江苏2018版高考数学复习第十二章推理与证明算法复数12.1合情推理与演绎推理教师用书文苏教版.docx

12.1 合情推理与演绎推理1合情推理(1)归纳推理定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理2演绎推理(1)演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提一般性的原理；小前提特殊对象；结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*)()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10_.答案123解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10b10123.2下面几种推理过程是演绎推理的是_在数列an中，a11，an(an1)(n2)，由此归纳数列an的通项公式；由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；两直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则AB180；某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人答案解析、是归纳推理，是类比推理，符合三段论模式，是演绎推理3(2017南京质检)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行则正确的结论是_答案解析显然正确；对于，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交4(教材改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n (n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则存在的等式为_答案b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，bb1nb17n，可知存在的等式为b1b2bnb1b2b17n(n2，f(8)，f(16)3，f(32)，则可以归纳出一般结论：当n2时，有_答案f(2n) (nN*)解析由题意知f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有f(2n).故填f(2n) (nN*)题型二类比推理例5(1)对于命题：如果O是线段AB上一点，则|0；将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，有SOBCSOCASOBA0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有_(2)(2017苏州月考)求的值时，采用了如下方法：令x，则有x，解得x(负值已舍去)可用类比的方法，求得1的值为_答案(1)VOBCDVOACDVOABDVOABC0(2)解析(1)线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的结论为VOBCDVOACDVOABDVOABC0.(2)令1x，则有1x，解得x(负值已舍去)思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为_答案1解析设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：1.题型三演绎推理例6已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)(1)试证明：f(x)为R上的单调增函数；(2)若x，y为正实数且4，比较f(xy)与f(6)的大小(1)证明设x1，x2R，且x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1)f(x)为R上的单调增函数(2)解x，y为正实数，且4，xy(xy)()(13)(132 )，当且仅当即时取等号，f(x)在R上是增函数，且xy6，f(xy)f(6)思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提(1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为_大前提错误 小前提错误推理形式错误(2)(2016南京模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是_大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数；大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数；大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数；大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案(1)(2)解析(1)因为大前提“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误(2)中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故错误；、都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以、都不正确，只有正确10高考中的合情推理问题考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为填空题，难度为中档解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：b2 014是数列an的第_项；b2k1_.(用k表示)(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足：()Tf(x)|xS；()对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是_AN*，BN；Ax|1x3，Bx|x8或0x10；Ax|0x1，BR；AZ，BQ.解析(1)an12n，b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，b2 014a5 035.由知b2k1.(2)对于，取f(x)x1，xN*，所以AN*，BN是“保序同构”的，故排除；对于，取f(x) 所以Ax|1x3，Bx|x8或0x10是“保序同构”的，故排除；对于，取f(x)tan(x)(0x1)，所以Ax|0x0，那么这个演绎推理出错在_大前提 小前提推理过程 没有出错答案解析推理形式正确，但大前提错误，故得到的结论错误2下列推理是归纳推理的是_A，B为定点，动点P满足PAPB2aAB，则P点的轨迹为椭圆；由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式；由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆1的面积Sab；科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案解析从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以是归纳推理，其余都不是3(2017苏州质检)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为_答案8解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为26，第4层的点数为36，第5层的点数为46，第n(n2，nN*)层的点数为6(n1)设一个点阵有n(n2，nN*)层，则共有的点数为16626(n1)13n23n1，由题意得3n23n1169，即(n7)(n8)0，所以n8(舍去负值)，故共有8层4(2016扬州模拟)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为f(n)_.答案解析1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域5(2016徐州模拟)推理“矩形是平行四边形；三角形不是平行四边形；三角形不是矩形”中的小前提是_答案解析由演绎推理三段论可知，是大前提；是小前提；是结论6给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中正确结论的个数是_答案1解析(ab)nanbn(n1，ab0)，故错误sin()sin sin 不恒成立如30，60，sin 901，sin 30sin 60，故错误由向量的运算公式知正确7把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设aij(i，jN*)是位于这个三角形数表中从上往下第i行，从左往右数第j个数，如a428，若aij2 009，则i与j的和为_答案107解析由题意可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 00921 0051，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数为961，前32个奇数行内数的个数为1 024，故2 009在第32个奇数行内，则i63，因为第63行第1个数为296211 923,2 0091 9232(j1)，所以j44，所以ij107.8已知等差数列an中，有，则在等比数列bn中，类似的结论为_答案解析由等比数列的性质可知b1b30b2b29b11b20，.9若P0(x0，y0)在椭圆1(ab0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是_答案1解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是1，1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有1，1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线1上，故切点弦P1P2所在的直线方程是1.10如图(1)，若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比.如图(2)，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为_答案解析考查类比推理问题，由图看出三棱锥P1OR1Q1及三棱锥P2OR2Q2的底面面积之比为，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为，故体积之比为.11设f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解f(0)f(1)，同理可得f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).证明：f(x)f(1x).12(2016连云港模拟)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论解(1)选择式，计