高中三角函数典型例题(教用)

精品文档 1欢迎下载 典型例题 1 已知 求的值 2tan xxx cos sin 解 解 因为 又 2 cos sin tan x x x1cossin 22 aa 联立得 1cossin cos2sin 22 xx xx 解这个方程组得 5 5 cos 5 52 sin 5 5 cos 5 52 sin x x x x 2 求的值 330cos 150sin 690tan 480sin 210cos 120tan 解 解 原式 30360cos 150sin 30720tan 120360sin 30180cos 180120tan o 3 3 30cos 150sin 30tan 120sin 30cos 60tan 3 若 求的值 2 cossin cossin xx xx xxcossin 解 解 法一 因为 2 cossin cossin xx xx 所以 cos sin2cossinxxxx 得到 又 联立方程组 解得xxcos3sin 1cossin 22 aa 10 10 cos 10 103 sin 10 10 cos 10 103 sin x x x x 精品文档 2欢迎下载 所以 10 3 cossinxx 法二 因为 2 cossin cossin xx xx 所以 cos sin2cossinxxxx 所以 所以 22 cos sin4 cos sinxxxx xxxxcossin84cossin21 所以有 10 3 cossinxx 4 求证 xxxx 2222 sintansintan 5 5 求函数在区间上的值域 6 2 sin 2 x y 2 0 解 解 因为 所以 由正弦函数的图象 20 x 2 0 x 6 7 626 x 得到 所以 1 2 1 6 2 sin 2 x y 2 1 6 2 sin 2 x y 6 6 求下列函数的值域 1 2 2cossin 2 xxy cos sincossin2xxxxy 解 解 1 2cossin 2 xxy 3 cos cos2coscos1 22 xxxx 精品文档 3欢迎下载 令 则xtcos 4 13 2 1 4 13 2 1 3 1 1 222 ttttyt 利用二次函数的图象得到 4 13 1 y 2 cos sincossin2xxxxy cos sin1 cos sin 2 xxxx 令 则xxtcossin 2 4 sin x 2 2 t 则利用二次函数的图象得到 1 2 tty 21 4 5 y 7 7 若函数y Asin x 0 0 的图象的一个最高点为 它到其相 2 2 邻的最低点之间的图象与x轴交于 6 0 求这个函数的一个解析式 解 解 由最高点为 得到 最高点和最低点间隔是半个周期 从而与x轴 2 2 2 A 交点的间隔是个周期 这样求得 T 16 所以 4 1 4 4 T 8 又由 得到可以取 2 8 sin 22 4 8 sin 2 4 xy 8 8 已知函数f x cos4x 2sinxcosx sin4x 求f x 的最小正周期 若求f x 的最大值 最小值 数 2 0 x 的值域 x x y cos3 sin1 解 解 因为f x cos4x 2sinxcosx sin4x cos2x sin2x cos2x sin2x sin2x 4 2sin 2 2 4 sin 22sin2cos2sin sin cos 22 xxxxxxx 所以最小正周期为 若 则 所以当x 0 时 f x 取最大值为 2 0 x 4 3 4 4 2 x 当时 f x 取最小值为 1 4 sin 2 8 3 x 2 精品文档 4欢迎下载 9 已知 求 1 2 的2tan sincos sincos 22 cos2cos sinsin 值 解 1 223 21 21 tan1 tan1 cos sin 1 cos sin 1 sincos sincos 2 22 22 22 cossin cos2cossinsin cos2cossinsin 3 24 12 222 1 cos sin 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 说明 利用齐次式的结构特点 如果不具备 通过构造的办法得到 进行弦 切互化 就会使解题过 程简化 10 求函数的值域 2 1 sincos sincos yxxxx 解 设 则原函数可化为sincos2sin 22 4 txxx 因为 所以 22 13 1 24 yttt 22 t 当时 当时 2t max 32y 1 2 t min 3 4 y 所以 函数的值域为 3 32 4 y 11 已知函数 1 求的最小正周期 2 4sin2sin22f xxxxR f x 的最大值及此时x的集合 2 证明 函数的图像关于直线对称 f x f x 8 x 解 22 4sin2sin222sin2 1 2sin f xxxxx 2sin22cos22 2sin 2 4 xxx 精品文档 5欢迎下载 1 所以的最小正周期 因为 f xT xR 所以 当 即时 最大值为 22 42 xk 3 8 xk f x2 2 2 证明 欲证明函数的图像关于直线对称 只要证明对任意 有 f x 8 x xR 成立 88 fxfx 因为 2 2sin 2 2 2sin 2 2 2cos2 8842 fxxxx 2 2sin 2 2 2sin 2 2 2cos2 8842 fxxxx 所以成立 从而函数的图像关于直线对称 88 fxfx f x 8 x 12 已知函数 y cos2x sinx cosx 1 x R 2 1 2 3 1 当函数 y 取得最大值时 求自变量 x 的集合 2 该函数的图像可由 y sinx x R 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到 解 1 y cos2x sinx cosx 1 2cos2x 1 2sinx cosx 2 1 2 3 4 1 4 1 4 3 1 cos2x sin2x cos2x sin sin2x cos 4 1 4 3 4 5 2 1 6 6 4 5 sin 2x 2 1 6 4 5 所以 y 取最大值时 只需 2x 2k k Z 即 x k k Z 6 2 6 所以当函数 y 取最大值时 自变量 x 的集合为 x x k k Z 6 2 将函数 y sinx 依次进行如下变换 i 把函数 y sinx 的图像向左平移 得到函数 y sin x 的图像 6 6 精品文档 6欢迎下载 ii 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到函数 2 1 y sin 2x 的图像 6 iii 把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍 横坐标不变 得到函数 2 1 y sin 2x 的图像 2 1 6 iv 把得到的图像向上平移个单位