速度 草长速度 草长速度 时间时间 7 7 平均数问题 平均数问题 无论什么平均 一定记得总的数量无论什么平均 一定记得总的数量 总的单位 才是平均总的单位 才是平均 设数法设数法 8 8 盈亏问题 盈亏问题 假设法的解题思想 假设法的解题思想 方程的方法常常会更简单快 方程的方法常常会更简单快 但解方程要准确 但可但解方程要准确 但可 以两种方法进行检验以两种方法进行检验 公式法 分析差量关系分析差量关系 盈 亏 两次分配差 盈 盈 两次分配差 亏 亏 两次分配差 特别注意 一定的数量平均分给固定的对象时才能直接套公式 即 1 涉及三个量 被分配的总数 接受分配的人或物 分配原则 平均 原则 要保证 被分配的总数 接受分配的人或物 不变 方法 想办法把变的量变成不变的 2 基本的盈亏问题可以用殷老师的画图的方法 9 9 和差问题 和差问题 1010 和倍问题 和倍问题 1111 差倍问题 差倍问题 1212 逆推问题 逆推问题 精品文档 37欢迎下载 还原法 从结果入手 倒推法 列图表 线段图 倒推法 列图表 线段图 吹气球法吹气球法 逆推逆推 归纳归纳 1313 代换问题 代换问题 列表消元法列表消元法 等价条件代换等价条件代换 五 行程问题五 行程问题 普通行程问题最基本的概念 普通行程问题最基本的概念 路程和路程和 速度和速度和 相遇时间 相遇时间 所有的问题都来所有的问题都来 自于 自于 1 1 S S 变 往返问题 变 往返问题 STST 图 图 环形跑道 一圈的概念 环形跑道 一圈的概念 STST 图 即柳卡图 但遇到数字不好解的 考虑有没有其他方法图 即柳卡图 但遇到数字不好解的 考虑有没有其他方法 2 2 V V 变 流水行程 水速 变 流水行程 水速 变速问题 差量 变速问题 差量 解题时要考虑速度比 或者假设速度不变会怎样 比如解题时要考虑速度比 或者假设速度不变会怎样 比如 S S 变变 为多少 为多少 3 3 T T 变 走走停停 分段 变 走走停停 分段 平均速度 总 平均速度 总 S S 总总 T T 线段图 方程 比列法都是常用工具 有时候可以转化成面积 线段图 方程 比列法都是常用工具 有时候可以转化成面积 三人以上相遇或追及 杀人 转换成两两相遇三人以上相遇或追及 杀人 转换成两两相遇 如果路程 时间和速度只告诉一个 或一个都没有告诉用设数法如果路程 时间和速度只告诉一个 或一个都没有告诉用设数法 中点问题 陷阱 中点问题 陷阱 精品文档 38欢迎下载 如果题目中未提示什么相遇 相遇包括迎面相遇和追及相遇 端点的如果题目中未提示什么相遇 相遇包括迎面相遇和追及相遇 端点的 相遇 即是迎面相遇又是追及相遇相遇 即是迎面相遇又是追及相遇 4 4 变道 判断相遇的大概位置 第一次的 和要求的那次的相遇的大概 变道 判断相遇的大概位置 第一次的 和要求的那次的相遇的大概 位置位置 1 1 相遇问题 相遇问题 路程和路程和 速度和速度和 相遇时间相遇时间 2 2 追及问题 追及问题 路程差路程差 速度差速度差 追及时间追及时间 3 3 流水行船 流水行船 顺水速度顺水速度 船速船速 水速水速 逆水速度逆水速度 船速船速 水速水速 船速船速 顺水速度 顺水速度 逆水速度 逆水速度 2 2 顺水速度和逆水速度和是两倍的船速 顺水速度和逆水速度和是两倍的船速 水速水速 顺水速度 顺水速度 逆水速度 逆水速度 2 2 顺水速度和逆水速度差是两倍的水速 顺水速度和逆水速度差是两倍的水速 相遇 速度和相遇 速度和 V V 甲甲 V V 乙船速 变速后分段考虑乙船速 变速后分段考虑 追及 速度差追及 速度差 V V 甲 甲 V V 乙船速 变速后分段考虑乙船速 变速后分段考虑 说明 两船相遇 追及问题可以忽略水速 问一船的问题必须考虑水速 说明 两船相遇 追及问题可以忽略水速 问一船的问题必须考虑水速 掉东西 掉多久 追多久 掉东西 掉多久 追多久 只有一个量 只有一个量 V V S S T T 比例设数 比例设数 4 4 多次相遇 多次相遇 线型路程 线型路程 甲乙共行全程数甲乙共行全程数 相遇次数相遇次数 2 1 2 1 环型路程 环型路程 甲乙共行全程数甲乙共行全程数 相遇次数相遇次数 其中甲共行路程其中甲共行路程 甲在单个全程所行路程甲在单个全程所行路程 共行全程数共行全程数 精品文档 39欢迎下载 5 5 环形跑道 环形跑道 6 6 行程问题中正反比例关系的应用 行程问题中正反比例关系的应用 路程一定 速度和时间成反比 路程一定 速度和时间成反比 速度一定 路程和时间成正比 速度一定 路程和时间成正比 时间一定 路程和速度成正比 时间一定 路程和速度成正比 7 7 钟面上的相遇与追及问题 钟面上的相遇与追及问题 钟面介绍 钟面钟面介绍 钟面 6060 格 格 1 1 格格 6 6o o 时针速度 时针速度 1 1 小时小时 5 5 格格 60 60 分分 格格 1 1 1 12 2 分 分 分针速度 分针速度 1 1 小时小时 1 1 格格 1 1 分分 1 1 格格 分 分 分清是追及还是相遇 一般画个草图 选择整数点作为出发点 分清是追及还是相遇 一般画个草图 选择整数点作为出发点 追及问题 追及问题 1 1 时针 分针一次重合 与下一次重合间隔时针 分针一次重合 与下一次重合间隔 6565 5 5 1 11 1 0 0 0000 到到 1212 0000 时针 分针重合了 时针 分针重合了 1111 次 算头不算尾 次 算头不算尾 12 60 6512 60 65 1111 段段 5 5 1 11 1 2 2 解题思路 数格子数 路程差 解题思路 数格子数 路程差 找速度差找速度差 求时间求时间 数格子的方向 由快到慢数格子的方向 由快到慢 应记得数 直线应记得数 直线 直线直线 重合重合 重合重合 6565 5 5 1 11 1 7 72 20 0 1 11 1 相遇 找格数和 即路程和 相遇 找格数和 即路程和 速度和 速度和 坏钟问题 坏钟坏钟问题 坏钟好钟好钟 精品文档 40欢迎下载 6565 格格 6060 格格 格格 5 605 60 格格 注意唯一反比 时间和速度注意唯一反比 时间和速度 8 8 结合分数 工程 和差问题的一些类型 结合分数 工程 和差问题的一些类型 9 9 行程问题时常运用 行程问题时常运用 时光倒流时光倒流 和和 假定看成假定看成 的思考方法 的思考方法 1010 发车间隔问题 发车间隔问题 间隔 1 甲和车 2 乙和车 3 车自己 V 车 X t 解方程组就可以了 1111 接送问题 接送问题 1 柳卡图 2 画清楚图 1212 火车过桥 火车过桥 S 变 看车尾或车头 火车过桥的路程等于车长加桥长 火车过人和火车过桥问题的区别 1313 扶梯问题 扶梯问题 可以把它理解为牛吃草问题 速度时间总量 1 2 算出没分钟电梯上行或下行的速度 进而求总量 即走了多少级 1414 猎狗追兔 猎狗追兔 精品文档 41欢迎下载 方法 1 题目中的两句话告诉了猎狗和兔子的速度比 方法 2 假设猎狗 a 米 步 兔 b 米 步 c 步 秒 d 步 秒 相遇或追及距离 将步转换成米 就可以求出相遇或追击时间 然后求出要求的步数 六 计数问题六 计数问题 需要综合考虑 经常功亏一篑 迎春杯必考一道 近年来和图形结合着考的需要综合考虑 经常功亏一篑 迎春杯必考一道 近年来和图形结合着考的 比较多比较多 先看是不是直接排列组合 再看是否分步 再看是否分类 再考虑对立事件 先看是不是直接排列组合 再看是否分步 再看是否分类 再考虑对立事件 再考虑采用对应法 再考虑采用对应法 看到题目要求求有多少种 多少个等题 就是加乘原理或者说是排列组合这看到题目要求求有多少种 多少个等题 就是加乘原理或者说是排列组合这 种题型 先分类 如何分类 从条件比较特殊的入手 分类不能重复 一般种题型 先分类 如何分类 从条件比较特殊的入手 分类不能重复 一般 是找有多种选择的条件来分类 是找有多种选择的条件来分类 如何分步 按照完成题目要求的事情的顺序 一步一步地 如何分步 按照完成题目要求的事情的顺序 一步一步地 要注意是分类的 还是分步的 分类之后一定是分步 单纯的分步可以理解要注意是分类的 还是分步的 分类之后一定是分步 单纯的分步可以理解 是只有一类情况 是只有一类情况 可以和数论和最值问题结合 可以和数论和最值问题结合 有时候一种方向试试不好做 可以反过来想一想 有时候一种方向试试不好做 可以反过来想一想 1 1 枚举法 枚举法 精品文档 42欢迎下载 分类 有序枚举 做到不重不漏 分类 有序枚举 做到不重不漏 往往数量不大 范围比较明确 一定往往数量不大 范围比较明确 一定 当说的比较宽泛 没有办法的时候 找规律当说的比较宽泛 没有办法的时候 找规律 几何计数 特别数数三角形 常常用枚举 几何计数 特别数数三角形 常常用枚举 2 2 标数法 标数法 最短路线 就是加法原理 染色 派工作最短路线 就是加法原理 染色 派工作 3 3 加法原理 分类 加法原理 分类 4 4 乘法原理 分步 乘法原理 分步 5 5 排列组合 排列组合 其实就是加乘原理 实际上是种工具 排列考虑顺序 组合不考虑顺序其实就是加乘原理 实际上是种工具 排列考虑顺序 组合不考虑顺序 插板法例插板法例 1 1 方程 方程 x y z 10 x y z 10 有多少组正整数解 有多少组正整数解 36 C29 2 2 方程 方程 x y z 10 x y z 10 有多少组非负整数解 有多少组非负整数解 66 C212 3 3 方程 方程 x y z 10 x y z 10 有多少组有多少组 x x y y z z 都不小于都不小于 2 2 的整数解 的整数解 15 C26 插空法例 插空法例 打包法打包法 排除法排除法 除法定序除法定序 6 6 容斥原理 容斥原理 方法方法 工具 工具 1 1 文氏图 文氏图 2 2 列表法 适用于题目中没有提到交叉 列表法 适用于题目中没有提到交叉 3 3 方程法 方程法 总数量总数量 A B C AB AC BC ABC A B C AB AC BC ABC 常用 总数量常用 总数量 A B AB A B AB 精品文档 43欢迎下载 A A 交交 B B A BA B A A 并并 B B A BA B 容斥里的最值 文字理解 何种情况下最 容斥里的最值 文字理解 何种情况下最 险段图 检查 险段图 检查 7 7 对应法 对应法 数数下图有几个三角形 三角形对应到线数数下图有几个三角形 三角形对应到线 例如 例如 8 8 抽屉原理 抽屉原理 至多至少问题 构造抽屉 怎么构造 抓住问题 9 9 握手问题 握手问题 在图形计数中应用广泛在图形计数中应用广泛 角 线段 三角形 角 线段 三角形 长方形 梯形 平行四边形长方形 梯形 平行四边形 正方形正方形 1010 1111 染地图 染地图 关心的是图块之间的关系 其实不用关心图块的形状 可以在不改变相邻关关心的是图块之间的关系 其实不用关心图块的形状 可以在不改变相邻关 精品文档 44欢迎下载 系的情况下进行转换 把不熟悉的图形 不规则的图形 转换成熟悉的规则系的情况下进行转换 把不熟悉的图形 不规则的图形 转换成熟悉的规则 的图形的图形 1212 概率 概率 概率概率 特定事件 所有事件 七 分数问题七 分数问题 1 1 纯循环小数 混循坏小数 互换 纯循环小数 混循坏小数 互换 含 2 5 不含其它 是有限小数 含 2 5 含其它 无限混循环小数 不含 2 5 含其它 无限纯循环小数 循环小数与分数的转换 A 纯循环 例 0 Error Error 5Error Error 958 999 混循环 例 0 12Error Error 4Error Error 12345 12 99900 为什么可以这么化 设 A 0 Error Error 5Error Error 1000A 958 Error Error 5Error Error 985 A 999A 958 A 958 999 2 2 量率对应 量率对应 3 3 以不变量为 以不变量为 1 1 4 4 利润问题 利润问题 5 5 浓度问题 浓度问题 精品文档 45欢迎下载 基本概念 溶质 溶液 溶剂基本概念 溶质 溶液 溶剂 基本概念 溶液 溶质 溶剂 浓度 溶质 溶液 100 有些题表面不是浓度问题 但用浓度问题的方法来解 会非常简单 辨认 不出来也没关系 用方程的方法 解题方法 解题方法 1 1 根据定义列方程根据定义列方程 2 2 倒三角原理 也叫十字交叉法 倒三角原理 也叫十字交叉法 两种溶液混合前后的浓度关系 例 例 3 3 通比 解决因单方面变化而引起变化的问题 抓住不变 通比 解决因单方面变化而引起变化的问题 抓住不变 6 6 工程问题 工程问题 要深刻明白单位要深刻明白单位 1 1 的概念 把整个工程看成单位的概念 把整个工程看成单位 1 1 多个工程时通常最小的 多个工程时通常最小的 当成单位当成单位 1 1 工作效率 衡量工作快慢的量 工作总量 工作时间 工作效率的和 多人合作 工作效率相加 特别注意 工作量和工作效率都可直接相加 但工作时间不能 方程 组 可大大缩短分析时间 合作问题合作问题 精品文档 46欢迎下载 水池进出水问题水池进出水问题 7 7 按比例分配 按比例分配 8 8 分百问题 分百问题 分数的性质 分子分母同时扩大或缩小相同的非 0 倍数 值不变 方程法 直接假设 间接假设 近年常考 份数法 设总份数为各分母的最小公倍数 分百问题常考份数法 单位 1 法 方程法 9 9 在比的问题中 在比的问题中 是 比 占后面的是一个意思 如何判断份数和数值 比较 甲比乙多 代表份数 甲 乙 乙 1 2 1 2 甲比乙多 m 代表份数 甲 乙 1 2 1 2 八 方程解题八 方程解题 1 1 等量关系 等量关系 相关联量的表示法相关联量的表示法 例 例 甲甲 乙乙 100 100 甲甲 乙乙 3 3 x x 100 x100 x 3x3x x x 解方程技巧解方程技巧 恒等变形恒等变形 2 2 二元一次方程组的求解 就是消元的过程 二元一次方程组的求解 就是消元的过程 1 1 代入消元法 加减消元法 乘除消元法 代入消元法 加减消元法 乘除消元法 2 2 当方程数小数未知数 当方程数小数未知数 转化为解不等式 转化为解不等式 转化为解不定方程 转化为解不定方程 精品文档 47欢迎下载 看看是方程组列错了 还是根本就不用解 把某个或几个或几个和看看是方程组列错了 还是根本就不用解 把某个或几个或几个和 差 积 商差 积 商 当作已知数 把要求得未知数表示出来 当作已知数 把要求得未知数表示出来 3 3 不定方程的分析求解 不定方程的分析求解 以系数大者为试值角度 设未知数最好让它一定是自然数 1 整除 余数 加减 一般来说模小的 同余 乘除 分解质因数 2 范围 3 遇到数字和要想弃九法 4 4 不等方程的分析求解 不等方程的分析求解 5 5 未知数 未知数 1 直接设未知数 问什么设什么 间接设未知数 问什么并不设这个为未 知数 而是设中间条件 2 有时候不需要把所有未知数都解出来 3 有时候可以把某些未知数当已知数 去表示其他未知数 九 找规律 操作与策略九 找规律 操作与策略 两个基本方法 两个基本方法 1 1 是抓实质 是抓实质 操作 操作 通过操作找规律 可以算作找规律题 操作一定要仔细 遇到看上去无法下手的 可以先用简单的数或情况 少量的数或情况 试试找找规律 如果题目中没有限制条件 就可以先拿符合的特殊的数字或情况 精品文档 48欢迎下载 找规律 找规律 可以按结果找 也可以按过程中找 但通常会考过程中的规律 迎春 杯也是这个特点 特别多数排列找规律 特别多数排列找规律 看行 列 中间数 周期性 等差数列 数的个数等等 周期性问题 也叫循坏问题周期性问题 也叫循坏问题 余数的应用余数的应用 首先找题目中有无周期首先找题目中有无周期 有周期 做有周期 做 无周期 仔细操作找周期 如植树问题其实有周期 无周期 仔细操作找周期 如植树问题其实有周期 周期的循环不是固定的周期的循环不是固定的 一般日期问题都是周期问题 年月日 星期几问题一般日期问题都是周期问题 年月日 星期几问题 周期 总数周期 总数 捣乱分子 捣乱分子 组的个数组的个数 下一组前几个 下一组前几个 眼睛要尖 要建立对应关系眼睛要尖 要建立对应关系 找规律的方法之一 列表 怎么知道要列表 找规律的方法之一 列表 怎么知道要列表 如果一道题里有好几个规律如果一道题里有好几个规律 数列问题数列问题 等差数列等差数列 通项公式通项公式 a an n a a1 1 n 1 d n 1 d 求项数 求项数 n n 1 1 n aa d 求和 求和 S S 1 2 n aa n 求和公式 求项目的公式 即不住用植树问题套 其实植树问题就是等求和公式 求项目的公式 即不住用植树问题套 其实植树问题就是等 差数列问题差数列问题 当等差数列有奇数项时 和为中间数当等差数列有奇数项时 和为中间数 项数 也就是首数和尾数的平均项数 也就是首数和尾数的平均 数是中间数数是中间数 精品文档 49欢迎下载 3 3 1 3 5 9 111 3 5 9 11 项数项数 2 2 常常需要找数和项数的对