新北师大1.3.1《正方形的性质》习题(含详细的答案解析)

1 3 1 正方形的性质习题解答 一 选择题 共 13 小题 1 如图 ABC 是一个等腰直角三角形 DEFG 是其内接正方形 H 是正方形的对角线交点 那么 由图中的线段 所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为 A 12B 13 C 26D 30 2 如图所示 E F 分别是正方形 ABCD 的边 CD AD 上的点 且 CE DF AE BF 相交于点 O 下列结论 AE BF AE BF AO OE S AOB S四边形 DEOF中 错误的有 A 1 个B 2 个 C 3 个D 4 个 3 如图 在正方形 ABCD 中 AB 4 E 为 CD 上一动点 AE 交 BD 于 F 过 F 作 FH AE 于 H 过 H 作 GH BD 于 G 下 列有四个结论 AF FH HAE 45 BD 2FG CEH 的周长为定值 其中正确的结论有 A B C D 4 一个围棋盘由 18 18 个边长为 1 的正方形小方格组成 一块边长为 1 5 的正方形卡片放在棋盘上 被这块卡片 覆盖了一部分或全部的小方格共有 n 个 则 n 的最大值是 A 4B 6 C 10D 12 5 如图 四边形 ABCD 是正方形 以 CD 为边作等边三角形 CDE BE 与 AC 相交于点 M 则 AMD 的度数是 A 75 B 60 C 54 D 67 5 精品文档 2欢迎下载 6 在平面直角坐标系中 称横 纵坐标均为整数的点为整点 如下图所示的正方形内 包括边界 整点的个数是 A 13B 21 C 17D 25 7 在同一平面上 正方形 ABCD 的四个顶点到直线 l 的距离只取四个值 其中一个值是另一个值的 3 倍 这样的 直线 l 可以有 A 4 条B 8 条 C 12 条D 16 条 8 如图 正方形 ABCD 的边长为 1 E 为 AD 中点 P 为 CE 中点 F 为 BP 中点 则 F 到 BD 的距离等于 A B C D 9 搬进新居后 小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品 ABCD 彩线 BD AN CM 将正方 形 ABCD 分成六部分 其中 M 是 AB 的中点 N 是 BC 的中点 AN 与 CM 交于 O 点 已知正方形 ABCD 的面积为 576cm2 则被分隔开的 CON 的面积为 A 96cm2B 48cm2 C 24cm2D 以上都不对 10 如图 正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点 在 BD 上截取 BE BC 连接 CE 点 P 是 CE 上任意一点 PM BD 于 M PN BC 于 N 若正方形 ABCD 的边长为 1 则 PM PN 精品文档 3欢迎下载 A 1B C D 1 11 顶点为 A 6 6 B 4 3 C 1 7 D 9 4 的正方形在第一象限的面积是 A 25B 36 C 49D 30 12 ABCD 是边长为 1 的正方形 BPC 是等边三角形 则 BPD 的面积为 A B C D 13 如图 正方形 ABCD 的面积为 16 ABE 是等边三角形 点 E 在正方形 ABCD 内 在对角线 BD 上有一点 P 使 PC PE 的和最小 则这个最小值为 A 4B 2 C 2D 2 二 填空题 共 8 小题 14 如图 所示 将五个边长都为 1cm 的正方形按如图所示摆放 其中点 A B C D 分别是正方形对角线的交点 如果有 n 个这样大小的正方形这样摆放 则阴影面积的总和是 cm2 15 如图 若正方体的边长为 a M 是 AB 的中点 则图中阴影部分的面积为 精品文档 4欢迎下载 16 如图 以矩形 OABC 的顶点 O 为原点 OA 所在的直线为 x 轴 OC 所在的直线为 y 轴 建立平面直角坐标系 已知 OA 3 OC 2 点 E 是 AB 的中点 在 OA 上取一点 D 将 BDA 沿 BD 翻折 使点 A 落在 BC 边上的点 F 处 若在 y 轴上存在点 P 且满足 FE FP 则 P 点坐标为 17 如图 边长为 a 的正方形 ABCD 和边长为 b 的正方形 BEFG 排放在一起 O1和 O2分别是两个正方形的中心 则 阴影部分的面积为 线段 O1O2的长为 18 已知正方形纸片 ABCD 的面积为 2007cm2 现将该纸片沿一条线段折叠 如图 使点 D 落在边 BC 上的点 D 处 点 A 落在点 A 处 A D 与 AB 交于点 E 则 BD E 的周长等于 cm 19 已知正方形 ABCD 在直角坐标系内 点 A 0 1 点 B 0 0 则点 C D 坐标分别为 和 只写一组 20 如图 在一个正方形被分成三十六个面积均为 1 的小正方形 点 A 与点 B 在两个格点上 在格点上存在点 C 使 ABC 的面积为 2 则这样的点 C 有 个 21 已知正方形内接于圆心角为 90 半径为 10 的扇形 即正方形的各顶点都在扇形上 则这个正方形的边长为 三 解答填空题 共 6 小题 22 如图 在正方形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O AF 平分 BAC 交 BD 于点 F 1 求证 精品文档 5欢迎下载 2 点 A1 点 C1分别同时从 A C 两点出发 以相同的速度运动相同的时间后同时停止 如图 A1F1平分 BA1C1 交 BD 于点 F1 过点 F1作 F1E A1C1 垂足为 E 请猜想 EF1 AB 与三者之间的数量关系 并证明 你的猜想 3 在 2 的条件下 当 A1E1 6 C1E1 4 时 则 BD 的长为 23 1 计算 2 已知 如图 点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点 点 F 是 CB 的延长线上一点 且 EA AF 求证 DE BF 24 如图 点 E F 分别在正方形 ABCD 的边 DC BC 上 AG EF 垂足为 G 且 AG AB 则 EAF 度 25 如图 正方形 ABCD 中 AB 点 E F 分别在 BC CD 上 且 BAE 30 DAF 15 度 1 求证 DF BE EF 2 则 EFC 的度数为 度 3 则 AEF 的面积为 26 已知正方形 ABCD 的边长为 4cm E F 分别为边 DC BC 上的点 BF 1cm CE 2cm BE DF 相交于点 G 则四 边形 CEGF 的面积为 cm2 27 如图 正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 n 后得到正方形 AEFG 边 EF 与 CD 交于点 O 1 以图中已标有字母的点为端点连接两条线段 正方形的对角线除外 要求所连接的两条线段相交且互相垂 精品文档 6欢迎下载 直 并说明这两条线段互相垂直的理由 2 若正方形的边长为 2cm 重叠部分 四边形 AEOD 的面积为 则旋转的角度 n 度 精品文档 7欢迎下载 答案与评分标准 一 选择题 共 13 小题 1 如图 ABC 是一个等腰直角三角形 DEFG 是其内接正方形 H 是正方形的对角线交点 那么 由图中的线段 所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为 A 12B 13 C 26D 30 考点 全等三角形的判定 等腰直角三角形 正方形的性质 分析 根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数 由于图中全等三角形的对数较多 可以根据斜边长的 不同确定对数 可以做到不重不漏 解答 解 设 AB 3 图中所有三角形均为等腰直角三角形 其中 斜边长为 1 的有 5 个 它们组成 10 对全等三角 形 斜边长为的有 6 个 它们组成 15 对全等三角形 斜边长为 2 的有 2 个 它们组成 1 对全等三角形 共计 26 对 故选 C 点评 本题考查了全等三角形的判定 涉及到等腰直角三角形和正方形的性质 解题的关键是记熟全等三角形的 判定方法并做到不重不漏 2 如图所示 E F 分别是正方形 ABCD 的边 CD AD 上的点 且 CE DF AE BF 相交于点 O 下列结论 AE BF AE BF AO OE S AOB S四边形 DEOF中 错误的有 A 1 个B 2 个 C 3 个D 4 个 考点 正方形的性质 分析 根据四边形 ABCD 是正方形及 CE DF 可证出 ADE BAF 则得到 AE BF 以及 ADE 和 BAF 的面积相 等 得到 S AOB S四边形 DEOF 可以证出 ABO BAO 90 则 AE BF 一定成立 错误的结论是 AO OE 解答 解 四边形 ABCD 是正方形 CD AD CE DF DE AF ADE BAF AE BF S ADE S BAF DEA AFB EAD FBA S AOB S四边形 DEOF ABF AFB DAE DEA 90 精品文档 8欢迎下载 AFB EAF 90 AE BF 一定成立 错误的结论是 AO OE 故选 A 点评 本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质 3 如图 在正方形 ABCD 中 AB 4 E 为 CD 上一动点 AE 交 BD 于 F 过 F 作 FH AE 于 H 过 H 作 GH BD 于 G 下 列有四个结论 AF FH HAE 45 BD 2FG CEH 的周长为定值 其中正确的结论有 A B C D 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 专题 动点型 分析 1 作辅助线 延长 HF 交 AD 于点 L 连接 CF 通过证明 ADF CDF 可得 AF CF 故需证明 FC FH 可证 AF FH 2 由 FH AE AF FH 可得 HAE 45 3 作辅助线 连接 AC 交 BD 于点 O 证 BD 2FG 只需证 OA GF 即可 根据 AOF FGH 可证 OA GF 故可证 BD 2FG 4 作辅助线 延长 AD 至点 M 使 AD DM 过点 C 作 CI HL 则 IL HC 可证 AL HE 再根据 MEC MIC 可证 CI IM 故 CEM 的周长为边 AM 的长 为定值 解答 解 1 连接 FC 延长 HF 交 AD 于点 L BD 为正方形 ABCD 的对角线 ADB CDF 45 AD CD DF DF ADF CDF FC AF ECF DAF ALH LAF 90 LHC DAF 90 ECF DAF FHC FCH FH FC FH AF 2 FH AE FH AF HAE 45 3 连接 AC 交 BD 于点 O 可知 BD 2OA 精品文档 9欢迎下载 AFO GFH GHF GFH AFO GHF AF HF AOF FGH 90 AOF FGH OA GF BD 2OA BD 2FG 4 延长 AD 至点 M 使 AD DM 过点 C 作 CI HL 则 LI HC 根据 MEC MIC 可得 CE IM 同理 可得 AL HE HE HC EC AL LI IM AM 8 CEM 的周长为 8 为定值 故 1 2 3 4 结论都正确 故选 D 点评 解答本题要充分利用正方形的特殊性质 在解题过程中要多次利用三角形全等 4 一个围棋盘由 18 18 个边长为 1 的正方形小方格组成 一块边长为 1 5 的正方形卡片放在棋盘上 被这块卡片 覆盖了一部分或全部的小方格共有 n 个 则 n 的最大值是 A 4B 6 C 10D 12 考点 正方形的性质 专题 作图题 分析 要 n 取最大值 就让边长为 1 5 的正方形卡片边与小方格的边成一定角度 解答 解 卡片的边长为 1 5 卡片的对角线长为 2 3 且小方格的对角线长 1 5 故该卡片可以按照如图所示放置 图示为 n 取最大值的时候 n 12 故选 D 精品文档 10欢迎下载 点评 本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算 旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得 n 为最大 值 是解题的关键 5 如图 四边形 ABCD 是正方形 以 CD 为边作等边三角形 CDE BE 与 AC 相交于点 M 则 AMD 的度数是 A 75 B 60 C 54 D 67 5 考点 正方形的性质 专题 几何综合题 转化思想 分析 连接 BD 根据 BD AC 为正方形的两条对角线可知 AC 为 BD 的垂直平分线 所以 AMD AMB 要求 AMD 求 AMB 即可 解答 解 如图 连接 BD BCE BCD DCE 90 60 150 BC EC EBC BEC 180 BCE 15 BCM BCD 45 BMC 180 BCM EBC 120 AMB 180 BMC 60 AC 是线段 BD 的垂直平分线 M 在 AC 上 AMD AMB 60 故选 B 点评 本题考查的正方形的对角垂直平分的性质 根据垂直平分线的性质可以求得 AMD AMB 确定 AC 和 BD 垂直 平分是解题的关键 6 在平面直角坐标系中 称横 纵坐标均为整数的点为整点 如下图所示的正方形内 包括边界 整点的个数是 A 13B 21 C 17D 25 精品文档 11欢迎下载 考点 正方形的性质 坐标与图形性质 专题 计算题 分析 根据正方形边长的计算 计算出边长上的整点 并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点 解答 解 正方形边上的整点为 0 3 1 2 2 1 3 0 4 5 5 4 6 3 4 1 5 2 1 4 2 5 3 6 在其内的整点有 1 3 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 4 2 4 3 4 4 5 3 故选 D 点评 本题考查的是正方形四条边上整点的计算 找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键 7 在同一平面上 正方形 ABCD 的四个顶点到直线 l 的距离只取四个值 其中一个值是另一个值的 3 倍 这样的 直线 l 可以有 A 4 条B 8 条 C 12 条D 16 条 考点 正方形的性质 点到直线的距离 分析 根据正方形的性质 一个值为另一个值的 3 倍 所以本题需要分类讨论 该直线切割正方形 确定直线的位置 该直线在正方形外 确定直线的位置 解答 解 符合题目要求的一共 16 条直线 下图虚线所示直线均符合题目要求 点评 本题考查了分类讨论计算点到直线的距离 找到直线的位置是解题的关键 8 如图 正方形 ABCD 的边长为 1 E 为 AD 中点 P 为 CE 中点 F 为 BP 中点 则 F 到 BD 的距离等于 A B C D 考点 正方形的性质 三角形的面积 专题 计算题 转化思想 分析 图中 F 为 BP 的中点 所以 S BDP 2S BDF 所以要求 F 到 BD 的距离 求出 P 到 BD 的距离即可 解答 解 连接 DP S BDP S BDC S DPC S BPC 1 1 F 为 BP 的中点 P 到 BD 的距离为 F 到 BD 的距离的 2 倍 精品文档 12欢迎下载 S BDP 2S BDF S BDF 设 F 到 BD 的距离为 h 根据三角形面积计算公式 S BDF BD h 计算得 h 故选 D 点评 本题考查的是转化思想 先求三角形的面积 再根据三角形面积计算公式 计算三角形的高 即 F 到 BD 的 距离 9 搬进新居后 小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品 ABCD 彩线 BD AN CM 将正方 形 ABCD 分成六部分 其中 M 是 AB 的中点 N 是 BC 的中点 AN 与 CM 交于 O 点 已知正方形 ABCD 的面积为 576cm2 则被分隔开的 CON 的面积为 A 96cm2B 48cm2 C 24cm2D 以上都不对 考点 正方形的性质 三角形的面积 专题 计算题 分析 先证明 BO 为正方形 ABCD 的对角线 BD 的 再求证 CNO NBO AMO BMO 的面积相等 即 CON 的面积 为正方形面积的 解答 解 找到 CD 的中点 E 找到 AD 的中点 F 连接 CF AE 则 CM EA AN FC BOM BKA 同理可证 故 DK KO OB BOC 和 BOA 的面积和为 正方形 ABCD 的面积 精品文档 13欢迎下载 CN NB AM BM OCN 的面积为 BOC 和 BOA 的面积和 OCN 的面积为 48cm2 故选 B 点评 本题考查了正方形内中位线的应用 考查了正方形四边均相等的性质 解本题的关键是求证 BO BD OCN 的面积为 BOC 和 BOA 的面积和 10 如图 正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点 在 BD 上截取 BE BC 连接 CE 点 P 是 CE 上任意一点 PM BD 于 M PN BC 于 N 若正方形 ABCD 的边长为 1 则 PM PN A 1B C D 1 考点 正方形的性质 专题 计算题 转化思想 分析 连接 BP PM PN 分别为 BPE 和 BCP 的高 且底边长均为 1 因此根据面积计算方法可以求 PM PN 解答 解 连接 BP 作 EH BC 则 PM PN 分别为 BPE 和 BCP 的高 且底边长均为 1 S BCE 1 S CDE DE BD BE CDE 中 CD 边上的高为 S CDE CD S BCE 1 S CDE 又 S BCE S BPE S BPC BC PM PN PM PN 故选 C 精品文档 14欢迎下载 点评 本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想 考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平 分线的性质 面积转换思想是解决本题的关键 11 顶点为 A 6 6 B 4 3 C 1 7 D 9 4 的正方形在第一象限的面积是 A 25B 36 C 49D 30 考点 正方形的性质 坐标与图形性质 分析 根据正方形的顶点坐标 求出直线 AD 的方程 由方程式知 AD 与 x 轴的交点 E 的坐标 同理求得 AB 与 y 轴 的交点 F 的坐标 连接 OA 再去求两个三角形的面积 从而求得正方形在第一象限的面积 解答 解 连接 OA 过 A D 两点的直线方程是 即 y x 16 解得它与 x 轴的交点 E 的横坐标是 x 7 8 同理求得过 A B 两点的直线方程是 y x 4 2 解得它与 y 轴的交点 E 的纵坐标是 y 4 2 S AOE 23 4 S AFO 12 6 S AOE S AFO 23 4 12 6 36 即顶点为 A 6 6 B 4 3 C 1 7 D 9 4 的正方形在第一象限的面积 是 36 点评 解答本题要充分利用正方形的特殊性质 注意在正方形中的特殊三角形的应用 利用直角三角形求面积 在本题中 借助直线方程求的点 E F 在坐标轴上的坐标 据此解得所求三角形的边长 代入面积公式求得结果 12 ABCD 是边长为 1 的正方形 BPC 是等边三角形 则 BPD 的面积为 A B 精品文档 15欢迎下载 C D 考点 正方形的性质 三角形的面积 等边三角形的性质 专题 计算题 转化思想 分析 根据三角形面积计算公式 找到 BPD 的面积等于 BCP 和 CDP 面积和减去 BCD 的面积的等量关系 并进 行求解 解答 解 BPD 的面积等于 BCP 和 CDP 面积和减去 BCD 的面积 因此本题求解 BCP CDP 面积和 BCD 的面积即可 S BCP S CDP S BCD 1 1 S BPD 故选 B 点评 本题考查了三角形面积的计算 考查了正方形对角线平分正方形为 2 个全等的等腰直角三角形 解决本题 的关键是找到 BPD 的面积等于 BCP 和 CDP 面积和减去 BCD 的面积的等量关系 13 如图 正方形 ABCD 的面积为 16 ABE 是等边三角形 点 E 在正方形 ABCD 内 在对角线 BD 上有一点 P 使 PC PE 的和最小 则这个最小值为 A 4B 2 C 2D 2 考点 轴对称 最短路线问题 等边三角形的性质 正方形的性质 专题 计算题 分析 根据正方形的性质 推出 C A 关于 BD 对称 推出 CP AP 推出 EP CP AE 根据等边三角形性质推出 AE AB EP CP 根据正方形面积公式求出 AB 即可 解答 解 正方形 ABCD AC BD OA OC C A 关于 BD 对称 即 C 关于 BD 的对称点是 A 连接 AE 交 BD 于 P 则此时 EP CP 的值最小 C A 关于 BD 对称 CP AP 精品文档 16欢迎下载 EP CP AE 等边三角形 ABE EP CP AE AB 正方形 ABCD 的面积为 16 AB 4 EP CP 4 故选 A 点评 本题考查了正方形的性质 轴对称 最短问题 等边三角形的性质等知识点的应用 解此题的关键是确定 P 的位置和求出 EP CP 的最小值是 AE 题目比较典型 但有一定的难度 主要培养学生分析问题和解决问题的能 力 二 填空题 共 8 小题 14 如图 所示 将五个边长都为 1cm 的正方形按如图所示摆放 其中点 A B C D 分别是正方形对角线的交点 如果有 n 个这样大小的正方形这样摆放 则阴影面积的总和是 cm2 考点 正方形的性质 专题 计算题 分析 求面积问题 因为点 A B C D 分别是正方形对角线的交点 所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总 面积的 由此便可求解 解答 解 点 A B C D 分别是正方形对角线的交点 两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的 即 1 1 当有三个三角形时 其面积为 当有四个时 其面积为 所以当 n 个三角形时 其面积为 故答案为 点评 熟练掌握正方形的性质 会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题 15 如图 若正方体的边长为 a M 是 AB 的中点 则图中阴影部分的面积为 a2 考点 正方形的性质 三角形的面积 精品文档 17欢迎下载 分析 AC DM 交于点 O 连接 BO 可以证明 OAD OAB 又 OAD 和 OCM 面积相等 图中阴影部分面积可以转 化为 OAD 和 OAB 的面积 解答 解 找到 CD 的中点 N 连接 BN 正方形 ABCD 中 AC 为 BD 的垂直平分线 OB OD 在 OAD 和 OAB 中 AB AD OA OA OAD OAB 又 所以阴影部分面积为 OAD 和 OAB 的面积和 根据中位线定理 M N 分别为 AB CD 的中点 CE EO OA O 到 AD 的距离为 CD 长度的 S ADO S ABO 2S ADO 2 a 故答案为 点评 本题考查中位线定理的灵活应用 以及正方形对角线垂直平分 本题证明 CE EO OA 是解题的关键 16 如图 以矩形 OABC 的顶点 O 为原点 OA 所在的直线为 x 轴 OC 所在的直线为 y 轴 建立平面直角坐标系 已知 OA 3 OC 2 点 E 是 AB 的中点 在 OA 上取一点 D 将 BDA 沿 BD 翻折 使点 A 落在 BC 边上的点 F 处 若在 y 轴上存在点 P 且满足 FE FP 则 P 点坐标为 0 4 0 0 考点 正方形的性质 坐标与图形性质 全等三角形的判定与性质 专题 几何图形问题 分析 连接 EF CF BE 1 若 EF FP 显然 Rt FCP Rt FBE 由此确定 CP 的长 解答 解 连接 EF OA 3 OC 2 AB 2 点 E 是 AB 的中点 BE 1 BF AB CF BE 1 FE FP Rt FCP Rt FBE PC BF 2 P 点坐标为 0 4 或 0 0 即图中的点 P 和点 P 故答案为 0 4 0 0 精品文档 18欢迎下载 点评 本题考查了三角形翻折前后的不变量 利用三角形的全等解决问题 17 如图 边长为 a 的正方形 ABCD 和边长为 b 的正方形 BEFG 排放在一起 O1和 O2分别是两个正方形的中心 则 阴影部分的面积为 线段 O1O2的长为 考点 正方形的性质 专题 计算题 转化思想 分析 阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和 所以求 2 个三角形面积即可 线段 O1O2的长根据勾股定理 求解 解答 解 做 O1H AE 使 O2H O1H 交 BG 于 P K 点 1 BP 又 O2H HO1 KP HO2 PKO1 HO2O1 KP 阴影部分的面积 BK 2 HO1 HO2 根据勾股定理 O1O2 精品文档 19欢迎下载 故答案为 点评 本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质 三角形面积的计算 考查了根据勾股定理计算直 角三角形斜边的应用 解决本题的关键是构建直角三角形 HO1O2 18 已知正方形纸片 ABCD 的面积为 2007cm2 现将该纸片沿一条线段折叠 如图 使点 D 落在边 BC 上的点 D 处 点 A 落在点 A 处 A D 与 AB 交于点 E 则 BD E 的周长等于 6 cm 考点 正方形的性质 翻折变换 折叠问题 专题 计算题 分析 设正方形边长 a D DC 则 BD E 2 CD atan BD a 1 tan 故 BD E 的周长为 a 1 tan 1 tan 2 sec 2 化简可得 BD E 的周长为 2a 解答 解 设正方形边长 a D DC 则 BD E 2 CD atan BD a 1 tan 所以 BD E 的周长为 a 1 tan 1 tan 2 sec 2 2a 6cm 故答案为 6 点评 本题考查了正方形各边长相等的性质 考查了整式的化简 本题中正确化简 BD E 的周长 a 1 tan 1 tan 2 sec 2 是解题的关键 19 已知正方形 ABCD 在直角坐标系内 点 A 0 1 点 B 0 0 则点 C D 坐标分别为 1 0 和 1 1 只写一组 考点 正方形的性质 坐标与图形性质 精品文档 20欢迎下载 专题 开放型 分析 首先根据正方形 ABCD 的点 A 0 1 点 B 0 0 在坐标系内找出这两点 根据正方形各边相等 从而 可以确定 C D 的坐标 解答 解 正方形 ABCD 的点 A 0 1 点 B 0 0 BD x 轴 AC x 轴 这样画出正方形 即可得出 C 与 D 的坐标 分别为 C 1 0 D 1 1 故答案为 1 0 1 1 点评 本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质 确定已知点的坐标 从而根据正方形的性质 确定其 它顶点的坐标是解决问题的关键 20 如图 在一个正方形被分成三十六个面积均为 1 的小正方形 点 A 与点 B 在两个格点上 在格点上存在点 C 使 ABC 的面积为 2 则这样的点 C 有 5 个 考点 正方形的性质 三角形的面积 专题 计算题 作图题 分析 要使得 ABC 的面积为 2 即 S ah 则使得 a 2 h 2 或者 a 4 b 1 即可 在图示方格纸中找出 C 点即 可 解答 解 图中标出的 5 个点均为符合题意的点 故答案为 5 点评 本题考查了正方形各边长相等的性质 考查了三角形面积的计算公式 本题中正确地找全 C 点是解题的关 键 考生容易漏掉一个或者几个答案 21 已知正方形内接于圆心角为 90 半径为 10 的扇形 即正方形的各顶点都在扇形上 则这个正方形的边长为 5或 2 考点 垂径定理 勾股定理 正方形的性质 专题 分类讨论 分析 根据题意画出图形 由于正方形内接于扇形 故应分两种情况进行讨论 解答 解 如图 1 所示 精品文档 21欢迎下载 连接 OD 设正方形 OCDE 的边长为 x 则在 Rt OCD 中 OD2 OC2 CD2 即 102 x2 x2 解得 x 5 如图 2 所示 过 O 作 OG DE 交 CF 于点 H 连接 OD 设 FH x 四边形 CDEF 是正方形 OH CF FH CH x AOC 90 CH OH OG 3x 在 Rt ODG 中 OD2 GD2 OG2 即 102 x2 3x 2 解得 x CF 2x 2 故答案为 5或 2 点评 本题考查的是垂径定理及勾股定理 解答此题的关键是根据题意画出图形 作出辅助线 构造出直角三角 形 再进行解答 三 解答填空题 共 6 小题 22 如图 在正方形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O AF 平分 BAC 交 BD 于点 F 1 求证 2 点 A1 点 C1分别同时从 A C 两点出发 以相同的速度运动相同的时间后同时停止 如图 A1F1平分 BA1C1 交 BD 于点 F1 过点 F1作 F1E A1C1 垂足为 E 请猜想 EF1 AB 与三者之间的数量关系 并证明 你的猜想 3 在 2 的条件下 当 A1E1 6 C1E1 4 时 则 BD 的长为 7 考点 正方形的性质 分析 1 可通过构建全等三角形来求解 过 F 作 FG AB 于 G 那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等 得出 OF FG 通过全等三角形 AOF 和 AGF 可得出 AO AG 那么 AB AO OF 而 AC 2OA 由此可得证 2 本题作辅助线的方法与 1 类似 过 F1作 F1G1 AB F1H1 BC 那么可证得四边形 F1G1BH1是正方形 精品文档 22欢迎下载 EF1 F1G1 F1H1 那么可得出 F1就是三角形 A1BC1的内心 根据直角三角形的内心公式可得出 EF1 A1B BC1 A1C1 2 然后根据用 AB 分别表示出 A1B BC1 最后经过化简即可得出 AB EF1 A1C1 3 求 BD 的长 首先要求出 AB 的长 本题可借助 2 中 F1是三角形 A1BC1的内心来解 那么我们不难看出 E G1 H1都应该是切点 根据切线长定理不难得出 A1E A1G1 A1C1 A1B C1E BG1 由于 C1E C1H1 BG1 BH1 A1E A1G1 因此式子可写成 2A1E A1C1 A1B BC1 而 A1B BC1 正好等于 2A1A 由此可求出 A1A 的长 那么可根据勾股定理用 AB 表示出两条直角边 求出 AB 的长 然后即可得出 BD 的值 解答 解 1 过 F 作 FG AB 于 G AF 平分 CAB FO AC FG AB OF FG AOF AGF 90 AF AF OF FG AOF AGF AO AG 直角三角形 BGF 中 DGA 45 FG BG OF AB AG BG AO OF AC OF AB OF AC 2 过 F1作 F1G1 A1B 过 F1作 F1H1 BC1 则四边形 F1G1BH1是矩形 同 1 可得 EF1 F1G 因此四边形 F1G1BH1是正方形 EF1 G1F1 F1H1 即 F1是三角形 A1BC1的内心 EF1 A1B BC1 A1C1 2 A1B BC1 AB A1A BC CC1 而 CC1 A1A A1B BC1 2AB 因此 式可写成 EF1 2AB A1C1 2 即 AB EF1 A1C1 3 由 2 得 F1是三角形 A1BC1的内心 且 E1 G1 H1都是切点 A1E A1C1 A1B BC1 2 如果设 CC1 A1A x A1E A1C1 AB x AB x 2 10 2x 2 6 x 1 精品文档 23欢迎下载 在直角三角形 A1BC1中 根据勾股定理有 A1B2 BC12 AC12 即 AB 1 2 AB 1 2 100 解得 AB 7 BD 7 点评 本题主要考查了正方形的性质 三角形的内接圆与内心等知识点 要注意的是后两问中 结合圆的知识来 解会使问题更简单 23 2005 扬州 1 计算 7 2 已知 如图 点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点 点 F 是 CB 的延长线上一点 且 EA AF 求证 DE BF 考点 实数的运算 直角三角形全等的判定 正方形的性质 分析 1 按有理数的运算法则计算即可 2 由同角的余角相等知 FAB DAE 由正方形的性质知 AB AD ABF ADE 90 则 ASA 证得 AFB ADE DE BF 解答 解 1 解 原式 3 2 8 7 2 证明 FAB BAE 90 DAE BAE 90 FAB DAE AB AD ABF ADE AFB ADE DE BF 点评 此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质 学生对学过的知识要系统起来 24 如图 点 E F 分别在正方形 ABCD 的边 DC BC 上 AG EF 垂足为 G 且 AG AB 则 EAF 45 度 考点 正方形的性质 全等三角形的判定 分析 根据角平分线的判定 可得出 ABF AGF 故有 BAF GAF 再证明 AGE ADE 有 GAE DAE 所以可求 EAF 45 解答 解 在 Rt ABF 与 Rt AGF 中 AB AG AF AF B G 90 ABF AGF HL BAF GAF 同理易得 AGE ADE 有 GAE DAE 精品文档 24欢迎下载 即 EAF EAG FAG DAG BAG DAB 45 故 EAF 45 点评 主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定 25 如图 正方形 ABCD 中 AB 点 E F 分别在 BC CD 上 且 BAE 30 DAF 15 度 1 求证 DF BE EF 2 则 EFC 的度数为 30 度 3 则 AEF 的面积为 考点 正方形的性质 分析 1 延长 EB 至 G 使 BG DF 连接 AG 利用正方形的性质 证明 AGE AFE FAE GAE 得出 DF BE EF 2 根据 AGE AFE 及角之间的关系从而求得 EFC 的度数 3 S AEF S正方形 ABCD S ADF S AEB S CEF S正方形 ABCD S AEF S CEF 关键求 S CEF 解答 解 1 延长 EB 至 G 使 BG DF 连接 AG 正方形 ABCD AB